干/湿状态下HFRP搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型

工程科学学报，第39卷，第9期：1396-1402,2017年9月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.9:1396-1402,September 2017 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2017.09.013;htp:/journals.usth.edu.cn 干/湿状态下HFRP搭接接头的剪切蠕变试验及分数 阶导数流变模型 王小萌，周储伟区 南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京210016 ☒通信作者，E-mail:zcw@nuaa.cdu.cm 摘要搭接是纤维增强复合材料(FP)的重要连接方式，长期性能是该技术实际工程应用的关键.对不同恒定应力和湿 度状态下混杂FRP(HFRP)双搭接接头的剪切蠕变性能进行了试验研究.试验观测到了明显的蠕变变形，测定了蠕变与恒定 应力及湿度的关系.进一步采用分数阶导数流变模型对试件的蠕变进行模拟.根据模型所包含的Mittag--Leffler函数的性质 采用了改进的Pl优化算法，并确定了合理的初值，结合试验曲线拟合得到模型各参数值.根据搭接接头蠕变的特点，在 经典分数阶流变模型中引入了表征应力水平对搭接接头非线性蠕变特性影响的函数，提出了一种改进的分数阶蠕变柔量计 算公式.研究结果表明，该流变模型能够采用简单的表达形式和较少的参数对试件的非线性蠕变行为进行拟合，在30%~ 70%恒定应力范围内准确模拟了双剪搭接接头的蠕变曲线. 关键词HFRP;搭接接头；剪切蠕变；分数阶导数流变模型 分类号TB332.1 Experiment and fractional derivative rheological modeling of the shear creep of HFRP overlap joints under dry and moist environments WANG Xiao-meng,ZHOU Chu-wei State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China Corresponding author,E-mail:zcw@nuaa.edu.cn ABSTRACT The long-term performance of overlap adhesion,one of the major joint technologies of FRP,is key to its practical engi- neering application.Experiments on the creep behaviors of the double lap joint of a hybrid FRP (HFRP)were conducted.Obvious creeps were observed and measured under various environments reflecting different levels of shear stress and humidity.Then,a frac- tional derivative rheological model was proposed to characterize the creep deformation of the overlap joints.By applying the Mittag- Leffler function to the proposed model,an improved Powell optimization algorithm with an initial-value calculation method was utilized to determine the values of the fitting parameters on the basis of the experimental data obtained.By introducing stress influence func- tions to the conventional fractional calculus,a modified formula of fractional creep compliance was considered to reflect the influence of stress level on the creep property of the overlap joint.Results indicate that the model is capable of predicting the creep behavior of o- verlap joints up to a sustained stress level of 30%-70%of the shear strength with relative simple mathematical expressions and only a few fitting parameters. KEY WORDS HFRP;overlap joint;shear creep;fractional derivative rheological model 收稿日期：2017-01-17 基金项目：国家白然科学基金资助项目(11272147,10772078)：航空科学基金资助项目(2013Z52074):机械结构力学及控制国家重点实验室 基金资助项目(0214G02):国家重点实验室开放基金资助项目(ZD130011353,ZD150021556):江苏省研究生培养创新工程资助项目(KYLX- 0220):江苏省高校优势学科建设工程项目

