工程科学学报，第37卷，第10期：1376-1386,2015年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.10:1376-1386,October 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.10.019;http://journals.ustb.edu.cn 具有跟踪鲁棒性能的H,最优预见控制 李 丽，廖福成⑧ 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:feliao@usth.cdu.cm 摘要研究了一类不确定离散时间系统的鲁棒H_预见控制问题.其中采用一种新的方法构造扩大误差系统，避免对时变 的系数矩阵取差分，从而成功构造简化的扩大误差系统.然后针对所求得的不确定系统的扩大误差系统，通过引入带有预见 作用的状态反馈，研究鲁棒H.保成本控制问题，得到确保鲁棒H.控制器存在的充分条件及H.状态反馈控制器的设计方法 该条件可以通过求解一个线性矩阵不等式优化问题而实现.所得控制器回到原系统就得到带有预见作用的最优预见控制 器.而且，通过引入积分器，实现闭环系统对目标值信号的鲁棒无静差跟踪.最后的数值算例说明了本文理论的有效性， 关键词离散时间系统：预见控制：鲁棒性：线性矩阵不等式：积分器 分类号TP273 H optimal preview control with robust tracking performance LILi,LIAO Fu-cheng School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT A robust H preview control problem is proposed for a class of uncertain discrete-time systems.A new method is de- rived to construct an augmented error system,avoiding applying the difference operator to the time-varying matrix,and simplify the augmented error system.Then for the augmented error system of the uncertain system,the problem of guaranteed cost robust H con- trol is considered via a state feedback with integral and preview actions.The sufficient condition for the existence of the robust H con- troller and H.state feedback controller design methods are presented.The condition can be realized by solving a linear matrix inequal- ity optimization problem.By putting the controller obtained into the original system,we can get the preview controller.Moreover,intro- ducing an integrator makes the closed-oop system robustly track the reference signal without steady-state error.The effectiveness of the proposed method is shown by numerical simulation. KEY WORDS discrete-time systems:preview control:robustness:linear matrix inequalities:integrators 近年来，有关离散时间不确定系统的鲁棒控制的 作为一种比较新的控制方法，预见控制能利用未 研究已取得了许多成果-习，但是将预见控制和鲁棒 来的目标值信号或干扰信号来改善系统性能④.由于 控制结合起来研究离散时间不确定系统的文献则很 预见控制可以融合已知的目标值信号或干扰信号来提 少.主要原因有两点：(1)在运用预见控制中误差系 高闭环系统性能，还对系统进行前馈补偿，使得系统的 统的方法，对系统中包含时变或不确定参数项取差分 输出能实时无误差地跟踪目标信号，所以预见控制从 遇到困难；(2）)在利用Lyapunov方法研究离散不确定 提出至今一直受到学术界的关注，已在定常的线性离 系统时，Lyapunov函数沿系统的全差分中含有不确定 散时间系统、线性连续时间系统、某些广义系统等方面 矩阵的非线性项，从而增加了不等式技巧应用的困难. 得到了应用，并取得了很好的研究成果.文献5]通过 收稿日期：201405-30 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61174209)
