50.080009(2013) 邀光气光甲子学进展 ©2013（中国激光杂志杜 梯度特异介质表面研究进展 孙树林何琼肖诗递许钦李欣屈澈周磊 (复旦大学物理系应用表面物理国家重点实验室，上海20043) 箱要近年来梯度特异介质表面成为电磁特异介质领域的重要分支与研究热点。同顺了该领域最近的部分研究 研究方白 关健词表面光学：梯度特异介质表面：特异介质：表面被：反射相位：广义斯涅耳定律 中图分类号TB34 文献标识码 di10.378/10p50.o8 D09 Research Progress on Gradient Meta-Surfaces Sun Shulin He Qiong Xiao Shiyi Xu Qin Li Xin Qu Che Zhou Lei (State Key Laboratory of Surface Physies.Physies Departmeat.Fudan Uniwersity. Shanghai 200433.China) converson high efficiency broadband anomalous reflection by optical gradient mesufaces.the development of escatieringPrope of rel sive gr met surfaces.Finally.we present our perspectives on the future direction of this research field. Key words optics at surfaces gradient metsurface;metamaterials:surface wave:reflection phase:generalized 1引 言 电磁特异介质是由亚波长电磁响应单元按照一定宏观“序”组合而成的人工复合材料-)，其单元尺度 远小于特定频域申磁波波长，在该频域系统可做均匀化近似，并具右等效的介申常数和磁导率。这个概今类 似于自然材料的均匀化处理，而电磁响应单元等价于组成自然材料的原子或分子。电磁特异介质可实现 的等效介电常数和磁导率在原则上没有限制，远远超出了自然材料可覆盖的区域，因此人们调控电磁波的能 力极大增强。电磁特异介质具有的奇异光学性质与广泛应用前景也微发了国内外学者极大的研究兴趣，诸 如完美棱镜四、负折射[5-门、光学隐身一)、光吸收门等概念和应用被陆续提出。这些突破性成果在过去十 多年中推动电磁特异介质的相关研究成为物理学，材料学，工程学等多领域的研究热点。 收稿日期：20130617：收到修改稿日期：20130625：网络出版日期：201307-22 基金项目：国家自然科学基金(60990321,11174055.11204040)，上海市优秀学术带头人项目(12XD1400700),中国博士后 科学基金(2012M520039) 作者简介：孙树林(1980一)，男，博士，主要从事电磁特异介质、光学微腔和等离子体光学等方面的研究。 E-mail:sls(@fudan.edu.cn 导师简介：周磊(1972-)，男，教授，主要从事电磁特异介质和磁性等方面的研究。E-mail:phzhou@fuan.edu.cm 本文电子版彩色效果请详见中国光学期刊网www.opticsjournal.net 080004-1 1994-2015 China Academie Joumal Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
５０，０８０００８ 激光与光电子学进展 ｗｗｗ．ｏｐｔｉｃｓｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ 梯度特异介质表面研究进展 孙树林 何 琼 肖诗逸 许 钦 李 欣 屈 澈 周 磊 （复旦大学物理系 应用表面物理国家重点实验室，上海 ２００４３３） 摘要 近年来梯度特异介质表面成为电磁特异介质领域的重要分支与研究热点。回顾了该领域最近的部分研究 成果，包括利用特异介质表面实现传播波与表面波的完美转换以及转换效率分析，制备光波段特异介质表面实现 高效宽带奇异反射，建立一套模展开理论研究特异介质表面散射问题，利用反射式特异介质表面实现光会聚，以及 分析比较反射式和透射式特异介质表面的优劣等。基于以上梯度特异介质表面的研究介绍，最后展望了该领域的 研究方向。 关键词 表面光学；梯度特异介质表面；特异介质；表面波；反射相位；广义斯涅耳定律 中图分类号 ＴＢ３４ 文献标识码 Ａ ｄｏｉ：１０．３７８８／ＬＯＰ５０．０８０００９ ＲｅｓｅａｒｃｈＰｒｏｇｒｅｓｓｏｎＧｒａｄｉｅｎｔＭｅｔａ－Ｓｕｒｆａｃｅｓ ＳｕｎＳｈｕｌｉｎ ＨｅＱｉｏｎｇ ＸｉａｏＳｈｉｙｉ ＸｕＱｉｎ ＬｉＸｉｎ ＱｕＣｈｅ ＺｈｏｕＬｅｉ （ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＳｕｒｆａｃｅＰｈｙｓｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ２００４３３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，ｇｒａｄｉｅｎｔ ｍｅｔａ－ｓｕｒｆａｃｅ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄ ｈｏｔｓｕｂ－ｂｒａｎｃｈｉｎ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｍｅｔａｍａｔｅｒｉａｌｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｒｅｖｉｅｗｓｏｍｅｒｅｃｅｎｔｐｒｏｇｒｅｓｓｅｓｉｎｔｈｉｓａｒｅａ，ｓｕｃｈａｓｕｓｉｎｇｇｒａｄｉｅｎｔｍｅｔａ－ ｓｕｒｆａｃｅｓａｓａｂｒｉｄｇｅｔｏｌｉｎｋｐｒｏｐａｇａｔｉｎｇｗａｖｅｓａｎｄｓｕｒｆａｃｅｗａｖｅｓａｎｄｔｈｅｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｉｓｓｕｅｒｅｌａｔｅｄｔｏｓｕｃｈ ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ，ｈｉｇｈｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｂｒｏａｄｂａｎｄａｎｏｍａｌｏｕｓｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｂｙｏｐｔｉｃａｌｇｒａｄｉｅｎｔｍｅｔａ－ｓｕｒｆａｃｅｓ，ｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆａ ｍｏｄｅ－ｅｘｐａｎｓｉｏｎｔｈｅｏｒｙｆｏｒｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｍｅｔａ－ｓｕｒｆａｃｅｓ，ｆｌａｔｍｅｔａ－ｓｕｒｆａｃｅｓｔｏ ｆｏｃｕｓｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｗａｖｅｓｉｎｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｇｅｏｍｅｔｒｙａｎｄｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅａｎｄｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｖｅｇｒａｄｉｅｎｔｍｅｔａ－ ｓｕｒｆａｃｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｏｕｒｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓｏｎｔｈｅｆｕｔｕｒｅｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｏｐｔｉｃｓａｔｓｕｒｆａｃｅｓ；ｇｒａｄｉｅｎｔｍｅｔａ－ｓｕｒｆａｃｅ；ｍｅｔａｍａｔｅｒｉａｌｓ；ｓｕｒｆａｃｅｗａｖｅ；ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｐｈａｓｅ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｓｎｅｌｌ′ｓｌａｗ ＯＣＩＳｃｏｄｅｓ １６０．３９１８；２４０．６６８０ 收稿日期：２０１３－０６－１７；收到修改稿日期：２０１３－０６－２５；网络出版日期：２０１３－０７－２２ 基金项目：国家自然科学基金（６０９９０３２１，１１１７４０５５，１１２０４０４０）、上海市优秀学术带头人项目（１２ＸＤ１４００７００）、中国博士后 科学基金（２０１２Ｍ５２００３９） 作者简介：孙树林（１９８０—），男，博士，主要从事电磁特异介质、光学微腔和等离子体光学等方面的研究。 Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｌｓ＠ｆｕｄａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ 导师简介：周 磊（１９７２—），男，教授，主要从事电磁特异介质和磁性等方面的研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｐｈｚｈｏｕ＠ｆｕａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ 本文电子版彩色效果请详见中国光学期刊网 ｗｗｗ．ｏｐｔｉｃｓｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ １ 引 言 电磁特异介质是由亚波长电磁响应单元按照一定宏观“序”组合而成的人工复合材料［１－２］，其单元尺度 远小于特定频域电磁波波长，在该频域系统可做均匀化近似，并具有等效的介电常数和磁导率。这个概念类 似于自然材料的均匀化处理，而电磁响应单元等价于组成自然材料的原子或分子［３］。电磁特异介质可实现 的等效介电常数和磁导率在原则上没有限制，远远超出了自然材料可覆盖的区域，因此人们调控电磁波的能 力极大增强。电磁特异介质具有的奇异光学性质与广泛应用前景也激发了国内外学者极大的研究兴趣，诸 如完美棱镜［４］、负折射［５－７］、光学隐身［８－９］、光吸收［１０］等概念和应用被陆续提出。这些突破性成果在过去十 多年中推动电磁特异介质的相关研究成为物理学、材料学、工程学等多领域的研究热点。 ０８０００９－１