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期:1396鄄鄄1402,2017 年 9 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 39, No. 9: 1396鄄鄄1402, September 2017 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2017. 09. 013; http: / / journals. ustb. edu. cn 干 / 湿状态下 HFRP 搭接接头的剪切蠕变试验及分数 阶导数流变模型 王小萌, 周储伟苣 南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室, 南京 210016 苣通信作者, E鄄mail: zcw@ nuaa. edu. cn 收稿日期: 2017鄄鄄01鄄鄄17 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11272147, 10772078);航空科学基金资助项目(2013ZF52074);机械结构力学及控制国家重点实验室 基金资助项目(0214G02);国家重点实验室开放基金资助项目(IZD130011353, IZD150021556);江苏省研究生培养创新工程资助项目(KYLX_ 0220);江苏省高校优势学科建设工程项目 摘 要 搭接是纤维增强复合材料(FRP)的重要连接方式,长期性能是该技术实际工程应用的关键. 对不同恒定应力和湿 度状态下混杂 FRP(HFRP)双搭接接头的剪切蠕变性能进行了试验研究. 试验观测到了明显的蠕变变形,测定了蠕变与恒定 应力及湿度的关系. 进一步采用分数阶导数流变模型对试件的蠕变进行模拟. 根据模型所包含的 Mittag鄄鄄 Leffler 函数的性质 采用了改进的 Powell 优化算法,并确定了合理的初值,结合试验曲线拟合得到模型各参数值. 根据搭接接头蠕变的特点,在 经典分数阶流变模型中引入了表征应力水平对搭接接头非线性蠕变特性影响的函数,提出了一种改进的分数阶蠕变柔量计 算公式. 研究结果表明,该流变模型能够采用简单的表达形式和较少的参数对试件的非线性蠕变行为进行拟合,在 30% ~ 70% 恒定应力范围内准确模拟了双剪搭接接头的蠕变曲线. 关键词 HFRP; 搭接接头; 剪切蠕变; 分数阶导数流变模型 分类号 TB332郾 1 Experiment and fractional derivative rheological modeling of the shear creep of HFRP overlap joints under dry and moist environments WANG Xiao鄄meng, ZHOU Chu鄄wei 苣 State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China 苣Corresponding author, E鄄mail:zcw@ nuaa. edu. cn ABSTRACT The long鄄term performance of overlap adhesion, one of the major joint technologies of FRP, is key to its practical engi鄄 neering application. Experiments on the creep behaviors of the double lap joint of a hybrid FRP (HFRP) were conducted. Obvious creeps were observed and measured under various environments reflecting different levels of shear stress and humidity. Then, a frac鄄 tional derivative rheological model was proposed to characterize the creep deformation of the overlap joints. By applying the Mittag鄄鄄 Leffler function to the proposed model, an improved Powell optimization algorithm with an initial鄄value calculation method was utilized to determine the values of the fitting parameters on the basis of the experimental data obtained. By introducing stress influence func鄄 tions to the conventional fractional calculus, a modified formula of fractional creep compliance was considered to reflect the influence of stress level on the creep property of the overlap joint. Results indicate that the model is capable of predicting the creep behavior of o鄄 verlap joints up to a sustained stress level of 30% 鄄鄄70% of the shear strength with relative simple mathematical expressions and only a few fitting parameters. KEY WORDS HFRP; overlap joint; shear creep; fractional derivative rheological model

