应用产学 Vol.37,No.1 Journal of Applied Acoustics January,2018 。汪承灏院士八十生辰学术论文。 广义斯奈尔定律与声超表面* 朱一凡梁彬程建春 (南京大学声学所隘结构与创新动同中心南京21003 精要给出了广义斯奈尔定律的相关理论推导，并总结国顾了之前的几种设计，包括声人工结构表面和几种 ,以解析推导为主，结合数值模 证明了人 后，我们 我们重 包括折登 设计超薄声扩 我 是出的声超 散体在 单元，可以设计宽带 超薄施罗德扩散体，其带宽接近于商业化的施罗德扩散体，这个例子充分展示了声超表面在实际场合的应用 关键词 广义斯奈尔定律，声超表面，波阵面操控，施罗德扩散体 中图法分类号：0402 文献标识码：A 文章编号：1000-310X(2018)01-0053-10 D0:10.11684/5.is5sm.1000-310X.2018.01.008 The generalized Snell's law and acoustic metasurfaces ZHU Yifan LIANG Bin CHENG Jianchun Nanjing 210093,China) Abstract In this paper.we investigate the theoretical derivations that related to the generalized Snell's law.and also review the previous designs.including artificial structure surface and several examples of acoustic metasurface.Firstly,we analytically,numerically and experimentally verify the abnormal reflection in"artificial grooves"structure.Then.we summarize the design methods of acoustic metasurfaces.including coiling-up- pace structure and Helmholtz respectively.At last.we rev ew ope special desie coustic me face with the thickn ss of only 1/20 wavelength,and its use in design of ultra-thin a ordi cor?Co nal Schroeder diffuser is a classical design proposed4 o in architectural acoustics.Our designed acoustic arface schroeder diffuser ood di at the unit cells designe sdroeder diffuse andwidth dequately showing the applicat Key words The generalized Snell's law,Acoustic metasurface,Wavefront manipulation,Schr roeder diffuse 2017.10.27收箱：2017.11.28 3100 通讯作者E-mail:jcchenganju.edu.中 1994-2018 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.enki.net
第 37 卷 第 1 期 Vol. 37, No.1 2018 年 1 月 Journal of Applied Acoustics January, 2018 ⋄ 汪承灏院士八十生辰学术论文 ⋄ 广义斯奈尔定律与声超表面∗ 朱一凡 梁 彬 程建春† (南京大学声学所 微结构与创新协同中心 南京 210093) 摘要 给出了广义斯奈尔定律的相关理论推导，并总结回顾了之前的几种设计，包括声人工结构表面和几种 声超表面的案例。首先，以人工结构表面为例，以解析推导为主，结合数值模拟和实验结果，证明了人工窄井结 构的异常反射现象。随后，我们回顾了声超表面的设计方法，包括折叠空间式和亥姆赫兹腔式两种典型的结构 化设计。最后，我们重点回顾了一种厚度仅为1/20波长的声超表面，用于设计超薄声扩散体，称为声超表面施 罗德扩散体。传统的施罗德扩散体是40年前提出的建筑声学领域的经典设计，而我们提出的声超表面施罗德 扩散体在中心频率具有同样优质的漫反射效果。另外，通过混合不同目标频率的超表面单元，可以设计宽带的 超薄施罗德扩散体，其带宽接近于商业化的施罗德扩散体，这个例子充分展示了声超表面在实际场合的应用 潜能。 