练习题 、填空题: 1、函数∫(x)=x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理,则目 2、设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),方程 f(x)=0有 个根,它们分别在区间 上 3、罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 与函数在这区间内某点处的 之间 的关系 5、如果函数f(x)在区间I上的导数 那 么f(x)在区间I上是一个常数
一 、填空题： 1、函 数 4 f (x) = x 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) ， 方 程 f ( x) = 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f (x)在区间I 上的导数__________， 那 么 f (x)在区间I上是一个常数. 练 习 题
二、试证明对函数y=px2+gx+r应用拉氏中值定理 时所求得的点总是位于区间的正中间 证明等式 arcsin√1-x2+ arctan 十、2 2 (x∈(0,1) 四、设a>b>0,n>1,证明 nb"(a-b<a-b"<na(a-b) 五、证明下列不等式: arctan- arctan≤a-b 2、当x>时,ex>e
二、试证明对函数y = px + qx + r 2 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式 1 2 arcsin 1 arctan 2 2 = − − + x x x ( x (0,1) ) . 四、设a b 0，n 1，证明 ( ) ( ) 1 1 nb a b a b na a b n n n n − − − − − . 五、证明下列不等式： 1、 arctana − arctanb a − b ； 2、当x 1时，e ex x
六、设函数y=f(x)在x=0的某邻域内且有n阶导数, 且f(0)=f(0) (n)(0)试用柯西中值定理 证明:fx)_f(a) (0<6<1) 七、设∫(x)在[a,b]内上连续,在(a,b)内可导,若 0<a<b,则在(a,b)内存在一点与,使 q(b)-bf(a)=|f(4)-5()a-b)
六、设函数y = f (x)在x = 0的某邻域内且有n阶导数， 且 (0) (0) (0) ( −1) = = = n f f f 试用柯西中值定理 证明： ! ( ) ( ) ( ) n f x x f x n n = ，（0 1）. 七、 设 f (x)在[a,b]内上连续，在(a,b)内可导，若 0 a b,则 在(a,b)内存在一点 ， 使 af (b) − bf (a) = [ f ( ) − f ( )](a − b)]
第二节洛必达法则 型及型未定式解法:洛必达法则 二、0·∞,0-∞,0,1°,∞型未定式解法 、小结
第二节 洛必达法则 一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 二、0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式解法 三、小结
型及型未定式解法:洛必达法则 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 ∫(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末 极限Iimf(x)可能存在、也可能不存在,通 x→a F(x) 常把这种极限称为或型未定式 tanx 0 In sin ax 例如,lim lim (o) x-0 Insin bx
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )