定理设 (1)当x→时,函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某去心邻域内,f(x)及F(x)都存在 且F'(x)≠0; ( 3)lim f(r) 存在(或为无穷大); x→aF(x) 那末lim f(x) f( lim x→a F(x xa F(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x a f x F x x a f x F x x a x a x a = → → → → 那末 存在 或为无穷大 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
证定义辅助函数 ∫f x),x≠a F(x),x≠a f1(x)= F1(x) =〖 X=a 在U(a,6)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上 f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)f(x)-f(a)f'(4) F(x)f(x)-f(a)F'(4) (在x与a之间) 当x→时,→a,;伽mf"(x)=A,:hmf(5)A x→aF(x) 5-F"(4) m f(x=加mnf(2) x→nF(x)5aF()
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
如果 ∫'(x 仍属。型,且∫(x,F'(x)满足 F(x)0 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 im f(x). f(x).f(r) xF(x)x→F(x)x→F"(x) 当x→>∞时,该法则仍然成立 m x→0 F(x)x→F'(x) 当x→>a,x→>∞时的未定式,也有相应的洛必达法则
当x → 时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 0 0 ( ) ( ) f x F x F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = = = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → → 当 , 时的未定式 ,也有相应的洛必达法则. x → a x →
tanx 例1求lm 0 解原式=im (tan x) sec d m 0 x3-3x+2 例2求lm x→lx3-x2-x+1 0 解原式=lim 3x2-3 6x x13x2-2x-1x16x-22
例 1 解 . tan lim0 x x x → 求 ( ) (tan ) lim0 = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x → = = 1 . 例 2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00 ( ) 00 (
元 arctan 例3求lim 解原式=im1+x=imx x→+Q x→)+∞1+x 例4求im In sin ax x→0 In sin bx 解原式=lim cos(X·snb coS nx m x-0 bcos bx sin ax x-0 cos ax
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x → 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原式 = 1 . ) 00 (( ) ax bx x cos cos lim→0 =