王小萌等：干/湿状态下HFRP搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 ·1397· 纤维增强复合材料(FRP)因其自身质轻高强易施 牌，其中环氧树脂型号为618，固化剂型号为650，按照 工等优异的性能，已广泛应用于航空航天、车辆及土木 I:1的质量比进行混合制备.HFRP为中国南京海拓复 工程等诸多领域.为了综合不同纤维的优点，目前已 合材料有限公司生产的C/GRP单向混杂纤维布. 由原来单一FRP发展出了混杂FRP(HFRP)技术.HFRP HFRP试件如图1(a)所示，根据国标GB/T1040.5一 有着优异的综合性能，在提高了FRP综合力学性能的同 2008[uo的规定，试件主体长度为250mm,厚度为0.65 时，增大了材料利用率，降低了材料成本，从而达到“1+ mm,宽度为25mm.两端用厚度为2mm,长度为50mm 1>2”的效果四，因此HFRP技术很具应用潜力. 的铝片进行加固.HFRP搭接试件如图1(b)所示，试 结构中为实现载荷的传递，FRP之间的连接是必 件主体长度为251mm(如图2所示).根据文献[)对 不可少的，搭接是FRP最主要的连接形式之一.其中 不同搭接长度的FRP胶接接头的强度试验，搭接长度 环氧树脂因其黏结性能好、施工简便、黏结接头应力分 在20mm以下，搭接长度越长，强度越大，但搭接长度 布均匀等优点逐渐成为FRP搭接用胶的首选.然而胶 到了一定阶段，随着长度的增加，强度变化不大.因 接接头的性能受黏结剂自身的力学性能以及黏结剂与 此，本试验接头的搭接长度选择40mm.胶层厚度为 FRP黏附性能的限制，剪切强度较低，FRP搭接结构的 0.25mm. 失效往往发生在接头处.对此国内外学者对胶接接头 展开了大量研究.Dean)的研究表明，环氧树脂所受 应力以及所处环境的湿度均对其蠕变行为有明显的影 (a) 响，张军等)对不同恒定应力以及不同环境下环氧树 脂的拉伸蠕变性能进行了试验研究，结果表明湿热环 境对环氧树脂拉伸蠕变性能影响显著，且这种影响随 (b) 着应力的增大被逐步扩大.Knight等[、Korta等)、 图1试件.(a)HFP试件：(b)双搭接试件 Liu等[o、Kim等[]分别对铝、钢、FRP等不同材质的 Fig.1 Specimens:(a)HFRP;(b)double-lap joint 单、双胶结接头的力学性能进行了试验研究，并考虑湿 热、干湿循环、冻融循环等环境条件对试件的影响，试 125 验结果表明经过湿热、干湿循环、冻融循环处理后的接 头，与常温常湿对照组相比，其剪切模量与剪切强度均 有明显的下降.山等[6]的研究表明湿度的增加导致 0回 碳纤维增强复合材料(CFRP)搭接接头的破坏模式由 251 树脂破坏转变为树脂/纤维界面破坏，但温度的变化不 图2双搭接试件的尺寸（单位：mm) 会导致破坏模式的改变.在长期力学性能方面，Jhin Fig.2 Dimension of the double-lap joint specimen unit:mm) 等[)对铝板胶结接头在静载、疲劳荷载以及恒定荷载 作用下的力学性能进行了试验，并建立了混合断裂模 1.2试验方法 式下的黏聚力模型.Khalil等[]对铝板胶接接头的蠕 首先进行HFRP搭接接头的剪切强度试验，试件 变性能进行了试验研究，并在接头处加入双向编织的 的破坏形态如图3所示.剪切强度的平均值为12.1 CFRP、芳纶纤维增强复合材料(AFRP)、玻璃纤维增强 MPa.蠕变试验的恒定应力根据极限强度选定，取剪 复合材料(GFRP)进行加强，试验表明FRP的加入可 切强度的30%~70%，分别为4,6和8MPa. 明显改善胶结接头的蠕变性能. 剪切蠕变试验在长春试验机研究所生产CSS- 已有研究结果表明，环氧树脂胶结FRP接头具有 3910电子蠕变试验机进行（如图4所示），配套的 明显的黏弹性，在长期荷载作用下将导致黏接结构的 EDC120/60数字控制器由德国D0LI电子公司生产的 蠕变，最终可能导致黏接结构失去原有形态而丧失功 配以计算机系统组合而成.配套引伸计的精确度为 能.因此对于P搭接结构，在满足强度要求的情况下， 0.001mm.试件的剪切蠕变变形计算方法如下所示. 还应保证其能够长期使用而不发生失效.此外，RP搭接 设引伸计测点分别为A-A'与B-B'(如图5所 头可能会在不同工作环境以及载荷水平下工作，因此必 示).A-A'到B-B的距离为△B·试验开始后，蠕变试 须深入研究上述环境因素对其长期性能的影响. 验机开始加载，在t。时达到至指定荷载P,此时FRP受 1试验材料与方法 力产生变形，令FRP变形引起的△s的增加量为 △，，则此时搭接接头的剪切弹性应变y为： 1.1试件与材料 y.=4u()-4m) (1) 本试验采用的环氧树脂与固化剂均为国产凤凰 2h

王小萌等: 干/ 湿状态下 HFRP 搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 纤维增强复合材料(FRP)因其自身质轻高强易施 工等优异的性能,已广泛应用于航空航天、车辆及土木 工程等诸多领域. 为了综合不同纤维的优点,目前已 由原来单一 FRP 发展出了混杂 FRP(HFRP)技术. HFRP 有着优异的综合性能,在提高了 FRP 综合力学性能的同 时,增大了材料利用率,降低了材料成本,从而达到“1 + 1 >2冶的效果[1] ,因此 HFRP 技术很具应用潜力. 结构中为实现载荷的传递,FRP 之间的连接是必 不可少的,搭接是 FRP 最主要的连接形式之一. 其中 环氧树脂因其黏结性能好、施工简便、黏结接头应力分 布均匀等优点逐渐成为 FRP 搭接用胶的首选. 然而胶 接接头的性能受黏结剂自身的力学性能以及黏结剂与 FRP 黏附性能的限制,剪切强度较低,FRP 搭接结构的 失效往往发生在接头处. 对此国内外学者对胶接接头 展开了大量研究. Dean [2] 的研究表明,环氧树脂所受 应力以及所处环境的湿度均对其蠕变行为有明显的影 响,张军等[3]对不同恒定应力以及不同环境下环氧树 脂的拉伸蠕变性能进行了试验研究,结果表明湿热环 境对环氧树脂拉伸蠕变性能影响显著,且这种影响随 着应力的增大被逐步扩大. Knight 等[4] 、Korta 等[5] 、 Liu 等[6] 、Kim 等[7] 分别对铝、钢、FRP 等不同材质的 单、双胶结接头的力学性能进行了试验研究,并考虑湿 热、干湿循环、冻融循环等环境条件对试件的影响,试 验结果表明经过湿热、干湿循环、冻融循环处理后的接 头,与常温常湿对照组相比,其剪切模量与剪切强度均 有明显的下降. Liu 等[6] 的研究表明湿度的增加导致 碳纤维增强复合材料(CFRP)搭接接头的破坏模式由 树脂破坏转变为树脂/ 纤维界面破坏,但温度的变化不 会导致破坏模式的改变. 在长期力学性能方面,Jhin 等[8]对铝板胶结接头在静载、疲劳荷载以及恒定荷载 作用下的力学性能进行了试验,并建立了混合断裂模 式下的黏聚力模型. Khalili 等[9]对铝板胶接接头的蠕 变性能进行了试验研究,并在接头处加入双向编织的 CFRP、芳纶纤维增强复合材料(AFRP)、玻璃纤维增强 复合材料(GFRP) 进行加强,试验表明 FRP 的加入可 明显改善胶结接头的蠕变性能. 