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期: 1376--1386，2015 年 10 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 10: 1376--1386，October 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 10． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 李 丽，廖福成 北京科技大学数理学院，北京 100083 通信作者，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn 摘 要 研究了一类不确定离散时间系统的鲁棒 H∞ 预见控制问题． 其中采用一种新的方法构造扩大误差系统，避免对时变 的系数矩阵取差分，从而成功构造简化的扩大误差系统． 然后针对所求得的不确定系统的扩大误差系统，通过引入带有预见 作用的状态反馈，研究鲁棒 H∞ 保成本控制问题，得到确保鲁棒 H∞ 控制器存在的充分条件及 H∞ 状态反馈控制器的设计方法． 该条件可以通过求解一个线性矩阵不等式优化问题而实现． 所得控制器回到原系统就得到带有预见作用的最优预见控制 器． 而且，通过引入积分器，实现闭环系统对目标值信号的鲁棒无静差跟踪． 最后的数值算例说明了本文理论的有效性． 关键词 离散时间系统; 预见控制; 鲁棒性; 线性矩阵不等式; 积分器 分类号 TP273 H∞ optimal preview control with robust tracking performance LI Li，LIAO Fu-cheng School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A robust H∞ preview control problem is proposed for a class of uncertain discrete-time systems． A new method is derived to construct an augmented error system，avoiding applying the difference operator to the time-varying matrix，and simplify the augmented error system． Then for the augmented error system of the uncertain system，the problem of guaranteed cost robust H∞ control is considered via a state feedback with integral and preview actions． The sufficient condition for the existence of the robust H∞ controller and H∞ state feedback controller design methods are presented． The condition can be realized by solving a linear matrix inequality optimization problem． By putting the controller obtained into the original system，we can get the preview controller． Moreover，introducing an integrator makes the closed-loop system robustly track the reference signal without steady-state error． The effectiveness of the proposed method is shown by numerical simulation． KEY WOＲDS discrete-time systems; preview control; robustness; linear matrix inequalities; integrators 收稿日期: 2014--05--30 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61174209) 近年来，有关离散时间不确定系统的鲁棒控制的 研究已取得了许多成果［1--3］，但是将预见控制和鲁棒 控制结合起来研究离散时间不确定系统的文献则很 少． 主要原因有两点: ( 1) 在运用预见控制中误差系 统的方法，对系统中包含时变或不确定参数项取差分 遇到困难; ( 2) 在利用 Lyapunov 方法研究离散不确定 系统时，Lyapunov 函数沿系统的全差分中含有不确定 矩阵的非线性项，从而增加了不等式技巧应用的困难． 作为一种比较新的控制方法，预见控制能利用未 来的目标值信号或干扰信号来改善系统性能［4］． 由于 预见控制可以融合已知的目标值信号或干扰信号来提 高闭环系统性能，还对系统进行前馈补偿，使得系统的 输出能实时无误差地跟踪目标信号，所以预见控制从 提出至今一直受到学术界的关注，已在定常的线性离 散时间系统、线性连续时间系统、某些广义系统等方面 得到了应用，并取得了很好的研究成果． 文献［5］通过
李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H.最优预见控制 ·1377· 对状态变量及误差向量取差分构造一个形式系统一 式中：x(k)∈R”为状态向量：u(k)∈R为控制输入 扩大误差系统，将预见控制问题转化为调节问题，对该 向量y()∈R为观测输出：z(k)∈R'为被控输出向 调节问题设计控制器，回到原系统就得到最优预见控 量；w(k)∈R为L,D,∞)的干扰输入向量：A,B,C, 制器.文献6]把文献[5]的方法移植到连续时间系 C,D,D,E为适当维数的常数矩阵；△A=△A(k,x, 统，得到了类似离散时间系统的扩大误差系统。文献 a)和△B=△B(k,x,a)是关于时间变量k、状态向量x ]又把文献6]的方法进一步推广，研究目标值预见 和不确定参数α的不确定矩阵 和干扰预见问题.基于离散提升技术，文献89]研究 关于系统(1)，我们给出以下基本假设. 了多采样离散时间系统的最优预见控制问题.文献 假设1设存在适当维数的常数矩阵E,、H和不 0]通过构造扩大误差系统，将广义系统的预见控制 确定矩阵∑=(k,x,a),i=1,2,满足 问题转化为一个形式上普通广义系统的控制问题，然 [AA=E H, 后由广义系统最优控制理论的结论，得到广义系统的 (2) l△B=E2∑，H2, 带有预见作用的控制器.文献1-12]克服文献0] ≤I (3) 中对状态矩阵苛刻的条件，利用一些技巧得到广义系 注1假设1的式(2)指的是系统(1)中不确定项 统的扩大误差系统，从而得到形式上的普通广义系统， 满足一定的匹配条件，而式(3)指的则是不确定项是 利用预见控制的相应手法可以实现所希望的目标.再 按范数有界的.而且，通过表达式△A=△A(k,x,a)和 后来人们又研究预见控制系统的鲁棒控制，特别是把 △B=△B(k,x,a)表明，不确定项可以与状态向量有 H,控制的思想方法借鉴了过来 Takaba通过求解一个线性矩阵不等式(LMI)得 关，也可以是时变的，还可能与某些无法确知的参数有 关.所以，本文所指的不确定项是非常一般的 到状态反馈控制器，研究了凸多面体不确定离散时间 系统的预见控制问题.文献04]通过利用哈密顿矩阵 我们还假设目标值信号是可预见的，即 的性质，在引入一个辅助矩阵Riccati方程的基础上， 假设2设目标值信号r(),r()∈R的预见步 研究了I预见控制问题.文献D5]在假设不确定系 数为Mg,即在当前时刻k,目标值信号r(),r(k+1), 统中的不确定矩阵为常数矩阵的情况下，通过构造扩 r(k+2),…,r(k+M)为已知.我们还设Mg步以后 目标值信号为0： 大误差系统，研究了不确定离散时间系统的鲁棒预见 控制问题，并给出不确定矩阵的扰动估计.Kojima和 r(k+j)=0,j=Mg+1,Mm+2,Mg+3,…. Ishijima基于矩阵Riccati方程研究了时滞系统的预 注2事实上，按照控制系统本身的特点，只有一 见控制问题.Kojima叨进一步基于对Riccati方程解性 段时间的可预见信号对系统的性能有较明显的影响， 质的分析，更加深刻研究更一般时滞系统的预见控制 因此在可预见步数以外的目标值信号的值我们并不关 问题，克服了文献6]方法的局限性，设计一个一般 心.这里，假设它们恒为零完全是为了便于构造扩大 系统的H_预见控制器。 误差系统 本文采用一种新的方法构造扩大误差系统，可以避 定义误差信号 免文献13,15,18-19]的误差系统中包含时变或不确定 e(k)=y(k)-r() (4) 系数的差分的困难，从而使得扩大误差系统变得简单， 对于系统(1)引入二次型性能指标函数 因此易于处理.然后基于鲁棒二次稳定性理论及线性 J=>[e(k)Qe(k)+u(k)"Hu()](5) 矩阵不等式的方法，设计一个带有预见作用的控制器， 使得系统虽然受到不确定性干扰，仍能实时无误差地跟 其中，Q。>0和H>0是给定的加权矩阵. 踪目标值信号，并实现最优鲁棒H.保性能控制 本文的目的是设计一个带有预见作用的控制器， 全文沿用如下记号：P>0(P<0)表示P为对称正 使得闭合系统满足如下的鲁棒性能 定（负定）矩阵：P>Q(P<Q)表示P-Q>0(P-Q< (1)性能指标函数J满足保成本性，即存在了使 0);P≥0(P≤0)表示P为对称半正定（半负定）矩阵， 得J≤J: P≥Q(P≤Q)表示P-Q≥0(P-Q≤0) (2)给定正常数y,在零初始条件下，满足H_范 数约束条件 1问题描述及基本假设 Iz(k)I2≤yIw(k)I2,Vw(k)∈L2D,∞)： 考虑不确定离散时间系统： (3)系统受到不确定扰动的影响，其输出y()仍 x(k+1)=A+△Ax(k)+ 然能够无静态误差跟踪目标值信号r(),即使 B+△B]u(k)+Dw(k), lime ()lim(y(k)-r())=0. (1 y(k)=Cx(k), 本文会多次用到著名的Schur补引理. z(k)=C1x()+Eu(k)+D,w(). 引理1网(Schur补引理)对给定的对称矩阵
李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 对状态变量及误差向量取差分构造一个形式系统——— 扩大误差系统，将预见控制问题转化为调节问题，对该 调节问题设计控制器，回到原系统就得到最优预见控 制器． 文献［6］把文献［5］的方法移植到连续时间系 统，得到了类似离散时间系统的扩大误差系统． 文献 ［7］又把文献［6］的方法进一步推广，研究目标值预见 和干扰预见问题． 基于离散提升技术，文献［8--9］研究 了多采样离散时间系统的最优预见控制问题． 文献 ［10］通过构造扩大误差系统，将广义系统的预见控制 问题转化为一个形式上普通广义系统的控制问题，然 后由广义系统最优控制理论的结论，得到广义系统的 带有预见作用的控制器． 文献［11--12］克服文献［10］ 中对状态矩阵苛刻的条件，利用一些技巧得到广义系 统的扩大误差系统，从而得到形式上的普通广义系统， 利用预见控制的相应手法可以实现所希望的目标． 