则在(a,b内至少存在一点号,使得φ()=0 即f'(ξ) ∫(b)-∫(a) F"(2)=0 F(6-F(a) ∫(b)-∫(a)f(ξ) F(b)-F(a)F'(8) HF(x)=x, F(6)-F(a)=b-a, F(x)=1, ∫(b)-f(a)_f() F(b)-F(a)F'(2) b)-J)=∫” (2) b-a
( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − F F b F a f b f a 即 f . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − F f F b F a f b f a 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0. 当 F(x) = x, F(b) − F(a) = b − a, F(x) = 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − F f F b F a f b f a ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a
例4设函数f(x)在0,上连续,在(0,1)内可导证明 至少存在一点∈(0,1),使∫()=2引f(1)-f(0) 证分析:结论可变形为 f(1)-f(0)∫'(ξ)f(x) 设g(x)=x2 1-0 则f(x)2g(x)在0上满足柯西中值定理的条件, 在(0,1内至少存在一点ξ,有 f()-(0)f()即∫(3)=2(1)-f( 1-0
例4 (0,1), ( ) 2 [ (1) (0)]. ( ) [0,1] , (0,1) , : f f f f x 至少存在一点 使 = − 设函数 在 上连续 在 内可导 证 明 证 分析: 结论可变形为 = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f . ( ) ( ) 2 = = x x f x ( ) , 2 设 g x = x 则 f (x), g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件, 在(0,1)内至少存在一点,有 = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f 即 f () = 2[ f (1) − f (0)]
四、小结 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系; Rolle ya=j() lagrange F(x)=x Cauchy 定理 中值定理 中值定理 注意定理成立的条件; 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤
四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤
思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可
思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可
思考题解答 x2,0≤x<1 l3,x=1 不满足在闭区间上连续的条件; f2(x)=-,x∈{u,b且ab<0 不满足在开区间内可微的条件; 以上两个都可说明问题
思考题解答 = = 3, 1 , 0 1 ( ) 2 1 x x x f x 不满足在闭区间上连续的条件； , [ , ] 1 ( ) 2 x a b x f x = 且 ab 0 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题