已有研究结果表明,环氧树脂胶结 FRP 接头具有 明显的黏弹性,在长期荷载作用下将导致黏接结构的 蠕变,最终可能导致黏接结构失去原有形态而丧失功 能. 因此对于 FRP 搭接结构,在满足强度要求的情况下, 还应保证其能够长期使用而不发生失效. 此外,FRP 搭接 头可能会在不同工作环境以及载荷水平下工作,因此必 须深入研究上述环境因素对其长期性能的影响. 1 试验材料与方法 1郾 1 试件与材料 本试验采用的环氧树脂与固化剂均为国产凤凰 牌,其中环氧树脂型号为 618,固化剂型号为 650,按照 1颐 1的质量比进行混合制备. HFRP 为中国南京海拓复 合材料有限公司生产的 C/ GFRP 单向混杂纤维布. HFRP 试件如图 1( a)所示,根据国标 GB/ T 1040郾 5 ― 2008 [10]的规定,试件主体长度为 250 mm,厚度为 0郾 65 mm,宽度为 25 mm. 两端用厚度为 2 mm,长度为 50 mm 的铝片进行加固. HFRP 搭接试件如图 1( b)所示,试 件主体长度为 251 mm(如图 2 所示). 根据文献[11] 对 不同搭接长度的 FRP 胶接接头的强度试验,搭接长度 在 20 mm 以下,搭接长度越长,强度越大,但搭接长度 到了一定阶段,随着长度的增加,强度变化不大. 因 此,本试验接头的搭接长度选择 40 mm. 胶层厚度为 0郾 25 mm. 图 1 试件. (a) HFRP 试件;(b) 双搭接试件 Fig. 1 Specimens: (a) HFRP; (b)double鄄lap joint 图 2 双搭接试件的尺寸(单位:mm) Fig. 2 Dimension of the double鄄lap joint specimen (unit: mm) 1郾 2 试验方法 首先进行 HFRP 搭接接头的剪切强度试验,试件 的破坏形态如图 3 所示. 剪切强度的平均值为 12郾 1 MPa. 蠕变试验的恒定应力根据极限强度选定,取剪 切强度的 30% ~ 70% ,分别为 4,6 和 8 MPa. 剪切蠕变试验在长春试验机研究所生产 CSS鄄鄄 3910 电子蠕变试 验 机 进 行 ( 如 图 4 所 示),配 套 的 EDC120 / 60 数字控制器由德国 DOLI 电子公司生产的 配以计算机系统组合而成. 配套引伸计的精确度为 0郾 001 mm. 试件的剪切蠕变变形计算方法如下所示. 设引伸计测点分别为 A鄄鄄 A忆与 B鄄鄄 B忆(如图 5 所 示). A鄄鄄A忆到 B鄄鄄B忆的距离为 驻AB . 试验开始后,蠕变试 验机开始加载,在 t 0时达到至指定荷载 P,此时 FRP 受 力产 生 变 形, 令 FRP 变 形 引 起 的 驻AB 的 增 加 量 为 驻AB,FRP ,则此时搭接接头的剪切弹性应变 酌e为: 酌e = 驻AB (t 0 ) - 驻AB,FRP (t 0 ) 2h . (1) ·1397·

·1398· 工程科学学报，第39卷，第9期 能保留经典流变模型直观易懂、物理概念清晰的优点， 还能克服经典黏弹性流变模型元件多参数多的缺点， 仅用少数几个元件的组合即可与试验结果很好吻合 分数阶微积分的定义有很多种，其中Riemann-Li- ouville分数阶微积分应用最为普遍，对于函数f(t)的 a阶积分定义式为[： 0=a是k (3) 其中D即为a阶微分算子，0≤a<1.Gamma函数的 图3双搭接试件的破坏模式 Fig.3 Failure mode of the double-lap joint 定义为r(e)-厂r-。山.经典黏弹性理论中定义 Hook弹簧的力学响应为σ(t)=Eε(t),牛顿黏壶的力 学响应为：σ(t)=(t).而分数阶黏壶的力学响应可 写作两者的统一：σ(t)=E-“nDε(t),当a=0时可退 化成弹簧元件，当a=1时可退化成Newton黏壶.取松 弛时间T=/E,于是可得简化后的分数阶黏壶本构为： σ(t)=Er“DE(t) (4) 式中，弹性模量E,松弛时间？与阶数α为分数阶黏壶 的基本参数，且均与材料自身的性质有关.分数阶黏 壶可用于模拟处于流体与固体之间的材料.当受到持 荷作用时，其变形既不会像牛顿流体那样线性增加，也 不会像线弹性固体那样瞬时完成应变，而是呈现出非 图4试验装置图 线性增长的情况.现实情况中是不存在理想的固体和 Fig.4 Test device 流体的，因此采用分数阶导数黏壶对材料的蠕变行为 式中，h为环氧树脂层的厚度.之后荷载保持恒定不 进行模拟具有更广泛的普适性. 变，进入蠕变试验阶段，对于任意时刻：，试件的剪切蠕 本文采用带弹簧的活塞元件表示分数阶黏壶，将 变应变y.为： 几种常见的流变模型的组合列于图6.其中图6(a)的 y.()=4a(0-4so) 分数阶导数Maxwell模型(Maxwell)与图6(b)的分数 (2) 2h 阶导数Kelvin模型(Kelvin)为四参数模型，图6(c)的 Epoxy HFRP 分数阶导数Ross模型(Ross)为五参数串并联模型. HFRP B 由于Maxwell模型蠕变最终不会停止，而Kelvin模型 P◆ ◆P 不能拟合加载初期的瞬时应变，均与实际材料特性不 符，因此本文采用Ross模型对本试验进行模拟. A(V2-AABFRPU2 △02-4s,2 (a) (b) E、 HFRP y HFRP HFRP Epoxy Epoxy Epoxy HFRP HFRP HFRP 加载前 瞬时弹性应变 蠕变应变 图5双搭接试件剪切应变计算示意图 Fig.5 Schematic of the shear creep strain calculation of the double lap joint 图6不同元件组合的流变模型.(a)Maxwell模型：(b)fKelvin 模型；(c)Ross模型 Fig.6 Various combinations of rheological models:(a)fMaxwell 2分数阶导数流变模型 model;(b)fKelvin model;(c)fRoss model 经典的黏弹性流变模型主要为Hooke弹簧与 在恒定应力σ作用下，Ross模型的总应变￡可以 Newton黏壶的串并联组合，但想要得到较为精确的拟 看成由两部分组成（如图6(c)所示）： 合结果，往往需要多个元件且需要调整大量的参数. 众多学者的研究表明[2-]，分数阶导数流变模型不仅 E,E2+E,r“D (5)