再 后来人们又研究预见控制系统的鲁棒控制，特别是把 H∞ 控制的思想方法借鉴了过来． Takaba ［13］通过求解一个线性矩阵不等式( LMI) 得 到状态反馈控制器，研究了凸多面体不确定离散时间 系统的预见控制问题． 文献［14］通过利用哈密顿矩阵 的性质，在引入一个辅助矩阵 Ｒiccati 方程的基础上， 研究了 FI 预见控制问题． 文献［15］在假设不确定系 统中的不确定矩阵为常数矩阵的情况下，通过构造扩 大误差系统，研究了不确定离散时间系统的鲁棒预见 控制问题，并给出不确定矩阵的扰动估计． Kojima 和 Ishijima ［16］基于矩阵 Ｒiccati 方程研究了时滞系统的预 见控制问题． Kojima ［17］进一步基于对 Ｒiccati 方程解性 质的分析，更加深刻研究更一般时滞系统的预见控制 问题，克服了文献［16］方法的局限性，设计一个一般 系统的 H∞ 预见控制器． 本文采用一种新的方法构造扩大误差系统，可以避 免文献［13，15，18--19］的误差系统中包含时变或不确定 系数的差分的困难，从而使得扩大误差系统变得简单， 因此易于处理． 然后基于鲁棒二次稳定性理论及线性 矩阵不等式的方法，设计一个带有预见作用的控制器， 使得系统虽然受到不确定性干扰，仍能实时无误差地跟 踪目标值信号，并实现最优鲁棒 H∞ 保性能控制． 全文沿用如下记号: P ＞ 0( P ＜ 0) 表示 P 为对称正 定( 负定) 矩阵; P ＞ Q( P ＜ Q) 表示 P － Q ＞ 0( P － Q ＜ 0) ; P≥0( P≤0) 表示 P 为对称半正定( 半负定) 矩阵， P≥Q( P≤Q) 表示 P － Q≥0( P － Q≤0) ． 1 问题描述及基本假设 考虑不确定离散时间系统: x( k + 1) =［A + ΔA］x( k) + ［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ， y( k) = Cx( k) ， z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k) { ． ( 1) 式中: x( k) ∈Ｒn 为状态向量; u( k) ∈Ｒm 为控制输入 向量; y( k) ∈Ｒq 为观测输出; z( k) ∈Ｒl 为被控输出向 量; w( k) ∈Ｒp 为 L2［0，∞ ) 的干扰输入向量; A，B，C， C1，D，D1，E 为适当维数的常数矩阵; ΔA = ΔA( k，x， α) 和 ΔB = ΔB( k，x，α) 是关于时间变量 k、状态向量 x 和不确定参数 α 的不确定矩阵． 关于系统( 1) ，我们给出以下基本假设． 假设 1 设存在适当维数的常数矩阵 Ei、Hi 和不 确定矩阵 Σi = Σi ( k，x，α) ，i = 1，2，满足 ΔA = E1Σ1H1， ΔB = E2Σ2H2 { ， ， ( 2) ΣiΣT i ≤I． ( 3) 注 1 假设 1 的式( 2) 指的是系统( 1) 中不确定项 满足一定的匹配条件，而式( 3) 指的则是不确定项是 按范数有界的． 而且，通过表达式 ΔA = ΔA( k，x，α) 和 ΔB = ΔB( k，x，α) 表明，不确定项可以与状态向量有 关，也可以是时变的，还可能与某些无法确知的参数有 关． 所以，本文所指的不确定项是非常一般的． 我们还假设目标值信号是可预见的，即 假设 2 设目标值信号 r( k) ，r( k) ∈Ｒq 的预见步 数为 MＲ，即在当前时刻 k，目标值信号 r( k) ，r( k + 1) ， r( k + 2) ，…，r( k + MＲ ) 为已知． 我们还设 MＲ 步以后 目标值信号为 0: r( k + j) = 0，j = MＲ + 1，MＲ + 2，MＲ + 3，…． 注 2 事实上，按照控制系统本身的特点，只有一 段时间的可预见信号对系统的性能有较明显的影响， 因此在可预见步数以外的目标值信号的值我们并不关 心． 这里，假设它们恒为零完全是为了便于构造扩大 误差系统． 定义误差信号 e( k) = y( k) － r( k) ． ( 4) 对于系统( 1) 引入二次型性能指标函数 J = ∑ ∞ k = 0 ［e( k) T Qe e( k) + u( k) T Hu( k) ］． ( 5) 其中，Qe ＞ 0 和 H ＞ 0 是给定的加权矩阵． 本文的目的是设计一个带有预见作用的控制器， 使得闭合系统满足如下的鲁棒性能． ( 1) 性能指标函数 J 满足保成本性，即存在 J* 使 得 J≤J* ; ( 2) 给定正常数 γ，在零初始条件下，满足 H∞ 范 数约束条件 ‖z( k) ‖2≤γ‖w( k) ‖2，w( k) ∈L2［0，∞ ) ; ( 3) 系统受到不确定扰动的影响，其输出 y( k) 仍 然能够无静态误差跟踪目标值信号 r( k) ，即使 limk→∞ e( k) = limk→∞ ( y( k) － r( k) ) = 0． 本文会多次用到著名的 Schur 补引理． 引理 1 ［20］ ( Schur 补引理) 对给定的对称 矩 阵 ·1377·