50.080009 激光与光电子学进展 www.opticsjoumnal.net 在电磁特异介质研究过程中，早期人们主要在“人工原子”的设计方面下功夫。实际上，排列“人工原子” 的宏观序也是决定电磁特异介质工作特性的一个重要因素，最近其越来越受到人们的重视。电磁特异介质 的排列序也经历了从简单周期型、绝热缓变型到突变分布型的发展历程。大家基于转换光学等概念来对传 播波(PW)1-1)以及表面波(SW)5-1司进行自由调控甚至光学隐身，利用的就是具有绝热缓变序的电磁特 异介质：而最近提出的梯度特异介质表面一，就属于突变型复杂宏观序的特异介质体系。另外，人们也利 用梯度特异介质系统实现了指获彩虹-，棱镜四-0、被束弯折 异常反射/折射 0),1/4波带 片[)、全息成像-词以及光子自旋霍尔效应等多方面的光调控目的，这些都休现了特异介质的宏观序在 奇异电磁调控中所扮演的重要角色。在工程领域，人们在长波区域设计辐射相位可调的反射式]和透射 式[]天线阵列可实现定向辐射调控，其工作原理以及对序的操控和梯度特异介质系统具有类似思路】 特异介质表面就属于具有特定突变“序“的电磁特异介质系统。在这方面，我们提出了 类反射式梯度 特异介质表面(GM)系统，它可以完美地将入射PW转换成被束缚于系统表面的SW,转换效率近100%，该 GM成为连接PW和SW的一座完美桥梁，此概念已经被微波实验完美验证，并与理论、数值模拟完美吻 合[可。不同于棱镜法的和光栅法-)等传统的SW激发方法，GM所提供的梯度反射相位可以补偿激发 的SW与入射的PW之间的波矢差。该结构还可以用来设计表面等离子体激元(SPP)耦合器，为了在微波 段实现这 -概念我们利用了之前学者提出的菇结构，该结枸所支持的人工SPP模式-的色散关系非 常类似于平整金属在光波被段SPP的形式，并且可以借助调节蘑菇结构单元的几何尺寸来调控该人工SPP的 色散关系。将特殊设计的蘑菇结构和GM做左右拼接，就设计出了微波段的SPP祸合器。最近我们还 把反射式GM的概念推广至光波段，实验验证了其异常反射满足广义斯湿耳定律，可以作为小型、高效、宽 带的光操控器件。我们还设计了反射式GM的光会聚棱镜，不同模型以及真实结构的SPP耦合器转 换效这一重要议题也在后续做了仔细研究 本文将简要回顾这一领域的近期发展，重点介绍本课题组所做的一系列工作。首先介绍特异介质表面 耦合表面波的工作原理及验证，然后介绍基于特异介质表面的各种光学操控，最后将对特异介质表面研究做 总结与展望。 2特异介质表面耦合表面波的工作原理及验证 -什么是Sw?其实Sw无 非就是一种特殊CDW的辐射波。考虑一个理想情况，假设一个CDW呈现面电流分布：J(r,t) Joexp(ix)xp(一i)8(e)t,其中是电流密度函数沿x方向的相位梯度，将其代入颜域麦克斯韦方程来 解析该CDW的电磁辐射分布（了X了X一）E(r)一iJ(r),此处略去时谐因子e邓（一ir),k一m/c为真 空中波数，J()=Jep(ier)8(:t为电流密度函数 为了求解该方程，定义 并矢格林函数(r,rm (7X7X一k8)G(r,r:w)=6(r一r)1 (1) 由此辐射电场为 E(r)=iapo G(r,r').J(r')dr'. (2) 进一步推导可得并矢格林函数为切 ro=ea:=Dek2+6kk]a, (3) 式中3十好=姑，k,(z)=|k。|(z>0),k(z)=-|点.1(：<0).e(k)=(,-饮，)/k和i(k)= (k)Xk/k是两种偏振下的电场单位失量。将(3)式代入(2)式并作积分运算，最终得到辐射电场和磁场的表 达式为 E(r,)=(mJac/2k)·(-√后-Ft+总)exp(ir)exp(i√居-F:)exp(-imd), (4) Hr=7E=-J./2 exp(ie )exp(i-)exp-i9, (5) 080009-2 1994-2015 China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne
５０，０８０００９ 激光与光电子学进展 ｗｗｗ．ｏｐｔｉｃｓｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ 在电磁特异介质研究过程中，早期人们主要在“人工原子”的设计方面下功夫。实际上，排列“人工原子” 的宏观序也是决定电磁特异介质工作特性的一个重要因素，最近其越来越受到人们的重视。电磁特异介质 的排列序也经历了从简单周期型、绝热缓变型到突变分布型的发展历程。大家基于转换光学等概念来对传 播波（ＰＷ）［１１－１４］以及表面波（ＳＷ）［１５－１８］进行自由调控甚至光学隐身，利用的就是具有绝热缓变序的电磁特 异介质；而最近提出的梯度特异介质表面［１９－２０］，就属于突变型复杂宏观序的特异介质体系。另外，人们也利 用梯度特异介质系统实现了捕 获彩虹［２１－２２］、棱 镜［２３－２４］、波 束 弯 折［２５－２８］、异 常 反 射／折 射［２９－３０］、１／４ 波 带 片［３１］、全息成像［３２－３３］以及光子自旋霍尔效应［３４］等多方面的光调控目的，这些都体现了特异介质的宏观序在 奇异电磁调控中所扮演的重要角色。在工程领域，人们在长波区域设计辐射相位可调的反射式［３５］和 透 射 式［３６］天线阵列可实现定向辐射调控，其工作原理以及对序的操控和梯度特异介质系统具有类似思路。 特异介质表面就属于具有特定突变“序”的电磁特异介质系统。在这方面，我们提出了一类反射式梯度 特异介质表面（ＧＭ）系统，它可以完美地将入射 ＰＷ 转换成被束缚于系统表面的 ＳＷ，转换效率近１００％，该 ＧＭ 成为连接 ＰＷ 和ＳＷ 的一座完美桥梁。此概念已经被微波实验完美验证，并与理论、数值模拟完美吻 合［３７］。不同于棱镜法［３８］和光栅法［３９－４１］等传统的 ＳＷ 激发方法，ＧＭ 所提供的梯度反射相位可以补偿激发 的ＳＷ 与入射的 ＰＷ 之间的波矢差。该结构还可以用来设计表面等离子体激元（ＳＰＰ）耦合器，为了在微波 段实现这一概念我们利用了之前学者提出的蘑菇结构，该结构所支持的人工 ＳＰＰ模式［４２－４３］的色散关系非 常类似于平整金属在光波段ＳＰＰ的形式，并且可以借助调节蘑菇结构单元的几何尺寸来调控该人工ＳＰＰ的 色散关系。将特殊设计的蘑菇结构和 ＧＭ 做左右拼接，就设计出了微波段的 ＳＰＰ耦合器［３７］。最近我们还 把反射式 ＧＭ 的概念推广至光波段，实验验证了其异常反射满足广义斯涅耳定律，可以作为小型、高效、宽 带的光操控器件［４４］。我们还设计了反射式 ＧＭ 的光会聚棱镜［４５］，不同模型以及真实结构的 ＳＰＰ耦合器转 换效率这一重要议题也在后续做了仔细研究［４６］。 本文将简要回顾这一领域的近期发展，重点介绍本课题组所做的一系列工作。首先介绍特异介质表面 耦合表面波的工作原理及验证，然后介绍基于特异介质表面的各种光学操控，最后将对特异介质表面研究做 总结与展望。 ２ 特异介质表面耦合表面波的工作原理及验证 ２．１ 表面电荷密度波（ＣＤＷ）的辐射特性 在介绍如何利用 ＧＭ 实现 ＰＷ－ＳＷ 的转化之前，让我们回归问题的本质———什么是 ＳＷ？其实 ＳＷ 无 非就 是 一 种 特 殊 ＣＤＷ 的 辐 射 波。考虑一个理想情况，假 设 一 个 ＣＤＷ 呈 现 面 电 流 分 布：Ｊ（ｒ，ｔ）＝ Ｊ０ｅｘｐ（ｉξｘ）ｅｘｐ（－ｉωｔ）δ（ｚ）＾ｘ，其中ξ是电流密度函数沿ｘ 方向的相位梯度。将其代入频域麦克斯韦方程来 解析该 ＣＤＷ 的电磁辐射分布（××－ｋ２ ０）Ｅ（ｒ）＝ｉμ０ωＪ（ｒ），此处略去时谐因子ｅｘｐ（－ｉωｔ），ｋ０＝ω／ｃ为真 空中波数，Ｊ（ｒ）＝Ｊ０ｅｘｐ（ｉξｘ）δ（ｚ）＾ｘ为电流密度函数。为了求解该方程，定义一个并矢格林函数 Ｇ（ｒ，ｒ′；ω） （ × ×－ｋ２ ０）Ｇ（ｒ，ｒ′；ω）＝δ（ｒ－ｒ′）Ｉ． （１） 由此辐射电场为 Ｅ（ｒ）＝ｉωμ∫０ Ｇ（ｒ，ｒ′；ω）·Ｊ（ｒ′）ｄｒ′． （２） 进一步推导可得并矢格林函数为［４７］ Ｇ（ｒ，ｒ′；ω）＝ ｉ ８π∫２ ｅｘｐ［ｉｋ（ｚ）·（ｒ－ｒ′）］ ｋｚ ［＾ｅ（ｋ）＾ｅ（ｋ）＋＾ｈ（ｋ）＾ｈ（ｋ）］ｄｋ∥ ， （３） 式中ｋ２ ∥＋ｋ２ ｚ ＝ｋ２ ０，ｋｚ（ｚ）＝｜ｋｚ｜（ｚ ＞０），ｋｚ（ｚ）＝－｜ｋｚ｜（ｚ ＜０）。＾ｅ（ｋ）＝ （＾ｘｋｙ －＾ｙｋｘ）／ｋ∥ 和＾ｈ（ｋ）＝ ＾ｅ（ｋ）×ｋ／ｋ是两种偏振下的电场单位矢量。将（３）式代入（２）式并作积分运算，最终得到辐射电场和磁场的表 达式为 Ｅ（ｒ，ｔ）＝（μ０Ｊ０ｃ／２ｋ０）·（－ ｋ２ 槡０ －ξ ２ ＾ｘ＋ξ＾ｚ）ｅｘｐ（ｉξｘ）ｅｘｐ（ｉ ｋ２ 槡０ －ξ ２ ｚ）ｅｘｐ（－ｉωｔ）， （４） Ｈ（ｒ，ｔ）＝ １ ｉμ０ω ×Ｅ ＝－Ｊ０／２ｅｘｐ（ｉξｘ）ｅｘｐ（ｉ ｋ２ 槡０ －ξ ２ ｚ）ｅｘｐ（－ｉωｔ）＾ｙ， （５） ０８０００９－２
