设∫(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导, x,x0+△x∈(a,b),则有 f(x0+△x)-f(x)=f(x0+6Ax):△x(0<0<1) 也可写成4=∫'(x+0x),△x(0<6<1 增量Δy的精确表达式 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理 推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那末∫(x)在区间/上是一个常数
设 f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导, ( ) ( ) ( ) (0 1). f x0 + x − f x0 = f x0 + x x x0 , x0 + x (a,b), 则有 ( ) (0 1). 也可写成y = f x0 + x x 增量y的精确表达式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理 推论 ( ) . ( ) , 那 末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I
例2证明 arcsin+ arccos x=。(-1≤x≤1) 2 证设∫(x)= arcsinx+ arccos x,x∈[-1 ∫f'(x)= )=0 f(x)≡C,x∈[-1,1 又 ∴∫(0)= arcsin0+ arcco0=0+,÷公 22 即C ∴ arcsin x+ arccos x=- 2
例 2 ( 1 1). 2 arcsin arccos − 证明 x + x = x 证 设 f (x) = arcsin x + arccos x, x [−1,1] ) 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 x x f x − + − − = = 0. f (x) C, x [−1,1] 又 f (0) = arcsin0 + arccos0 2 0 = + , 2 = . 2 即C = . 2 arcsin arccos x + x =
例3证明当x>0时, <I(1+x)<x 1+x 证设∫(x)=n(1+x), f(x)在0,x上满足拉氏定理的条件, f(x)-∫(0)=f()(x-0),(0<ξ<x) f(0)=0,f(x) 1+x由上式得lm(1x)=, l+ξ 又∵0<ξ<x→1<1+<1+x < <x,目 1+x1+ <In(1+x)<x 1+x
例3 ln(1 ) . 1 0 , x x x x x + + 证明当 时 证 设 f (x) = ln(1+ x), f (x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件, f (x) − f (0) = f ()(x − 0),(0 x) , 1 1 (0) 0, ( ) x f f x + = = 由上式得 , 1 ln(1 ) + + = x x 又0 x 1 1+ 1+ x 1, 1 1 1 1 + + x , 1 1 x x x x + + ln(1 ) . 1 x x x x + + 即
柯西( Cauchy)中值定理 柯西( Cauchy)中值定理如果函数f(x)及F(x) 在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且 F(x)在(a,b)内每一点处均不为零,那末在(a,b)内 至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a) f(s 成立 F(b)-F(a)F(2)
三、柯西(Cauchy)中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内 至 少有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成 立
几何解释: X=F() 在曲线弧AB上至少有 c1r=/( B 点C(F(2),∫(2),在 该点处的切线平行于 弦AB. 0F(a)F(1)F(x) F(S)F(6) X 证作辅助函数 op(x)=f(x)-f(a f∫(b)-f( IF(x)-F(a)l F(b-F(a) p(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b内至少存在一点ξ,使得q(2)=0
几何解释: ( ) 1 F ( ) 2 o F x y = = ( ) ( ) Y f x X F x F(a) A F(b) B C D F(x) N M . ( ( ), ( )), AB C F f AB 弦 该点处的切线平行于 一点 在 在曲线弧 上至少有 证 作辅助函数 [ ( ) ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a F b F a f b f a x f x f a − − − = − − (x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0