·1378· 工程科学学报，第37卷，第10期 s=fS. S2 ,下列三个条件是等价的： (i)S<0: (i)Su<0,S22-S2SS2<0: (i)Sa<0,S,-S2Sz'S2<0. 代入引理2的不等式EFG+GFTE≤EFUF'E+ 本文还需要用到一个推广的矩阵不定式和其特 GUG中，就证明了引理4中不等式的成立. 例，就是下面的引理2、引理3和引理4. 注3与许多文献所使用的矩阵不等式相 引理2设E,F,G为适当维数的矩阵，则对适当 比1四，引理3已经是推广的矩阵不等式.另外，引理 维数的U>0,有 3中的F可以不是方阵，U可以不是对角阵，但要求 EFG+GFET <EFUFTET +G'U-G. U≤L.在引理4中，要求F是方阵，从而每个F:都是 证明：由于0>0，根据正定矩阵的性质可知，存在 方阵，并且U>0必须是对角的 矩阵Z>0,使得U=Z.令M=ZFE-ZG,由高 等代数知识可得 2扩大误差系统的推导 0sM'M=(ZF"ET-Z-G)(ZFET-Z-G)= 我们构造扩大误差系统，然后针对该增广系统给 EFUFET -EFG-GFET +GU-G, 出鲁棒H.控制器，并研究其闭环系统所具有的上述鲁 由此得到 棒性能 EFG+GFTET &EFUFTET +G'U-G. 2.1误差系统的构造 下面的引理3和引理4都是引理2的推论 首先，由输出方程和式(4)得到 引理3设E,F,G为适当维数的矩阵.对适当维 e(k+1)=y(k+1)-r(k+1)= 数的U:I≥U>0和F:FFT≤I,下述不等式成立： Cx(k+1)-r(k+1)= EFG+GFET≤EET+GUlG. C[A+△A]x()+B+△B]u(k)+ 证明：由I≥U>0和FFT≤I易得，EFUFE≤ Dw(k)}-r(k+1). (6) EFFE≤EE,从而由上述引理2可得 EFG+GFTE≤EFUFE+GU'G≤ 引进形式状态向量x仙-：份1并令 EE+GUG. 引理4假设E,F,G,U为适当维数的矩阵，如果 4=0Aa=g1o=-81 F=diag{F,F2,…,Fx},其中F(k)∈R,F,(k) F(k)≤L,(i=1,2,…,N),U=diag{u,l,u2le,…, M-88aa=1,P-1 u},其中，：>0(i=1,2,…,N),则有 式(1)和式(6)联立即可得 EFG+GFE≤EUE+GU-G. X,(k+1)=[A,+△A]X1(k)+ 证明：在上面对F和U的假设下，可得到 B1+△B]u(k)+D,w(k)+F(k+1).(7) F 2.2扩大误差系统的构造 FUF 把目标值信号的信息加入系统(7).再令 r() r(k+1) X.(k)= ∈R.Dg, Lr(k+M) ro I 03 0 u F FT AR= ∈R+x,+)7 FFT 0 … …01 …… 00」 依照前面的假设2，就得到等式 Xg (+1)=AgX (k). (8) 再次引进形式的状态向量
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 S = S11 S12 ST 12 S [ ] 22 ，下列三个条件是等价的: ( i) S ＜ 0; ( ii) S11 ＜ 0，S22 － ST 12S － 1 11 S12 ＜ 0; ( iii) S22 ＜ 0，S11 － S12S － 1 22 ST 12 ＜ 0． 本文还需要用到一个推广的矩阵不定式和其特 例，就是下面的引理 2、引理 3 和引理 4． 引理 2 设 E，F，G 为适当维数的矩阵，则对适当 维数的 U ＞ 0，有 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G． 证明: 由于 U ＞ 0，根据正定矩阵的性质可知，存在 矩阵 Z ＞ 0，使得 U = Z2 ． 令 M = ZFT ET － Z － 1 G，由高 等代数知识可得 0≤MT M = ( ZFT ET － Z － 1 G) T ( ZFT ET － Z － 1 G) = EFUFT ET － EFG － GT FT ET + GT U － 1 G， 由此得到 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G． 下面的引理 3 和引理 4 都是引理 2 的推论． 引理 3 设 E，F，G 为适当维数的矩阵． 对适当维 数的 U∶ I≥U ＞ 0和 F∶ FFT ≤I，下述不等式成立: EFG + GT FT ET ≤EET + GT U － 1 G． 证明: 由 I≥U ＞ 0 和 FFT ≤I 易得，EFUFT ET ≤ EFFT ET ≤EET ，从而由上述引理 2 可得 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G≤ EET + GT U － 1 G． 引理 4 假设 E，F，G，U 为适当维数的矩阵，如果 F = diag{ F1，F2，…，FN } ，其中 Fi ( k) ∈Ｒfi × fi ，Fi ( k) FT i ( k) ≤Ifi ，( i = 1，2，…，N) ，U = diag { u1 If1 ，u2 If2 ，…， uN IfN } ，其中，ui ＞ 0( i = 1，2，…，N) ，则有 EFG + GT FT ET ≤EUET + GT U － 1 G． 证明: 在上面对 F 和 U 的假设下，可得到 FUFT = F1 F2 F N μ1 If1 μ2 If2 μN If N · FT 1 FT 2 FT N = μ1F1FT 1 μ2F2FT 2 μN FN FT N ≤ μ1 If1 μ2 If2 μN If N = U 代入引理2 的不等式 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G 中，就证明了引理 4 中不等式的成立． 注 3 与许多文献所使用的矩阵不等式相 比［21--22］，引理 3 已经是推广的矩阵不等式． 