50,080009 激光与光电子学进展 www.opticsjoumal.net 此时恢复了表达式中的时谐因子项exp(一i)。显然， (a)2 当<k。时，CDW的辐射场为PW。非常有趣的是，当 >k。时CDW的辐射场为沿若x方向传输的SW,能量 局域在CDW附近。由此可知，研究的CDW其电流分布 函数相位梯度项：是决定其辐射行为的重要参数，而铝 射场沿方向的波矢大小亦为.我们是受到CD 辐射行为的启发而设计GM来实现入射电磁场的任意辐 射调控。如图1所示，通过有限元方法(FEM)的数值模 拟验证了具有不同：的电流源所具有的辐射摸式，在一 Ek=L日 046.08。的例子中.福射场分别为236和531出 射的PW,在=1.14。的例子中，可见电流源辐射场为 /11 SW,并且其被矢的水平分量==1.14k。因此，假如 -2 -1 1 可以找到这样一个特异介质表面，其在正入射PW的照 射下产生的表而由流分布就是一个k。的CDW,到这 图】面电流源J=J。exp(i总x)exp(一w)(:)士的 个体系就可以将PW完美地转化成SW。接下米的任务 模拟辐射磁场H,的分布图 就是确定什么样的体系可以满足要求。 Fig.I Simulated H.field distributions for waves radiated from 2.2模展开理论 current sheets exp)exp(-t() 由2.1节的时论可可知，面由流分分布为】(，t) J。exD(ix)exp(一id)&(:)童的CDW的辐射场为PW或 SW,其决定参数是面电流分布相位梯度与真空中波矢的 ,H 比值（小于1或大于1）。受此启发，我们提出了如 图2所示的GM模型，系统分为空气/特异介质(MM)/ 完美金属导体(PEC)三个区域。在外界入射平面波照射 MM 言xi.() 下，GM中会产生等效透导面电流分布J(x)=I。exD HIL PEC x)t,其辐射行为类似于2.1节所讨论的CDW的辐 行为。我们发展了一套模展开理论米分析图2所示GM 图2特异介质表面模型 的散射分布。 Fig.2 Model geometry of the gradient meta-surfaces 如图2所示，GM的相对介电常数室M(x)和磁导奉工u(x)的矩阵形式为 00 0 官(x)= ,(x)0,(x)= 0 (6) 0 0 0 0 首先考虑区域I(空气，>0)，假设TM偏振的平面波从空气中入射，入射波的电磁场分布为 (r,)=exp[i(r-经：-d)]5 E,0=-乙eni-门[+] (7) 式中Z。=√四/√是真空中的阻抗，和分别为入射波矢的x和z分量。反射波是一系列平面波的叠加： H=+∑P.Hk) (8) E=E+∑P4,E"(k,) 式中色，为待定的分波展开系数，波矢x分量为k.的反射分波电磁场为 (H(r.1)=expli(-) (9) E(rt)-Zsexp[i(k,+k-af)] 080004-3 1994-2015 China Academie Joural Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.enki.ne
５０，０８０００９ 激光与光电子学进展 ｗｗｗ．ｏｐｔｉｃｓｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ 图１ 面电流源Ｊ＝Ｊ０ｅｘｐ（ｉξｘ）ｅｘｐ（－ｉωｔ）δ（ｚ）＾ｘ 的 模拟辐射磁场 Ｈｙ 的分布图［３７］ Ｆｉｇ．１ ＳｉｍｕｌａｔｅｄＨｙｆｉｅｌｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｆｏｒｗａｖｅｓｒａｄｉａｔｅｄｆｒｏｍ ｃｕｒｒｅｎｔｓｈｅｅｔｓＪ＝Ｊ０ｅｘｐ（ｉξｘ）ｅｘｐ（－ｉωｔ）δ（ｚ）＾ｘ［３７］ 此时恢复了表达式中的时谐因子 项ｅｘｐ（－ｉωｔ）。显 然， 当ξ＜ｋ０ 时，ＣＤＷ 的 辐 射 场 为 ＰＷ。非 常 有 趣 的 是，当 ξ＞ｋ０ 时 ＣＤＷ 的辐射场为沿着ｘ 方向传输的 ＳＷ，能量 局域在 ＣＤＷ 附近。由此可知，研究的 ＣＤＷ 其电流分布 函数相位梯度项ξ是决定其辐射 行 为 的 重 要 参 数，而 辐 射场沿ｘ方 向 的 波 矢 大 小 亦 为ξ。我 们 就 是 受 到 ＣＤＷ 辐射行为的启发而设计 ＧＭ 来实现入射电磁场的任意辐 射调控。如图１所示，通过有限元方法（ＦＥＭ）的数值模 拟验证了具有不同ξ的电流源所具有的辐射模式，在ξ＝ ０．４ｋ０，０．８ｋ０ 的 例 子 中，辐 射 场 分 别 为２３．６°和５３．１°出 射的 ＰＷ，在ξ＝１．１４ｋ０ 的例子中，可见电流源辐射场为 ＳＷ，并且其波矢的水平分量ｋｘ＝ξ＝１．１４ｋ０。因此，假如 可以找到这样一个特异介质表面，其在正入射 ＰＷ 的照 射下产生的表面电流分布就是一个ξ＞ｋ０ 的 ＣＤＷ，则这 个体系就可以将 ＰＷ 完美地转化成 ＳＷ。接下来的任务 就是确定什么样的体系可以满足要求。 ２．２ 模展开理论 由２．１ 节 的 讨 论 可 知，面 电 流 分 布 为 Ｊ（ｒ，ｔ）＝ 图２ 特异介质表面模型［３７］ Ｆｉｇ．２ Ｍｏｄｅｌｇｅｏｍｅｔｒｙｏｆｔｈｅｇｒａｄｉｅｎｔｍｅｔａ－ｓｕｒｆａｃｅｓ［３７］ Ｊ０ｅｘｐ（ｉξｘ）ｅｘｐ（－ｉωｔ）δ（ｚ）＾ｘ的 ＣＤＷ 的辐射场为 ＰＷ 或 ＳＷ，其决定参数是面电流分布相位梯度与真空中波矢的 比值ξ／ｋ０（小于１或大于１）。受此启发，我们提出 了 如 图２所示的 ＧＭ 模型，系统分 为 空 气／特 异 介 质（ＭＭ）／ 完美金属导体（ＰＥＣ）三个区域。