关键词 广义斯奈尔定律，声超表面，波阵面操控，施罗德扩散体 中图法分类号: O402 文献标识码: A 文章编号: 1000-310X(2018)01-0053-10 DOI: 10.11684/j.issn.1000-310X.2018.01.008 The generalized Snell’s law and acoustic metasurfaces ZHU Yifan LIANG Bin CHENG Jianchun (Institute of Acoustics, Collaborative Innovation Center of Advanced Microstructures, Nanjing University, Nanjing 210093, China) Abstract In this paper, we investigate the theoretical derivations that related to the generalized Snell’s law, and also review the previous designs, including artificial structure surface and several examples of acoustic metasurface. Firstly, we analytically, numerically and experimentally verify the abnormal reflection in “artificial grooves” structure. Then, we summarize the design methods of acoustic metasurfaces, including coiling-upspace structure and Helmholtz-resonator structure, respectively. At last, we review one special design of acoustic metasurface with the thickness of only 1/20 wavelength, and its use in design of ultra-thin acoustic diffuser, namely “acoustic metasurface Schroeder diffuser”. Conventional Schroeder diffuser is a classical design proposed 40 years ago in architectural acoustics. Our designed acoustic metasurface Schroeder diffuser has comparable good diffusion effect at the center frequency. In addition, by mixing the unit cells designed for four different target frequencies, we can achieve broadband metasurface-based Schroeder diffuser, with the bandwidth comparable with commercial Schroeder diffuser, adequately showing the application potentials of acoustic meatsurfaces in practical occasions. Key words The generalized Snell’s law, Acoustic metasurface, Wavefront manipulation, Schroeder diffuser 2017-10-27 收稿; 2017-11-28 定稿 ∗国家自然科学基金项目 (11674119, 11634006, 81127901, 11404125) 作者简介: 朱一凡 (1989- ), 男, 江苏南京人, 博士研究生, 研究方向: 声超材料。 † 通讯作者 E-mail: jccheng@nju.edu.cn
在用卢学 2018年1月 1引言 到这样完美的界面时，入射波、反射波和透射波必 须遵循斯奈尔定律。然而，通过人工设计材料的 2011年，光学上首次提出广义斯奈尔(Sncl)定 面，使反射波和透射波满足所消的“广义斯奈尔定 律四。区别于经典的斯奈尔定律，广义斯奈尔定律 律”，就可以达到控制反射波和透射波的目的，其基 首次引入了折射或反射界面的相位突变。相位突变 本原理叙述如下。 通常由一个共振单元实现，通过调制这个相位突变 在材料的表面设计特殊的人工结构 使声波 在表面的分布函数，可以实现多种多样的波阵面 入射到表面后，形成的反射波或透射波有一个相 位突变，而目这样的突变与位置有关。表面人工 控回。当这样的人工表面具有亚波长厚度时，我们 称它为超表面冈。类比光学超表面，声超表面的理 结构的厚度一般远小于波长，这样的表面称为超 论设计最先在2013年提出3-，通过设计具有相位 表面(Metasurface),如图1所示，设材料表面位于 突变的单元结构，入射声波在反射或折射界面上海 =0的平面，则入射波经表面反射后（或透射波 秀过表面后)附加一个相位变化(x,(二维)或者 循广义斯奈尔定律，将产生异常折射/反射等奇异 的现象。