另外，引理 3 中的 F 可以不是方阵，U 可以不是对角阵，但要求 U≤I． 在引理 4 中，要求 F 是方阵，从而每个 Fi 都是 方阵，并且 U ＞ 0 必须是对角的． 2 扩大误差系统的推导 我们构造扩大误差系统，然后针对该增广系统给 出鲁棒 H∞ 控制器，并研究其闭环系统所具有的上述鲁 棒性能． 2. 1 误差系统的构造 首先，由输出方程和式( 4) 得到 e( k + 1) = y( k + 1) － r( k + 1) = Cx( k + 1) － r( k + 1) = C{ ［A + ΔA］x( k) +［B + ΔB］u( k) + Dw( k) } － r( k + 1) ． ( 6) 引进形式状态向量 X1 ( k) = e( k) x( k [ ] ) ． 并令 A1 = 0 CA 0[ ] A ，B1 = CB [ ] B ，D1 = CD [ ] D ， ΔA1 = 0 CΔA 0 Δ [ ] A ，ΔB1 = CΔB Δ [ ] B ，F = － I [ ] 0 ． 式( 1) 和式( 6) 联立即可得 X1 ( k + 1) =［A1 + ΔA1］X1 ( k) + ［B1 + ΔB1］u( k) + D1w( k) + Fr( k + 1) ． ( 7) 2. 2 扩大误差系统的构造 把目标值信号的信息加入系统( 7) ． 再令 XＲ ( k) = r( k) r( k + 1) r( k + MＲ ) ∈Ｒ( MＲ + 1) q ， AＲ = 0 I 0 0 0 … … 0 I 0 … … 0 0 ∈Ｒ［( MＲ + 1) q］× ［( MＲ + 1) q］． 依照前面的假设 2，就得到等式 XＲ ( k + 1) = AＲ XＲ ( k) ． ( 8) 再次引进形式的状态向量 ·1378·
李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H_最优预见控制 ·1379· e(k) rX,() CE x ( X.(k) E EDH10]=EΣ五， (13) X() 0 式(7)和式(8)联立写成 「CEΣ2H21「CE21 x(k+1)=A+△A)x()+ 4B= E22H2 E2E,H2=EΣ五，(14) B+△B]u(k)+Dw(k) (9) 0 0 由形式系统(9)的状态变量可知其观测输出和被 式中， 控输出表示为 「CE,1 y(k)=C(k), (10) E,= E Σ=Σ，H1=DH10], z(k)=C(k)+Eu (k)+Dw(k). (11) 其中 CE, T0 CA:] -1 CB E2= 0 E ,2=2,A2=H L0」 L00AR」 =0 -1 这里的不确定矩阵仍然满足 0… 0], ≤1，i=1,2 (15) -1H8-tg8 而且△A,△B是范数有界的. 把性能指标函数利用形式系统(12)的状态向量 和输入向量表示，得到 J- K,()TX()门 [X (k)1 X(+ C=:C:0].C=C0] 这里，A,B,D为扩大误差系统的常数矩阵，△A, u(k)"Hu(k) (16) △B为系统的不确定矩阵. 就是说，我们得到了扩大误差系统 ,H如式(5)所示. x(k+1)=A+△4]x(k)+ 现在引进离散积分器网，它由下式定义 B+△B]u(k)+Dw(k), (12) v(i+1)=v(i)+e(i). (17) y(k)=Cx(), 其中v(0)可以任意赋值，一般选择v(O)=0. Lz(k)=C(k)+Eu(k)+Dw(k). 注4这里，我们在计算式(6)时不用把y(k+1) 鸭定义-[图1结合式9)和式) 和x(k+1)的差分引进来，从而也不需要对系统(1)的 得到 状态方程两边取差分，于是避免求系统的有关系数矩 阵的差分，使得即使系统是时变的，其扩大误差系统 (k+1)=+△)(k)+B+△Bu(k)+Dw(k). (18) (12)仍然有比较简单的形式. 注5注意到扩大误差系统(12)中不再出现“ 由系统(18)的状态变量，观测输出和被控输出可分别 (k)的差分，而只出现(k),因此性能指标函数中也 表示为 不包括u()的差分.文献23]已经指出，性能指标函 y(k)=C(k), (19) 数中包括(k)的差分可以使得最后的闭环系统中包 z(k)=C,(k)+Eu()+D,w(k). (20) 含积分器从而有助于消除静态误差.为了达到消除静 式中， 态误差的目的，我们可以人为添加积分器网 TO CA Gw:01 CB 进一步，考虑到前面关于不确定性的假设，我们 01 0 A 0 :0 B 得到 B 00A0 0 r0CE,,H,:0 L1001 △A=0E,,H10 L00 c=[0]=DC00]
李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 x( k) = X1 ( k) XＲ ( k [ ] ) = e( k) x( k) XＲ ( k ) ． 式( 7) 和式( 8) 联立写成 x( k + 1) =［A + ΔA］x( k) + ［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ． ( 9) 由形式系统( 9) 的状态变量可知其观测输出和被 控输出表示为 y( k) = Cx( k) ， ( 10) z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k) ． ( 11) 其中 A = A1 GP [ ] 0 AＲ = 0 CA GPＲ 0 A 0 0 0 A Ｒ ，B = B1 [ ] 0 = CB B 0 ， GPＲ =［0 － I 0 … 0］， D = D1 [ ] 0 = CD D 0 ，ΔA = ΔA1 0 [ ] 0 0 = 0 CΔA 0 0 ΔA 0 0 0 0 ， ΔB = ΔB1 [ ] 0 = CΔB ΔB 0 ， C =［0 C 0］，C1 =［0 C1 0］． 