在外界入射平面波照射 下，ＧＭ 中会产 生 等 效 诱 导 面 电 流 分 布 Ｊｅｆｆ（ｘ）＝Ｊ０ｅｘｐ （ｉξｘ）＾ｘ，其辐射行为类似于２．１节所讨论的ＣＤＷ 的辐射 行为。我们发展了一套模展开理论来分析图２所示 ＧＭ 的散射分布［３７］。 如图２所示，ＧＭ 的相对介电常数 εＭ （ｘ）和磁导率 μＭ （ｘ）的矩阵形式为 ε（ｘ）＝ εｘ（ｘ） ０ ０ ０ εｙ（ｘ） ０ ０ ０ ε 熿 燀 ｚ 〗， μ（ｘ）＝ μｘ（ｘ） ０ ０ ０ μｙ（ｘ） ０ ０ ０ μ 熿 燀 ｚ 〗， （６） 首先考虑区域Ⅰ（空气，ｚ＞０），假设 ＴＭ 偏振的平面波从空气中入射，入射波的电磁场分布为 Ｈｉｎ（ｒ，ｔ）＝ｅｘｐ［ｉ（ｋ０ ｘｘ－ｋ０ ｚｚ－ωｔ）］＾ｙ Ｅｉｎ（ｒ，ｔ）＝－Ｚ０ｅｘｐ［ｉ（ｋ０ ｘｘ－ｋ０ ｚｚ－ωｔ）］ｋ０ ｚ ｋ０ ＾ｘ＋ｋ０ ｘ ［ ］ ｋ０ 烅 烄 烆 ＾ｚ ， （７） 式中Ｚ０ ＝ 槡μ０／槡ε０ 是真空中的阻抗，ｋ０ ｘ 和ｋ０ ｚ 分别为入射波矢的ｘ和ｚ分量。反射波是一系列平面波的叠加： ＨＩ ＝ Ｈｉｎ ＋ ∑ｋｘ ρｋｘＨｒ（ｋｘ） ＥＩ ＝Ｅｉｎ ＋ ∑ｋｘ ρｋｘ Ｅｒ（ｋｘ 烅 烄 烆 ） ， （８） 式中ρｋｘ 为待定的分波展开系数。波矢ｘ分量为ｋｘ 的反射分波电磁场为 Ｈｒ（ｒ，ｔ）＝ｅｘｐ［ｉ（ｋｘｘ＋ｋｚｚ－ωｔ）］＾ｙ Ｅｒ（ｒ，ｔ）＝－Ｚ０ｅｘｐ［ｉ（ｋｘｘ＋ｋｚｚ－ωｔ）］－ｋｚ ｋ０ ＾ｘ＋ｋｘ ［ ］ ｋ０ 烅 烄 烆 ＾ｚ ． （９） ０８０００９－３
50.080009 激光与光电子学进展 www.opticsjoumal.net 接下米分析区域Ⅱ（特异介质，一d<:<).电磁场只有三个非零项H,E,E,代入麦克斯韦方程可 推得H,满足 是+是[.a品+rgH,=0 (10) 由于特异介质沿：方向平移不变，H,可分解为 H (.)=G(q.:x)exp(iq.).q.>0. (11) 要得到G(q.:x)需求解方程 )是[a是1+rg,-]Gg）-0 (12) 为了避免所需的梯度特异介质光学介电参数发散以及简化系绕，通常采用超元胞为L的周期性GM系统。 此时引入了周期性边界条件G(g,:x=0)=G(0:x=L),可以求解(12)式来求得函数G(g.:x)。因此区域 中的H,和E,为 H"(r.)=>[C (q.)G(q.:r)exp(iq.)+C(q.)G(q.ir)exp(-iq.)]. (13) E()-OEE q.[C(q.)G(q.:x)exp(iq.=)-C(q.)G(q.:x)exp(-iq.z)]. (14) 目前所有的未知系数为(%，C(.),C(g),需要利用边界条件米进行求解.在空气/特异介质的边界 (z=0),根据水平分量的电场和磁场连续可得 (exp(+(ik)-G(q.[C (.)+C(q.)] gcp(i)-2 exp()-∑a6.)-Ca,门 (15) 在特异介质/完美电导体的边界处(：=一d),水平电场分量为零，因此 C (q.)exp(-igd)-C(q.)exp(iqd)=0. (16) 将16)式代入(15)式并利用正交关系exi(:-)]d-酸g可得 @,g+%,-∑C(g)S(g.k) (17) ae-是n.-∑cg.Sgk) 其中 S(q.k,)=[1+exp(-i2q.d)]G(q.r)exp(-ik,x)dr (18) 此时，给定了特异介质的光学及几何参数((x),(x),就可以通过求解(17)式米确定所有的特定 参数{n,C(g),C(q)}。当特异介质是均匀媒质时，入射光会被系统镜面反射，得到A,=8,g。模展开 理论将帮助我们计算GM的散射场分布，其结果可以和数值模拟以及实验结果做比较，它是研究梯度系统 的重要理论计算工具。 2.3特异介质表面的结构设计 我们提出的反射式GM的设计理念可由图3来做阐述：中心目标是实现图3()的面电流分布了 Joexp(i位)exp(-iw)8(z)t,并借由调控：来实现如图1所示的PW或者SW的辐射模式，这一概念可以利用 如图3(b)所示的系统米实现.平板PEC在垂直入射电磁波F。=EeP[i(一k。:一t)门r的照射下会产生诱 080009-4 1994-2015 China Aeademie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.htp://www.enki.ne