随后，声超表面的研究受到广泛关注，出 (x)(一维)。我们根据费马原理山来导出一维情况 的反射角和透射角满足的关系。撸马原理指出，声 现了更多声超表面的理论设计和实验证明6-0，声 超表面由于可以打破传统传统超材料的限制，在很 线从A点经反射面传播到B点（或者C点，见图1） 的真实路径使声程取极小。从波动的观点来看，声 小的尺度上实现调控，因此具有巨大的优势和各式 程反映相位的变化，因此费马原理也可以陈述为古 各样的应用，例如聚焦和非衍射波束的形成6-1， 线从A点经反射面传播到B点的直实路径使相行 完美声吸收1-1同，声涡旋的产生[17-1司，声全息成 像[1，超薄声扩散体2等等】 变化取极小。设A点和B点的坐标分别为( 本文中，我们将从最基本的费马(Fermat)原理 和（任B,B),声线从A点发出后入射（入射角为0， 开始，解析推导广义斯奈尔定律的相关方程，并回顾 到表面O点（坐标为（红，0）经反射（反射角为0）后 达到B点，相位变化为 之前的一些与广义斯奈尔定律有关的设计，句括 种人工窄井结构和 一些声超表面的设计。首先 4,(a)=(a)+koV√(e-正A)2+ 种窄井构成的人工结构表面为例，通过理论和数 +oV任B-x)2+ (1a 值方法研究结构对声波响应的影响，通过表面的异 常反射现象（声波指向性操控），验证广义斯奈尔定 其中，()是声线在人工表面的相位突变，是波 律。随后，我们将例说明结构化声超表面的设计 矢。于是，0点坐标满足 应用。归纳总结了两种常见的超表面单元的设 d(）d ko(-A) 方法，即折叠空间式和亥姆赫兹腔式声超表面，分析 √e-xA2+2月 了两种设计的基本原理，并比较了两种机制的优缺 ko(任B-x) √B (1b) 点。最后，我们将重点回顾一种厚度仅为1/20波长 的反射式声超表面和其在超薄声人工扩散体中的 应用，称为“声超表面施罗德(Schroeder)扩散体” d包+ko(ima-sm0,=0. (1c) 可用于实现厅堂等环境下的声漫反射的产生，由于 因此，入射角为：和反射角为0，满足所谓广 设计的厚度远小于传统的商用施罗德扩散体，因此 在噪声控制和建筑声学领域有潜在应用 也体现 义斯奈尔定律 λodΦ(x】 声超表面的概念可以用来解决实际的声学问题，并 sin0,-sin0:=2元dr (1d) 具有独特的优势。 其中，0=0川为入射介质中的波长。对透射波， 相位变化为 2人工结构表面及广义斯奈尔定律 =+Vc-P+ 2.1基本原理与解析推导 2n 若一个分界面是平面且无限大，当平面波入射 +V(rc-2+, (2a 1994-2018 China Academie Joumal Electronie Publishing House.All rights www.cnki.ne
54 2018 年 1 月 1 引言 2011年，光学上首次提出广义斯奈尔(Snell)定 律[1]。区别于经典的斯奈尔定律，广义斯奈尔定律 首次引入了折射或反射界面的相位突变。相位突变 通常由一个共振单元实现，通过调制这个相位突变 在表面的分布函数，可以实现多种多样的波阵面操 控[2]。当这样的人工表面具有亚波长厚度时，我们 称它为超表面[2]。类比光学超表面，声超表面的理 论设计最先在2013年提出[3−5]，通过设计具有相位 突变的单元结构，入射声波在反射或折射界面上遵 循广义斯奈尔定律，将产生异常折射/反射等奇异 的现象。随后，声超表面的研究受到广泛关注，出 现了更多声超表面的理论设计和实验证明[6−20]，声 超表面由于可以打破传统传统超材料的限制，在很 小的尺度上实现调控，因此具有巨大的优势和各式 各样的应用，例如聚焦和非衍射波束的形成[6−13]， 完美声吸收[14−16]，声涡旋的产生[17−18]，声全息成 像[19]，超薄声扩散体[20] 等等。 本文中，我们将从最基本的费马(Fermat)原理 开始，解析推导广义斯奈尔定律的相关方程，并回顾 之前的一些与广义斯奈尔定律有关的设计，包括一 种人工窄井结构和一些声超表面的设计。首先，以 一种窄井构成的人工结构表面为例，通过理论和数 值方法研究结构对声波响应的影响，通过表面的异 常反射现象(声波指向性操控)，验证广义斯奈尔定 律。随后，我们将举例说明结构化声超表面的设计 与应用。归纳总结了两种常见的超表面单元的设计 方法，即折叠空间式和亥姆赫兹腔式声超表面，分析 了两种设计的基本原理，并比较了两种机制的优缺 点。最后，我们将重点回顾一种厚度仅为1/20波长 的反射式声超表面和其在超薄声人工扩散体中的 应用，称为“声超表面施罗德(Schroeder)扩散体”， 可用于实现厅堂等环境下的声漫反射的产生，由于 设计的厚度远小于传统的商用施罗德扩散体，因此 在噪声控制和建筑声学领域有潜在应用，也体现了 声超表面的概念可以用来解决实际的声学问题，并 具有独特的优势。 2 人工结构表面及广义斯奈尔定律 2.1 基本原理与解析推导 若一个分界面是平面且无限大，当平面波入射 到这样完美的界面时，入射波、反射波和透射波必 须遵循斯奈尔定律。