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 图 3 双搭接试件的破坏模式 Fig. 3 Failure mode of the double鄄lap joint 图 4 试验装置图 Fig. 4 Test device 式中,h 为环氧树脂层的厚度. 之后荷载保持恒定不 变,进入蠕变试验阶段,对于任意时刻 t,试件的剪切蠕 变应变 酌c为: 酌c(t) = 驻AB (t) - 驻AB (t 0 ) 2h . (2) 图 5 双搭接试件剪切应变计算示意图 Fig. 5 Schematic of the shear creep strain calculation of the double lap joint 2 分数阶导数流变模型 经典的黏弹性流变模型主要为 Hooke 弹簧 与 Newton 黏壶的串并联组合,但想要得到较为精确的拟 合结果,往往需要多个元件且需要调整大量的参数. 众多学者的研究表明[12鄄鄄13] ,分数阶导数流变模型不仅 能保留经典流变模型直观易懂、物理概念清晰的优点, 还能克服经典黏弹性流变模型元件多参数多的缺点, 仅用少数几个元件的组合即可与试验结果很好吻合. 分数阶微积 分 的 定 义 有 很 多 种,其 中 Riemann鄄鄄 Li鄄 ouville 分数阶微积分应用最为普遍,对于函数 f( t)的 琢 阶积分定义式为[14] : D 琢 f(t) = 1 祝(1 - 琢) d dt 乙 t 0 f(子) (t - 子) 琢 d子. (3) 其中 D 琢即为 琢 阶微分算子,0臆琢 < 1. Gamma 函数的 定义为 祝(z) = 乙 肄 0 t z - 1 e - t dt. 经典黏弹性理论中定义 Hook 弹簧的力学响应为 滓(t) = E着( t),牛顿黏壶的力 学响应为:滓(t) = 浊着 · (t). 而分数阶黏壶的力学响应可 写作两者的统一:滓(t) = E 1 - 琢 浊 琢D 琢 着(t),当 琢 = 0 时可退 化成弹簧元件,当 琢 = 1 时可退化成 Newton 黏壶. 取松 弛时间 子 = 浊/ E,于是可得简化后的分数阶黏壶本构为: 滓(t) = E子 琢D 琢 着(t). (4) 式中,弹性模量 E,松弛时间 子 与阶数 琢 为分数阶黏壶 的基本参数,且均与材料自身的性质有关. 分数阶黏 壶可用于模拟处于流体与固体之间的材料. 当受到持 荷作用时,其变形既不会像牛顿流体那样线性增加,也 不会像线弹性固体那样瞬时完成应变,而是呈现出非 线性增长的情况. 现实情况中是不存在理想的固体和 流体的,因此采用分数阶导数黏壶对材料的蠕变行为 进行模拟具有更广泛的普适性. 本文采用带弹簧的活塞元件表示分数阶黏壶,将 几种常见的流变模型的组合列于图 6. 其中图 6( a)的 分数阶导数 Maxwell 模型(fMaxwell)与图 6(b)的分数 阶导数 Kelvin 模型(fKelvin)为四参数模型,图 6( c)的 分数阶导数 Ross 模型( fRoss) 为五参数串并联模型. 由于 fMaxwell 模型蠕变最终不会停止,而 fKelvin 模型 不能拟合加载初期的瞬时应变,均与实际材料特性不 符,因此本文采用 fRoss 模型对本试验进行模拟. 图 6 不同元件组合的流变模型. ( a) fMaxwell 模型;( b) fKelvin 模型;(c) fRoss 模型 Fig. 6 Various combinations of rheological models: ( a) fMaxwell model; (b) fKelvin model; (c) fRoss model 在恒定应力 滓 作用下,fRoss 模型的总应变 着 可以 看成由两部分组成(如图 6(c)所示): 着 = 滓 E1 + 滓 E2 + E3 子 琢D 琢 . (5) ·1398·

王小萌等：干/湿状态下HP搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 ·1399· 如图6(c)所示，E,与E,分别为Ross模型中串 初始值进行确定 联以及并联部分弹簧的弹性模量，E,为分数阶黏壶 本文的参数拟合可归结为一个约束非线性最小二 的材料参数.根据式(5)可得Ross模型的本构关系 乘问题，令蠕变柔量计算值为J(x,),其中x=(x, 式为： …,x。)「为材料参数的列向量，t为时间，n为参数个 d+Ar“Do=Be+Cr“D°E (6) 数.所有材料参数均非负，其中关于分数阶阶数的参 式中，A=E3/(E,+E2),B=E,E2(E1+E2),C=E 数（例如x,)限制在0到1之间.若最终优化值x.=1, E/(E,+E2),式中A、B、C均为材料参数.根据蠕变 则说明Newton黏壶的拟合优于分数阶黏壶，反之亦 柔量的定义s=J(t)o,对式(6)做Laplace变换与逆变 然.试验所得数据记为(，：)，i=1,…,m,其中r为试 换可得Ross模型的蠕变柔量的表达式为： 验测得的蠕变柔量值，m为试验测试点的个数，且需满 w=a+4c【-2(片）] (7) 足m>n.则目标函数为： 其中，双参数Mittag-Lefflertis]函数表达式为：E。B(z)= minf(x)= [J(x,)-r]2, (9) 言a(eB>0.其L4pae变换有：e (x≥0，i=1,…,n-1: s.t. (0≤xm≤1. (±a)业=对于式(7)表达式B值为1，而 Powell法的基本思想是把整个寻优过程划分为数 个阶段，每个阶段对应n+1轮一维搜索，其中n为变 0≤a≤1.当a=B=1时，E.(z)=e;当a=0,B=1 量个数.前n轮搜索分别沿着n个互不相关的方向进 时，Eo,:(z)=1/(1-z);当B=1,0<a<1时，Mittag- 行搜索，并在搜索结束后得到的一个最好点.第n+1 Leffler函数相当于在指数函数e与双曲函数l/(1-z) 轮搜索由初始点与该最好点确定一个新的方向，沿该 之间进行插值. 方向搜索得到本阶段的最好点.在进行下一阶段搜索 考虑到式(4)中的E,与“并不独立，可将Ross模 时，将该方向替换n个搜索方向中的一个，然后重复上 型中并联部分的参数做进一步简化，令E3=E2=E”, 述过程直到满足收敛条件 将参数变缩减为四个，简化后的蠕变柔量表达式为： 考虑到可能出现n个搜索方向接近甚至完全线性 四=官+-(-（片”）小 (8) 相关的情况，这使得搜索很难达到极小点.为了避免 这种情况，杨晓东等[1]对Powell法进行了改进，每个 式中，四个材料参数E,、E·、T、α可通过对试验数据拟 阶段n个搜索方向保持不变，只有搜索区间发生变化. 