５０，０８０００９ 激光与光电子学进展 ｗｗｗ．ｏｐｔｉｃｓｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ 接下来分析区域Ⅱ（特异介质，－ｄ＜ｚ＜０）。电磁场只有三个非零项 Ｈｙ，Ｅｘ，Ｅｚ，代入麦克斯韦方程可 推得 Ｈｙ 满足 ２ ｚ２ ＋εｘ（ｘ） ｘ １ εｚ（ｘ） ［ ｘ〗＋ｋ２ ｛ ｝ ０εｘ（ｘ）μｙ（ｘ）Ｈｙ ＝０． （１０） 由于特异介质沿ｚ方向平移不变，Ｈｙ 可分解为 Ｈ± ｙ （ｑｚ；ｘ，ｚ）＝Ｇ（ｑｚ；ｘ）ｅｘｐ（±ｉｑｚｚ）， ｑｚ ＞０， （１１） 要得到Ｇ（ｑｚ；ｘ）需求解方程 εｘ（ｘ） ｘ １ εｚ（ｘ） ［ ｘ〗＋ ｋ２ ０εｘ（ｘ）μｙ（ｘ）－ｑ２ ｛ ｝ ［ ］ｚ Ｇ（ｑｚ，ｘ）＝０． （１２） 为了避免所需的梯度特异介质光学介电参数发散以及简化系统，通常采用超元胞为Ｌ 的周期性 ＧＭ 系统。 此时引入了周期性边界条件Ｇ（ｑｚ；ｘ＝０）＝Ｇ（ｑｚ；ｘ＝Ｌ），可以求解（１２）式来求得函数Ｇ（ｑｚ；ｘ）。因此区域 ＩＩ中的 Ｈｙ 和Ｅｘ 为 ＨＩＩ ｙ（ｘ，ｚ）＝∑ｑｚ ［ ］ Ｃ＋ （ｑｚ）Ｇ（ｑｚ；ｘ）ｅｘｐ（ｉｑｚｚ）＋Ｃ－ （ｑｚ）Ｇ（ｑｚ；ｘ）ｅｘｐ（－ｉｑｚｚ） ， （１３） ＥＩＩ ｘ （ｘ，ｚ）＝ １ ωε０εｘ（ｘ）∑ｑｚ ｑｚ ［ ］ Ｃ＋ （ｑｚ）Ｇ（ｑｚ；ｘ）ｅｘｐ（ｉｑｚｚ）－Ｃ－ （ｑｚ）Ｇ（ｑｚ；ｘ）ｅｘｐ（－ｉｑｚｚ） ． （１４） 目前所有的未知系数为 ｛ρｋｘ ，Ｃ＋ （ｑｚ），Ｃ－ （ｑｚ）｝，需要利用边界条件来进行求解。在空气／特异介质的边界 （ｚ＝０），根据水平分量的电场和磁场连续可得 ｅｘｐ（ｉｋ０ ｘｘ＋ ∑ｋｘ ρｋｘｅｘｐ（ｉｋｘｘ）＝ ∑ｑｚ Ｇ（ｑｚ，ｘ）［ ］ Ｃ＋ （ｑｚ）＋Ｃ－ （ｑｚ） ｋ０ ｚ ｋ０ ｅｘｐ（ｉｋ０ ｘｘ）－ ∑ｋｘ ρｋｘ ｋｚ ｋ０ ｅｘｐ（ｉｋｘｘ）＝－ ∑ｑｚ ｑｚ ｋ０εｘ（ｘ） Ｇ（ｑｚ，ｘ）［ ］ Ｃ＋ （ｑｚ）－Ｃ－ （ｑｚ 烅 烄 烆 ） ． （１５） 在特异介质／完美电导体的边界处（ｚ＝－ｄ），水平电场分量为零，因此 Ｃ＋ （ｑｚ）ｅｘｐ（－ｉｑｚｄ）－Ｃ－ （ｑｚ）ｅｘｐ（ｉｑｚｄ）＝０． （１６） 将（１６）式代入（１５）式并利用正交关系 １ Ｌ∫ Ｌ ０ ｅｘｐ［ｉ（ｋ０ ｘ － ′ｋｘ）ｘ］ｄｘ ＝δｋ ０ ｘ，′ｋｘ 可得 δｋｘ，ｋ ０ ｘ ＋ρｋｘ ＝ ∑ｑｚ Ｃ＋ （ｑｚ）Ｓ（ｑｚ，ｋｘ） δｋｘ，ｋ ０ ｘ －ｋｚ ｋｚ ０ ρｋｘ ＝ ∑ｑｚ Ｃ＋ （ｑｚ）Ｓ珟（ｑｚ，ｋｘ 烅 烄 烆 ） ， （１７） 其中 Ｓ（ｑｚ，ｋｘ）＝ １ Ｌ∫ Ｌ ０ ［１＋ｅｘｐ（－ｉ２ｑｚｄ）］Ｇ（ｑｚ，ｘ）ｅｘｐ（－ｉｋｘｘ）ｄｘ Ｓ珟（ｑｚ，ｋｘ）＝－ １ Ｌ∫ Ｌ ０ ｑｚ εｘ（ｘ）ｋ０ ｚ ［１－ｅｘｐ（－ｉ２ｑｚｄ）］Ｇ（ｑｚ，ｘ）ｅｘｐ（－ｉｋｘｘ）ｄ 烅 烄 烆 ｘ ． （１８） 此时，给定了特异介质的光学及几何参数｛ε（ｘ），μ（ｘ），ｄ｝，就可以通过求解（１７）式来确定所有的待定 参数｛ρｋｘ ，Ｃ＋ （ｑｚ），Ｃ－ （ｑｚ）｝。当特异介质是均匀媒质时，入射光会被系统镜面反射，得到ρｋｘ ＝δｋｘ，ｋ ０ ｘ 。模展开 理论将帮助我们计算 ＧＭ 的散射场分布，其结果可以和数值模拟以及实验结果做比较，它是研究梯度系统 的重要理论计算工具。 ２．３ 特异介质表面的结构设计 我们提出的反射式 ＧＭ 的 设 计 理 念 可 由 图３来 做 阐 述：中 心 目 标 是 实 现 图３（ａ）的 面 电 流 分 布ｊ ＝ Ｊ０ｅｘｐ（ｉξｘ）ｅｘｐ（－ｉωｔ）δ（ｚ）＾ｘ，并借由调控ξ来实现如图１所示的ＰＷ 或者ＳＷ 的辐射模式，这一概念可以利用 如图３（ｂ）所示的系统来实现。平板ＰＥＣ在垂直入射电磁波Ｅｉｎ ＝Ｅ０ｅｘｐ［ｉ（－ｋ０ｚ－ωｔ）］＾ｘ的照射下会产生诱 ０８０００９－４
50,080009 激光与光电子学进展 www.opticsjoumal.net 导电流，但各处的电流相位 一致.如果在PEC表面覆盖一层厚度远小于波长的梯度特异介质(x) (x),在金属各处产生非均匀的诱导电流(x,:),由于系统的厚度d非常薄，可以将之等效成一个面电 流，通过积分运算可以得到各处的电流密度为J(x)一j(x,)d:,可以设计梯度特异介质光学参数 君M(x),M(z)的分布，实现在外界电磁波照射下系统的等效电流面密度分布为Ja(x)=Jep()t,当 <k时，其辐射场为PW[类似图1(a),(b)]:当>k时，其辐射场为SW[类似于图1(c)],此时就实现了 将垂直入射的PW变成被束缚在系统表面的SW,这里调控：的大小是决定系统辐射分布的关键。 (a) p-p exp(r)exp(-iot) r(r)u( j=exp(iE)exp(-io( j.exp(ir)exp(-ioty(c)i d 0 k。-04 114 图3GM实现PW到SW转换的原理，参数设计及模展开理论计算 Fig.3 Cor of PW-Sw ion of gr 假设GM在x。处的等效电流J(红，)近似等于均匀媒质e=eu(),=(x)覆盖在PEC上的系统 在外界光照射下的等效电流。此时，垂直入射光将被完全正反射，反射电场为E.=exp(i中)E× epi(k。之一md)门，其中反射相位Φ为 arccos([-e+utan'(veukd)7/Te+utan'(Veukod)). (19) 由于反射场就是由系统内诱导电流J产生的，E。一定是J的线性函数，因此J的相位一定和反射电 场E.的相位相同，也就是说J=2J。exp(i)。因此GM的等效面电流可变形为Ja(x)=J,exp[(x)门， 其中D(x)为GM在位置r处的局域反射相位，其结果是将E一w(x)一(x)代入(19)式所得。