解法2：作半径为1/2的同心圆，其外接等边三角形的边长为V3。在单位圆内随机地取一个点（x1x2），垂直于该径向作一条弦（绿色）。若该点落在半径1/2的圆的内部，则绿色弦长大于V3。故所求概率为小圆与大圆面积之比，即1/4。Y评注：解法2认为“随机取一条弦”的意思是“随机取弦的中点”，概率由两个圆的面积之比得到，这实际上假设了弦的中点在圆内均匀分布：(x1,X2)~U(B2),容易计算此时极坐标满足：. 0~U(0,2元),: r = /x +x2~/U(0,1)6
6 解法2：作半径为1/2的同心圆，其外接等边三角形的边长为 3。在单 位圆内随机地取一个点 𝑥1, 𝑥2 ，垂直于该径向作一条弦（绿色）。若 该点落在半径1/2的圆的内部，则绿色弦长大于 3。 故所求概率为小圆 与大圆面积之比，即1/4。 评注：解法2认为“随机取一条弦”的意思是“随机取弦的中点”，概 率由两个圆的面积之比得到，这实际上假设了弦的中点在圆内均匀分布： 𝑥1, 𝑥2 ~𝑈 𝐵 2 , 容易计算此时极坐标满足： • 𝜃~𝑈(0,2𝜋)， • 𝑟 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2~ 𝑈(0,1) 𝑟 𝑥1, 𝑥2
解法3：任意随机取一个半径（红线），其中点x处与半径垂直的弦（蓝色）的长度是V3，在半径上随机地取一个点（x1，x2）（绿色），垂直于径向作绿色弦。若该点在中点×的上方，则弦长大于V3。我们认为绿色点落在中点x的上方和下方等可能的，故所求概率为1/2评注：解法3假设了径向r和角度0分别均匀：: 0~U(0,2元), r~U(0,1)，其密度p(r) = 1(o<r<1)由此可得（x1,x2)的密度1x+x≤1f(x1,x2) =2元/x+x2(x1, x2)选取的点(x1,x2)并不在圆内均匀分布.上述三种解法对于点(x1,x2）=（rcos(0),rsin(0))的随机性都假设了方向均匀，即0～U（0,2元），但模长r的分布假设却各有不同（不同的beta分布，参见下页表格）
7 解法3：任意随机取一个半径（红线），其中点x处与半径垂直的弦 （蓝色）的长度是 3，在半径上随机地取一个点 𝑥1, 𝑥2 （绿色）， 垂直于径向作绿色弦。 若该点在中点x的上方，则弦长大于 3。我们 认为绿色点落在中点x的上方和下方等可能的，故所求概率为1/2 评注：解法3假设了径向𝑟和角度𝜃分别均匀： • 𝜃~𝑈 0,2𝜋 ， • 𝑟~𝑈(0,1)，其密度𝑝 𝑟 = 1(0<𝑟<1) 由此可得 𝑥1, 𝑥2 的密度 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 1 2𝜋 𝑥1 2 + 𝑥2 2 , 𝑥1 2 + 𝑥2 2 ≤ 1 选取的点 𝑥1, 𝑥2 并不在圆内均匀分布. 𝑥1, 𝑥2 上述三种解法对于点 𝑥1, 𝑥2 = 𝑟cos 𝜃 , 𝑟sin 𝜃 的随机性都假设了 方向均匀，即𝜃~𝑈 0,2𝜋 ， 但模长𝑟的分布假设却各有不同（不同的 beta分布，参见下页表格）。 1 2 x
q(0)p(r)f(×）=p(xD/(2元xD解法11U(0,2元)81(r), Beta(00,1)(xi+x2=1)2元1解法2U(0,2元)/U(0,1), Beta(2,1)(xi+x2≤1)元1解法3U(0,2元)U(0,1),Beta(1,1)1(x+x2≤1)2元/x+x2注1：Beta(α,1)的密度0pa(r) = αrα-1,0 <r < 1,alpha=1alpha=2aDalpha=3alpha=6(1,r = 1alpha=10如右图，α→8时，pα(r)→1(r)=(0,r ± 1从解法3到解法1，α从1到，r=x在1附近的概0.00.20.40.60.81.0率质量越来越大。注2：解法3中r,都均匀，此时x在0点概率质量无穷大（奇点）：1f(x1,x2) =1(x+x2≤1)2元/x+x28
8 注2：解法3中𝑟, 𝜃都均匀，此时 𝐱 在0点概率质量无穷大（奇点）： 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 1 2𝜋 𝑥1 2 + 𝑥2 2 1(𝑥1 2+𝑥2 2≤1) 注1： Beta(𝛼,1)的密度 𝑝𝛼 𝑟 = 𝛼𝑟 𝛼−1 , 0 < 𝑟 < 1, 如右图，𝛼 → ∞时，𝑝𝛼 𝑟 → 𝛿1 𝑟 = ቊ 1, 𝑟 = 1 0, 𝑟 ≠ 1 从解法3到解法1，𝛼从1到∞，𝑟 = 𝐱 在1附近的概 率质量越来越大。 𝒒(𝜃) 𝒑(𝑟) 𝑓 𝐱 = 𝑝 𝐱 /(2𝜋 𝐱 ) 解法1 𝑈 0,2𝜋 𝛿1(𝑟) ，Beta(∞,1) 1 2𝜋 1(𝑥1 2+𝑥2 2=1) 解法2 𝑈 0,2𝜋 𝑈(0,1)，Beta(2,1) 1 𝜋 1(𝑥1 2+𝑥2 2≤1) 解法3 𝑈 0,2𝜋 𝑈(0,1)， Beta(1,1) 1 2𝜋 𝑥1 2 + 𝑥2 2 1(𝑥1 2+𝑥2 2≤1)