合得到.拟合问题本质上是一个优化问题，目前常用 具体算法步骤如下： 的优化算法有遗传算法、直接搜索法、麦夸特法等.经 (1)给定初始点x(0),取允许误差e>0,设n个 典遗传算法虽然在全局分析上有一定优势，但在复杂 线性相关搜索方向为专=xe,(i=1,2,…,n),其 空间上的局部搜索能力较弱，易过早陷人未成熟收敛， 中e,是为n元单位列向量，第i个元素是1，其余为0. 并在接近最优解时，由于优化压力较小导致搜索效 率低，往往需要在其中嵌入局部搜索模块来提高搜 (2)将k用于对循环的阶段进行计数，令x,= 索能力.陈宏善等[]采用共轭梯度法对遗传算法给 x-”,开始进行i=1,2,…,n循环，从每阶段的初始点 出的参数进行局域优化，但由于计算梯度需要对目 x,)出发，沿方向，”进行一维非线性搜索，搜索方 标函数进行求导，而Mittag-Leffler函数的导数不易 法采用文献[18]中的黄金分割法.找到使得f(x-”+ 求得，故在计算时采用了近似函数对Mittag~Leffler A专)=minf(x-)+入专0)的入，更新x.0= 函数进行了替换.由于Mittag-Leffler函数包含无穷 x-》+入0，i=l,2,…,n.其中入被限定在一定 求和项，其导数尚无明确的表达式，因此优化时采用 区域，入∈[6,6，]，一维搜索空间根据x-)动态变 直接搜索法更为有效.Powell法[u6]是一种用于搜索 化，例如x.∈[6，x-”,6,x-],i=1,2,…,n. 多变量函数最小值的有效方法，其本质是共轭梯度 对于x来说，在沿专进行搜索时，还须满足6，≥-1 法，优点是不需要求导运算，方法简单，收敛速率快， 且≤min(62,l/x-)-1),以保证0≤x.≤1. 精度高，可靠性好)，但为了保证收敛到全局最优 (3)令x=x-l),如果‖x山-x4-‖/ 值，必须选择合适的初始点.杨晓东等[)]采用改进 ‖x‖≤￡，计算结束，否则k=k+1,继续(1) 的Powell法对聚合物熔体的黏度模型进行了参数拟 本算法的搜索速率与初始值、搜索范围以及终止 合，拟合结果优于阻尼Newton法与遗传算法.因此 标准有关.设置合理的初值既可减少计算量又可得到 本文采用此方法对参数进行拟合，并根据Mittag-Lef- 较好的拟合结果.Ross模型的参数初值可根据Mit- ler函数的性质采用了简单的初值确定方法对拟合 tag-Leffler函数的特性确定

王小萌等: 干/ 湿状态下 HFRP 搭接接头的剪切蠕变试验及分数阶导数流变模型 如图 6( c) 所示,E1 与 E2 分别为 fRoss 模型中串 联以及并联部分弹簧的弹性模量,E3 为分数阶黏壶 的材料参数. 根据式(5)可得 fRoss 模型的本构关系 式为: 滓 + A子 琢D 琢滓 = B着 + C子 琢D 琢 着. (6) 式中,A = E3 / ( E1 + E2 ),B = E1 E2 / ( E1 + E2 ),C = E1 E3 / (E1 + E2 ),式中 A、B、C 均为材料参数. 根据蠕变 柔量的定义 着 = J(t)滓,对式(6)做 Laplace 变换与逆变 换可得 fRoss 模型的蠕变柔量的表达式为: J(t) = 1 B + AB - C BC E琢,1 [ - ( B C t ) 子 ] 琢 . (7) 其中,双参数 Mittag鄄鄄 Leffler [15]函数表达式为:E琢,茁 (z) = 移 肄 k = 0 z k 祝(琢k + 茁) ,(琢,茁 > 0). 其 Laplace 变换有: 乙 肄 0 e - st E琢,1 ( 依 at 琢 )dt = s 琢 - 1 s 琢芎a . 对于式(7)表达式,茁 值为 1,而 0臆琢臆1. 当 琢 = 茁 = 1 时,E1,1 ( z) = e z ;当 琢 = 0,茁 = 1 时,E0,1 (z) = 1 / (1 - z);当 茁 = 1,0 < 琢 < 1 时,Mittag鄄鄄 Leffler 函数相当于在指数函数 e z与双曲函数 1 / (1 - z) 之间进行插值. 考虑到式(4)中的 E2与 子 琢并不独立,可将 fRoss 模 型中并联部分的参数做进一步简化,令 E3 = E2 = E * , 将参数变缩减为四个,简化后的蠕变柔量表达式为: J(t) = 1 E1 + 1 E * [ 1 - E琢,1 ( - ( t ) 子 ) ] 琢 . (8) 式中,四个材料参数 E1 、E * 、子、琢 可通过对试验数据拟 合得到. 拟合问题本质上是一个优化问题,目前常用 的优化算法有遗传算法、直接搜索法、麦夸特法等. 经 典遗传算法虽然在全局分析上有一定优势,但在复杂 空间上的局部搜索能力较弱,易过早陷入未成熟收敛, 并在接近最优解时,由于优化压力较小导致搜索效 率低,往往需要在其中嵌入局部搜索模块来提高搜 索能力. 陈宏善等[15]采用共轭梯度法对遗传算法给 出的参数进行局域优化,但由于计算梯度需要对目 标函数进行求导,而 Mittag鄄鄄 Leffler 函数的导数不易 求得,故在计算时采用了近似函数对 Mittag鄄鄄 Leffler 函数进行了替换. 由于 Mittag鄄鄄 Leffler 函数包含无穷 求和项,其导数尚无明确的表达式,因此优化时采用 直接搜索法更为有效. Powell 法[16] 是一种用于搜索 多变量函数最小值的有效方法,其本质是共轭梯度 法,优点是不需要求导运算,方法简单,收敛速率快, 精度高,可靠性好[17] ,但为了保证收敛到全局最优 值,必须选择合适的初始点. 杨晓东等[18] 采用改进 的 Powell 法对聚合物熔体的黏度模型进行了参数拟 合,拟合结果优于阻尼 Newton 法与遗传算法. 因此 本文采用此方法对参数进行拟合,并根据 Mittag鄄鄄Lef鄄 fler 函数的性质采用了简单的初值确定方法对拟合 初始值进行确定. 本文的参数拟合可归结为一个约束非线性最小二 乘问题,令蠕变柔量计算值为 J( x,t),其中 x = ( x1 , …,xn ) T 为材料参数的列向量,t 为时间,n 为参数个 数. 所有材料参数均非负,其中关于分数阶阶数的参 数(例如 xn )限制在 0 到 1 之间. 若最终优化值 xn = 1, 则说明 Newton 黏壶的拟合优于分数阶黏壶,反之亦 然. 试验所得数据记为(t i,ri),i = 1,…,m,其中 ri为试 验测得的蠕变柔量值,m 为试验测试点的个数,且需满 足 m > n. 