这里，A，B，D 为扩大误差系统的常数矩阵，ΔA， ΔB 为系统的不确定矩阵． 就是说，我们得到了扩大误差系统 x( k + 1) =［A + ΔA］x( k) + ［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ， y( k) = Cx( k) ， z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k) ． ( 12) 注 4 这里，我们在计算式( 6) 时不用把 y( k + 1) 和 x( k + 1) 的差分引进来，从而也不需要对系统( 1) 的 状态方程两边取差分，于是避免求系统的有关系数矩 阵的差分，使得即使系统是时变的，其扩大误差系统 ( 12) 仍然有比较简单的形式． 注 5 注意到扩大误差系统( 12) 中不再出现 u ( k) 的差分，而只出现 u( k) ，因此性能指标函数中也 不包括 u( k) 的差分． 文献［23］已经指出，性能指标函 数中包括 u( k) 的差分可以使得最后的闭环系统中包 含积分器从而有助于消除静态误差． 为了达到消除静 态误差的目的，我们可以人为添加积分器［24］． 进一步，考虑到前面关于不确定性的假设，我们 得到 ΔA = 0 CE1Σ1H1 0 0 E1Σ1H1 0 0 0 0 = CE1 E1 0 Σ1［0 H1 0］= E1Σ1H1， ( 13) ΔB = CE2Σ2H2 E2Σ2H2 0 = CE2 E2 0 Σ2H2 = E2Σ2H2 ． ( 14) 式中， E1 = CE1 E1 0 ，Σ1 = Σ1，H1 =［0 H1 0］， E2 = CE2 E2 0 ，Σ2 = Σ2，H2 = H2 ． 这里的不确定矩阵仍然满足 ΣiΣT i ≤I，i = 1，2． ( 15) 而且 ΔA，ΔB 是范数有界的． 把性能指标函数利用形式系统( 12) 的状态向量 和输入向量表示，得到 J = ∑ ∞ k = 0 {［X1 ( k) T XＲ ( k) T ］Q X1 ( k) XＲ [ ] ( k) + u( k) T Hu( k } ) ． ( 16) 式中，Q = Q1 0 [ ] 0 0 ，Q1 = Qe 0 [ ] 0 0 ，H 如式( 5) 所示． 现在引进离散积分器［24］，它由下式定义 v( i + 1) = v( i) + e( i) ． ( 17) 其中 v( 0) 可以任意赋值，一般选择 v( 0) = 0． 再定义 x槇( k) = x( k) v( k [ ] ) ，结 合 式 ( 9 ) 和 式 ( 17 ) 得到 x槇( k + 1) =［A 槇 + ΔA 槇］x槇( k) +［B 槇 + ΔB 槇］u( k) + D 槇w( k) ． ( 18) 由系统( 18) 的状态变量，观测输出和被控输出可分别 表示为 y( k) = C 槇x槇( k) ， ( 19) z( k) = C 槇1 x槇( k) + Eu( k) + D1w( k) ． ( 20) 式中， A 槇 = A 0 [ ] C I = 0 CA GPＲ 0 0 A 0 0 0 0 AＲ 0 I 0 0 I ，B 槇 = B [ ] 0 = CB B 0 0 ， C 槇 =［C 槇 0］=［0 C 00］， ·1379·
·1380· 工程科学学报，第37卷，第10期 CD ro C△A 0:07 下面我们利用LI的有关理论和方法给出式 D 0 (24)中的控制器增益矩阵K,使得闭环系统(25)满足 △A= T△A 01 44 00 0 0 0 0 00 第一节所述的鲁棒性能. 0 0 00 3 带有预见作用的H,控制器的设计 C△B △B C=C,0]=0C0:0] 下面的定理1给出闭环系统(25)为H.范数界y 0 保成本可镇定的充分条件 0 定理1若假设1和假设2成立，给定Y>0,如果 式(18)、(19)和(20)一起，就是我们设计预见控制器 存在对称正定矩阵P和矩阵K,满足不等式 所需要的系统 由式(13)和式(14)可得系统(18)中不确定矩阵 -P1+y2前A+4+派+派y2i加 可表示为 (G+△+BX+△B)T-P+KH胍+0 <0 y2D DT S y-2D D:-1] [6E同0=a, (26) (21) 则当采用状态反馈控制器(24)时，闭环系统(25)是具 -[-]E瓜-zm 有H.范数界Y保成本可镇定的，且性能指标J有上界 广=(O)TPR(O).其中S=C+EK (22) 证明：选取Lyapunov函数 这里， V((k))=(k)P(k). 由于P>0,所以这个Lyapunov函数是正定的.该Lya- punov函数沿系统(18)的闭环系统(25)的轨线的差 1a=a,之- 分为 △V(R(k))=(k+1)TP(k+1)-(k)TP(k)= 即形式系统(18)仍然满足匹配条件 同样，把性能指标函数用式(18)中的有关量表示 {R(k)TA+△A+BK+△BKT+w(k)T) 可得 P{A+AA+BK+△BK](k)+ 了=J+名（倒'0.（因= D(k)}-(k)TP(k). 当w(k)=0时，将式(25)代入上式整理得 △V(R(k))=R(k)TM(). 其中 a('Ha(因+('Q.(= M=+△A+BK+△BK]TPA+ a{ww[881图1 △A+BK+△BK]-P. 下面分三步证明结论. 第一步证明闭环系统二次稳定 因ra(因}=云R('Q)+ 由高等代数相关知识可知，不等式(26)成立 时，有 u(k)'Hu(]. (23) ,H如上所定义 -P-+y2DD A+△A+BK+△BK] <0, (A+△A+BK+△BK)T-P+KHK+O 假设系统(18)的控制输入为 (27) u(k)=K(k), (24) 从明显的结果 那么系统(18)的闭环系统为 R(k+1)=A+△A+BK+△BK]r(k)+Dw(). 0 0 ≥0 (25) +KHK