此时，我 们设计GM的目标就是 (r)r (20) 即基于图3(b)的GM模型，设计一个反射相位(x)是x的线性分布的函数，相位的梯度为：，这就是设计 GM的最终方案。 由于入射光是垂直入射GM系统，所以GM相对介电常数EM和磁导率：w的垂直分量并不重要，因此 只需设计其平行分量e成和《即可。例如，(19)，(20)式的一个简单解是e《(x)=r《(x)=1+红/2kd, 图3(c)中给出三套参数分布可以实现不同反射相位梯度的GM利用2.2节所介绍的模展开方法，计算了 系统的散射系数P.对，的分布，发现在,=0.4,0.8k。时， ?会出现极大的峰，这意味着散射场 几乎是单模的平面波，其波矢大小分别为0,4,0.8k,这两个GM系统会将垂直入射光散射到不同出射方 向，利用基于FEM的瞬态数值模拟来做验证，如图4所示，垂直入射的高斯波束被会被：=0.4。和 0.8k。的GM分别反射到23.6°和53.1°方向，特别有趣的是，对于=1.14k。的GM.反射场变为表而波 080009- 1994-2015 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www
５０，０８０００９ 激光与光电子学进展 ｗｗｗ．ｏｐｔｉｃｓｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ 导电流，但各处的电 流 相 位 一 致。如 果 在 ＰＥＣ 表面覆盖一层厚度远小于波长的梯度特异介质 εＭ （ｘ）， μＭ （ｘ），在金属各处产生非均匀的诱导电流ｊ（ｘ，ｚ），由于系统的厚度ｄ 非常薄，可以将之等效成一个面电 流，通过 积 分 运 算 可 以 得 到 各 处 的 电 流 密 度 为 Ｊｅｆｆ（ｘ）＝∫ｊ（ｘ，ｚ）ｄｚ，可以设计梯度特异介质光学参数 εＭ （ｘ），μＭ （ｘ）的分布，实现在外界电磁波照射下系统的等效电流面密度分布为Ｊｅｆｆ（ｘ）＝Ｊ０ｅｘｐ（ｉξｘ）＾ｘ。当 ξ＜ｋ０ 时，其辐射场为ＰＷ［类似图１（ａ），（ｂ）］；当ξ＞ｋ０ 时，其辐射场为ＳＷ［类似于图１（ｃ）］，此时就实现了 将垂直入射的 ＰＷ 变成被束缚在系统表面的ＳＷ，这里调控ξ的大小是决定系统辐射分布的关键。 图３ ＧＭ 实现 ＰＷ 到ＳＷ 转换的原理、参数设计及模展开理论计算［３７］ Ｆｉｇ．３ ＣｏｎｃｅｐｔｏｆＰＷ－ＳＷｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ，ｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎａｎｄｍｏｄｅ－ｅｘｐａｎｓｉｏｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｇｒａｄｉｅｎｔｍｅｔａ－ｓｕｒｆａｃｅｍｏｄｅｌ［３７］ 假设 ＧＭ 在ｘ０ 处的等效电流Ｊｅｆｆ（ｘ０）近似等于均匀媒质ε＝εＭ （ｘ０），μ＝μＭ （ｘ０）覆盖在 ＰＥＣ上的系统 在外界光照射 下 的 等 效 电 流 Ｊ０ ｅｆｆ。此 时，垂直入射光将被完全正反射，反 射 电 场 为 Ｅｒ ＝ｅｘｐ（ｉΦ）Ｅｉｎ × ｅｘｐ［ｉ（ｋ０ｚ－ωｔ）］＾ｘ，其中反射相位Φ 为 Φ ＝ａｒｃｃｏｓ ［ ］ －ε＋μｔａｎ２（槡εμｋ０ｄ）／［ ］｛ ｝ ε＋μｔａｎ２（槡εμｋ０ｄ） ． （１９） 由于反射场就是由系统内诱导电流Ｊ０ ｅｆｆ产生的，Ｅｒ 一定是Ｊ０ ｅｆｆ的线性函数，因此Ｊ０ ｅｆｆ的相位一定和反射电 场Ｅｒ 的相位相同，也就是说Ｊ０ ｅｆｆ＝＾ｘＪ０ｅｘｐ（ｉΦ）。因此 ＧＭ 的等效面电流可变形为Ｊｅｆｆ（ｘ）＝Ｊ０ｅｘｐ［ｉΦ（ｘ）］， 其中Φ（ｘ）为 ＧＭ 在位置ｘ处的局域反射相位，其结果是将ε＝εＭ （ｘ），μ＝μＭ （ｘ）代入（１９）式所得。此时，我 们设计 ＧＭ 的目标就是 Φ（ｘ）＝Φ０ ＋ξｘ， （２０） 即基于图３（ｂ）的 ＧＭ 模型，设计一个反射相位Φ（ｘ）是ｘ 的线性分布的函数，相位的梯度为ξ，这就是设计 ＧＭ 的最终方案。 由于入射光是垂直入射 ＧＭ 系统，所以 ＧＭ 相对介电常数εＭ 和磁导率μＭ 的垂直分量并不重要，因此 只需设计其平行分量ε∥ Ｍ 和μ∥ Ｍ 即可。例如，（１９），（２０）式的一个简单解是ε∥ Ｍ （ｘ）＝μ∥ Ｍ （ｘ）＝１＋ξｘ／２ｋ０ｄ， 图３（ｃ）中给出三套参数分布可以实现不同反射相位梯度ξ的 ＧＭ。利用２．２节所介绍的模展开方法，计算了 系统的散射系数 ρｋｘ ２ 对ｋｘ 的分布，发现在ｋｘ ＝０．４ｋ０，０．８ｋ０ 时，ρｋｘ ２ 会出现极大的峰，这意味着散射场 几乎是单模的平面波，其波矢大小分别为０．４ｋ０，０．８ｋ０，这两个 ＧＭ 系统会将垂直入射光散射到不同出射方 向。利用基于 ＦＥＭ 的瞬态数值模拟来做验证，如图４所示，垂直入射的高斯波束被会被ξ＝０．４ｋ０ 和ξ＝ ０．８ｋ０ 的 ＧＭ 分别反射到２３．６°和５３．１°方向，特别有趣的是，对于ξ＝１．１４ｋ０ 的 ＧＭ，反射场变为表面波 ０８０００９－５