则目标函数为: min f(x) = 移 m i = 1 [J(x,t i) - ri] 2 , (9) s. t. xi逸0,i = 1,…,n - 1; 0臆x { n臆1. Powell 法的基本思想是把整个寻优过程划分为数 个阶段,每个阶段对应 n + 1 轮一维搜索,其中 n 为变 量个数. 前 n 轮搜索分别沿着 n 个互不相关的方向进 行搜索,并在搜索结束后得到的一个最好点. 第 n + 1 轮搜索由初始点与该最好点确定一个新的方向,沿该 方向搜索得到本阶段的最好点. 在进行下一阶段搜索 时,将该方向替换 n 个搜索方向中的一个,然后重复上 述过程直到满足收敛条件. 考虑到可能出现 n 个搜索方向接近甚至完全线性 相关的情况,这使得搜索很难达到极小点. 为了避免 这种情况,杨晓东等[18] 对 Powell 法进行了改进,每个 阶段 n 个搜索方向保持不变,只有搜索区间发生变化. 具体算法步骤如下: (1)给定初始点 x(0),取允许误差 着 > 0,设 n 个 线性相关搜索方向为 孜 (0) i = x (0) i ei,( i = 1,2,…,n),其 中 ei是为 n 元单位列向量,第 i 个元素是 1,其余为 0. (2)将 k 用于对循环的阶段进行计数,令 x (k,0) = x (k - 1) ,开始进行 i = 1,2,…,n 循环,从每阶段的初始点 x (k,i - 1)出发,沿方向 孜 (k,i) i 进行一维非线性搜索,搜索方 法采用文献[18]中的黄金分割法. 找到使得 f(x (k,i -1) + 姿i 孜 (k,i) ) = min f( x (k,i - 1) + 姿i 孜 (k,i) ) 的 姿i,更新 x (k,i) = x (k,i - 1) + 姿i 孜 (k,i) , i = 1,2,…,n. 其中 姿 被限定在一定 区域,姿沂[ 啄1 ,啄2 ],一维搜索空间根据 x (k,i - 1) 动态变 化,例如 x (k,1) i 沂[ 啄1 x (k,i - 1) ,啄2 x (k,i - 1) ], i = 1,2,…,n. 对于 xn来说,在沿 孜 (k,n)进行搜索时,还须满足 啄1逸 - 1 且 姿臆min(啄2 ,1 / x (k,i - 1) n - 1),以保证 0臆xn臆1. (3 ) 令 x (k) = x (k - 1,n) , 如 果 椰 x (k) - x (k - 1) 椰/ 椰x (k)椰臆着,计算结束,否则 k = k + 1,继续(1). 本算法的搜索速率与初始值、搜索范围以及终止 标准有关. 设置合理的初值既可减少计算量又可得到 较好的拟合结果. fRoss 模型的参数初值可根据 Mit鄄 tag鄄鄄Leffler 函数的特性确定. ·1399·

·1400· 工程科学学报，第39卷，第9期 当1=0时，￡0)=1，初始绣变柔量J0)官 6MPa增加到8MPa,蠕变柔量增加了39.95%；吸湿 后，应力从4MPa增加到6MPa,蠕变柔量增加了 当一+时，m【-(号）广门=0，长期蠕变柔量 46.20%:应力从6MPa增加到8MPa,蠕变柔量增加了 68.83%.受同等恒定应力的干湿试件相比，应力为4、 1 (或平衡螨变柔量)为m(④石+正。如果将蛞变 6、8MPa时，吸湿试件蠕变柔量分别是干燥试件的 1.83、1.88、2.27倍. 试验开始以及结束时的试验数据看做J。和J,那么 0.4 可以近似认为。=官=官+广则可得到E,与 。。心8e。o·心。°口漫4阳二被鉴信 一湿4MPa-拟合值 03 a湿6MPa-试验值 E·的初值： 人 ===湿-6MPa-拟合值 E,0)=方。 女a2石五一云一A。湿-8二减骏馆 湿-8MPa-拟合值 (10) 01 :手 1 E(0)=-J。 米*米米×干-6P阳-试验值 (11) -干-6MPa-拟合值 0.20.40.60.81.0 当B=l,0<a<1时Mittag-Leffler函数有如下特 时间h 性：取t/r=0.7,E.（-0.7°)∈(0.474,0.5]，故可近 图7HFRP搭接试件蠕变柔量曲线（试验值与fRoss模型拟 似认为E.(-0.7“)=0.5.取蠕变柔量试验曲线上一 合值) 点(a.s,Ja5),满足Ja5=0.5(Jo+J),则T的初值 Fig.7 Creep curves of the HFRP lap joint determined from the ex- 可取： periment and the fRoss model r(0)=t。s/0.7. (12) 当0<tgl时，Mittag--Leffler函数有如下近似[]： 产生这种现象的主要原因是，吸湿促进了搭接胶 E.(-°)≈er1m.而0≤a≤1时，r(1+a)∈ 层的塑化20).并且水在HFRP胶接界面扩散时，会弱 (0.885,1].故在此范围内可做如下近似： 化界面的范德华力，并导致界面处的化学键水解，使得 E.(-)≈er.假设蠕变柔量试验曲线上有一 界面发生开裂和脱黏损伤2)，而外加应力可加速该过 点(aJ),满足a=mr,且0<m心l,把该点带入式 程的发生.施加的应力越大，裂纹在基体中形成和扩 (8),并结合式(10)~(12)则可得出a的初值为： 展的速度就越快[]，同时裂纹又可进一步增大复合材 料的吸湿量.此外，应力的存在也加速了界面的脱 ao)=(-会法） (13) 黏].应力越大，界面脱黏的程度就越大，吸湿量也 相应增大.因此应力和吸湿的耦合作用可进一步加速 3试验结果与分析 界面的损伤.此外，由于HFRP搭接接头中碳纤维、玻 蠕变试验的试件分为HFRP试件与HFRP搭接试 璃纤维与环氧树脂的吸湿率存在差异，吸湿后的膨胀 件两种，并分干燥与吸湿两组进行对比试验.由于搭 程度均不相同.这些因素均会影响了搭接接头的吸湿 接试件中包含多种材料，吸湿称重并不能完全反映出 后的蠕变性能. 各材料的吸湿情况，因此，湿处理的HFRP搭接试件在 Ross模型的拟合结果与试验结果的对比如图7 室温下浸水7d,使试件近似达到饱和吸湿.试验室气 所示.本文采用的搜索范围为8，=-0.5,82=0.5，终 温为20±5℃，加载分为两个阶段：第一阶段为预加 止标准为e=1×10-.初值根据式(10)~(13)计算 载，采用位移控制加载，加载速率为1mm·min,荷载 得出.从图7中可看出，Ross模型虽然参数较少，但 从0加载到指定值：第二阶段为荷载保持阶段，采用荷 与试验结果拟合的相关度较高.拟合所得各参数随应 载控制，保持荷载不变直至试验达到指定时间结束. 力的变化趋势如图8所示. 首先进行的是HFRP片材的拉伸蠕变试验，试验 从图8中可以看出，4个独立参数E,、E”、T、α均 中并未观测到干燥以及吸湿后的HFRP片材存在明显 与恒定应力有近似线性的关系.于是，可将式(8)中的 的蠕变变形.因此在本研究中认为HFRP的蠕变变形 常数E、E·、T、a进一步替换为恒定应力σ的函数E, 可忽略不计.HFRP搭接试件的剪切蠕变试验结果如 (σ)，E(σ)，a(σ)与T(σ)，得到改进的fRoss模型蠕 图7所示.从图中可以看出应力与湿度均对试件的蠕 变柔量表达式： 变产生了较大的影响.随着恒定应力的增加，剪切蠕 变变形更加明显，试验结束时的蠕变柔量也就越大 o=a*o-a((a) 试件吸湿后这种影响更加明显：对于干燥试件，应力从 (14) 4MPa增加到6MPa,蠕变柔量增加了42.46%；应力从 其中，对于干燥试件：