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 D 槇 = D [ ] 0 = CD D 0 0 ，ΔA 槇 = ΔA 0 [ ] 0 0 = 0 CΔA 0 0 0 ΔA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ， ΔB 槇 = ΔB [ ] 0 = CΔB ΔB 0 0 ，C 槇1 =［C1 0］=［0 C1 00］． 式( 18) 、( 19) 和( 20) 一起，就是我们设计预见控制器 所需要的系统． 由式( 13) 和式( 14) 可得系统( 18) 中不确定矩阵 可表示为 ΔA 槇 = ΔA 0 [ ] 0 0 = E1Σ1H1 0 [ ] 0 0 = E1 [ ] 0 Σ1［H1 0］= E 槇1Σ 槇1H 槇1， ( 21) ΔB 槇 = ΔB [ ] 0 = E2Σ2H2 [ ] 0 = E2 [ ] 0 Σ2H2 = E 槇2Σ 槇2H 槇2 ． ( 22) 这里， E 槇1 = E1 [ ] 0 ，H 槇1 =［H1 0］，Σ 槇1 = Σ1， E 槇2 = E2 [ ] 0 ，H 槇2 = H2，Σ 槇2 = Σ2 ． 即形式系统( 18) 仍然满足匹配条件． 同样，把性能指标函数用式( 18) 中的有关量表示 可得 J 槇 = J + ∑ ∞ k = 0 v( k) T Qv v( k) = ∑ ∞ k = 0 {［X1 ( k) T XＲ ( k) T ］Q X1 ( k) XＲ [ ] ( k) + u( k) T Hu( k) + v( k) T Qv v( k } ) = ∑ ∞ k = 0 {［x( k) T v( k) T ］ Q 0 [ ] 0 Qv x( k) v( k [ ] ) + u( k) T Hu( k } ) = ∑ ∞ k = 0 ［x槇( k) T Q槇x槇( k) + u( k) T Hu( k) ］． ( 23) 其中，Q 槇 = Q 0 [ ] 0 Qv ，H 如上所定义． 假设系统( 18) 的控制输入为 u( k) = Kx槇( k) ， ( 24) 那么系统( 18) 的闭环系统为 x槇( k + 1) =［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］x槇( k) + D 槇w( k) ． ( 25) 下面我 们 利 用 LMI 的有关理论和方法给出式 ( 24) 中的控制器增益矩阵 K，使得闭环系统( 25) 满足 第一节所述的鲁棒性能． 3 带有预见作用的 H∞ 控制器的设计 下面的定理 1 给出闭环系统( 25) 为 H∞ 范数界 γ 保成本可镇定的充分条件． 定理 1 若假设 1 和假设 2 成立，给定 γ ＞ 0，如果 存在对称正定矩阵 P 和矩阵 K，满足不等式 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 － I ＜ 0， ( 26) 则当采用状态反馈控制器( 24) 时，闭环系统( 25) 是具 有 H∞ 范数界 γ 保成本可镇定的，且性能指标 J 有上界 J* = x槇( 0) T Px槇( 0) ． 其中 S = C 槇1 + EK． 证明: 选取 Lyapunov 函数 V( x 槇( k) ) = x槇( k) T P x槇( k) ． 由于 P ＞ 0，所以这个 Lyapunov 函数是正定的． 该 Lyapunov 函数沿系统( 18) 的闭环系统( 25) 的轨线的差 分为 ΔV( x槇( k) ) = x槇( k + 1) T P x槇( k + 1) － x槇( k) T P x槇( k) = { x槇( k) T ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T + w( k) T D 槇T } P{ ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］x槇( k) + D 槇w( k) } － x槇( k) T P x槇( k) ． 当 w( k) = 0 时，将式( 25) 代入上式整理得 ΔV( x槇( k) ) = x槇( k) T M x槇( k) ． 其中 M =［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T P［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］－ P． 下面分三步证明结论． 第一步 证明闭环系统二次稳定． 由高等 代 数 相 关 知 识 可 知，不 等 式 ( 26 ) 成 立 时，有 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT [ ] HK + Q 槇 ＜ 0， ( 27) 从明显的结果 γ － 2 D 槇槇DT 0 0 Q 槇 + K [ ] T HK ≥0 ·1380·