工程科学学报,第 39 卷,第 9 期 当 t = 0 时,E琢,1 (0) = 1,初始蠕变柔量 J(0) = 1 E1 ; 当 t寅 + 肄 时, lim t寅 + 肄 E琢,1 [ - ( t ) 子 ] 琢 = 0,长期蠕变柔量 (或平衡蠕变柔量)为 lim t寅 + 肄 J(t) = 1 E1 + 1 E * . 如果将蠕变 试验开始以及结束时的试验数据看做 Jt0和 Jtmax,那么 可以近似认为 Jt0 = 1 E1 ,Jtmax = 1 E1 + 1 E * ,则可得到 E1与 E * 的初值: E1 (0) = 1 Jt0 , (10) E * (0) = 1 Jtmax - Jt0 . (11) 当 茁 = 1,0 < 琢 < 1 时 Mittag鄄鄄 Leffler 函数有如下特 性:取 t / 子 = 0郾 7,E琢 ( - 0郾 7 琢 ) 沂(0郾 474,0郾 5],故可近 似认为 E琢 ( - 0郾 7 琢 ) = 0郾 5. 取蠕变柔量试验曲线上一 点(t 0郾 5 ,Jt0郾 5 ),满足 Jt0郾 5 = 0郾 5( Jt0 + Jtmax ),则 子 的初值 可取: 子(0) = t 0郾 5 / 0郾 7. (12) 当 0 < t垲1 时,Mittag鄄鄄Leffler 函数有如下近似[19] : E琢 ( - t 琢 ) 抑e - t 琢 / 祝(1 + 琢) . 而 0 臆琢臆1 时,祝(1 + 琢) 沂 (0郾 885,1]. 故在此范围内可做如下近似: E琢 ( - t 琢 )抑e - t 琢 . 假设蠕变柔量试验曲线上有一 点(t tm ,Jtm ),满足 t tm = m子,且 0 < m垲1,把该点带入式 (8),并结合式(10) ~ (12)则可得出 琢 的初值为: 琢(0) = logm ( - ln Jtmax - Jtm Jtmax - Jt ) 0 . (13) 3 试验结果与分析 蠕变试验的试件分为 HFRP 试件与 HFRP 搭接试 件两种,并分干燥与吸湿两组进行对比试验. 由于搭 接试件中包含多种材料,吸湿称重并不能完全反映出 各材料的吸湿情况,因此,湿处理的 HFRP 搭接试件在 室温下浸水 7 d,使试件近似达到饱和吸湿. 试验室气 温为 20 依 5 益 ,加载分为两个阶段:第一阶段为预加 载,采用位移控制加载,加载速率为 1 mm·min - 1 ,荷载 从 0 加载到指定值;第二阶段为荷载保持阶段,采用荷 载控制,保持荷载不变直至试验达到指定时间结束. 首先进行的是 HFRP 片材的拉伸蠕变试验,试验 中并未观测到干燥以及吸湿后的 HFRP 片材存在明显 的蠕变变形. 因此在本研究中认为 HFRP 的蠕变变形 可忽略不计. HFRP 搭接试件的剪切蠕变试验结果如 图 7 所示. 从图中可以看出应力与湿度均对试件的蠕 变产生了较大的影响. 随着恒定应力的增加,剪切蠕 变变形更加明显,试验结束时的蠕变柔量也就越大. 试件吸湿后这种影响更加明显:对于干燥试件,应力从 4 MPa 增加到 6 MPa,蠕变柔量增加了 42郾 46% ;应力从 6 MPa 增加到 8 MPa,蠕变柔量增加了 39郾 95% ;吸湿 后,应 力 从 4 MPa 增 加 到 6 MPa, 蠕 变 柔 量 增 加 了 46郾 20% ;应力从 6 MPa 增加到 8 MPa,蠕变柔量增加了 68郾 83% . 受同等恒定应力的干湿试件相比,应力为 4、 6、8 MPa 时,吸湿试件蠕变柔量分别是干燥试件的 1郾 83、1郾 88、2郾 27 倍. 图 7 HFRP 搭接试件蠕变柔量曲线( 试验值与 fRoss 模型拟 合值) Fig. 7 Creep curves of the HFRP lap joint determined from the ex鄄 periment and the fRoss model 产生这种现象的主要原因是,吸湿促进了搭接胶 层的塑化[20] . 并且水在 HFRP 胶接界面扩散时,会弱 化界面的范德华力,并导致界面处的化学键水解,使得 界面发生开裂和脱黏损伤[21] ,而外加应力可加速该过 程的发生. 施加的应力越大,裂纹在基体中形成和扩 展的速度就越快[22] ,同时裂纹又可进一步增大复合材 料的吸湿量. 此外,应力的存在也加速了界面的脱 黏[23] . 应力越大,界面脱黏的程度就越大,吸湿量也 相应增大. 因此应力和吸湿的耦合作用可进一步加速 界面的损伤. 此外,由于 HFRP 搭接接头中碳纤维、玻 璃纤维与环氧树脂的吸湿率存在差异,吸湿后的膨胀 程度均不相同. 这些因素均会影响了搭接接头的吸湿 后的蠕变性能. fRoss 模型的拟合结果与试验结果的对比如图 7 所示. 本文采用的搜索范围为 啄1 = - 0郾 5,啄2 = 0郾 5,终 止标准为 着 = 1 伊 10 - 3 . 初值根据式(10) ~ (13)计算 得出. 从图 7 中可看出,fRoss 模型虽然参数较少,但 与试验结果拟合的相关度较高. 拟合所得各参数随应 力的变化趋势如图 8 所示. 从图 8 中可以看出,4 个独立参数 E1 、E * 、子、琢 均 与恒定应力有近似线性的关系. 于是,可将式(8)中的 常数 E1 、E * 、子、琢 进一步替换为恒定应力 滓 的函数 E1 (滓),E * (滓),琢(滓)与 子(滓),得到改进的 fRoss 模型蠕 变柔量表达式: J(t) = 1 E1 (滓) + 1 E * (滓 [ ) 1 - E琢(滓),1 ( - ( t 子(滓 ) ) 琢(滓 ) ] ) . (14) 其中,对于干燥试件: ·1400·