然而，通过人工设计材料的界 面，使反射波和透射波满足所谓的“广义斯奈尔定 律”，就可以达到控制反射波和透射波的目的，其基 本原理叙述如下。 在材料的表面设计特殊的人工结构，使声波 入射到表面后，形成的反射波或透射波有一个相 位突变，而且这样的突变与位置有关。表面人工 结构的厚度一般远小于波长，这样的表面称为超 表面(Metasurface)。如图1所示，设材料表面位于 z = 0的平面，则入射波经表面反射后(或透射波 透过表面后)附加一个相位变化Φ(x, y)(二维)或者 Φ(x)(一维)。我们根据费马原理[1] 来导出一维情况 的反射角和透射角满足的关系。费马原理指出，声 线从A点经反射面传播到B 点(或者C 点，见图1) 的真实路径使声程取极小。从波动的观点来看，声 程反映相位的变化，因此费马原理也可以陈述为声 线从A点经反射面传播到B 点的真实路径使相位 变化取极小。设A点和B 点的坐标分别为(xA, zA) 和(xB, zB)，声线从A点发出后入射(入射角为ϑi) 到表面O 点(坐标为(x, 0))经反射(反射角为ϑr)后 达到B 点，相位变化为 ψr(x) = Φ(x) + k0 √ (x − xA) 2 + z 2 A + k0 √ (xB − x) 2 + z 2 B, (1a) 其中，Φ(x)是声线在人工表面的相位突变，k0 是波 矢。于是，O 点坐标满足 dψr(x) dx = dΦ(x) dx + k0(x − xA) √ (x − xA) 2 + z 2 A − k0(xB − x) √ (xB − x) 2 + z 2 B = 0, (1b) 即 dΦ(x) dx + k0(sin ϑi − sin ϑr) = 0. (1c) 因此，入射角为ϑi 和反射角为ϑr 满足所谓广 义斯奈尔定律 sin ϑr − sin ϑi = λ0 2π dΦ(x) dx , (1d) 其中，λ0 = c0/f 为入射介质中的波长。对透射波， 相位变化为 ψt(x) = Φ(x) + 2π λ0 √ (x − xA) 2 + z 2 A + 2π λ1 √ (xC − x) 2 + z 2 C , (2a)
第37卷第1期 朱一凡等：广义斯奈尔定律与声超表面 55 其中，(rc,C)为C点坐标， /f为透射介质 2.2人工结构表面 中的波长。于是，入射角为山，和透射角山，满足 在声学中，设计对反射波相位突变)的人工 把_2+瓷-资血=0四 表面是容易的，最简单的方法是仿照Schroeder扩 dr 即 散体（见第4节），把表面分割成比波长小得多的空 气窄井（仁维为条状井）2-1到，如图2(a)所示，紫色 2n dz 虚线表示反射界面，究井深府的梯度为0.3535。下 当(x)与x无关时，方程(1d)和方程(2c)给 面我们从波动声学的观点来进行讨论 出普通的斯奈尔定律：当(x)随x线性变化（设为 由点源再辐射模型，散射场满足 (x)=z)时，方程(1d和方程(2c)简化为 sin 0r-sin i=B (2d x kov(-2+2 dr',(3a) 利用Hankel函数的展开方程得到 因此，反射波（透射波）有固定的反射角（透射 2 角)。值得注意的是：对广义斯奈尔定律。当入射角 为+0，和-0时，反射角（或透射角）不同：当（ 随工非线性变化时，反射角和透射角与位置坐标 ×exp(-ikor'sin a)dr (3b) 有关，这在几何声学的角度是容易理解的，因此，通 其中，p=√2+2是观察点r=(红，)到坐标原 过控制(x)随x的非线性变化，实现对反射或透射 点的距离，α是观察点矢径与表明法向的夹角。设 波束的控制。 入射场为山，方向传播的平面波 人工表 pi(r',)=poi(w)expliko(x'sin+z'cos), (3c) 则激发的窄井表面(：=0)空气振动速度应该为 (3d 其中，(x)是声波在空气窄井中来回一次引起的相 图1广义斯奈尔定律原理图，界面=0处有一个 位差，与井深度d(x)的关系为 相位突变 Snell's law。 (r')=2kod(x')= 0 x'∈刚性处 19.5cm 72771 1. ()空气井人工结构表面不意 ()人工构 产生45异常反 图2空气空并人工结构表而 Fig.2 Artificial groove-structure surface 19-018China Academic Joual Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww.cnki.e
第37 卷 第 1期 朱一凡等： 广义斯奈尔定律与声超表面 55 其中，(xC , zC )为C 点坐标，λ1 = c1/f 为透射介质 中的波长。于是，入射角为ϑi 和透射角ϑt 满足 dψt(x) dx = dΦ(x) dx + 2π λ0 sin ϑi − 2π λ1 sin ϑt =0, (2b) 即 1 λ1 sin ϑt − 1 λ0 sin ϑi = 1 2π dΦ(x) dx . (2c) 当Φ(x)与x无关时，方程(1d)和方程(2c)给 出普通的斯奈尔定律；当Φ(x)随x线性变化(设为 Φ(x) = βx)时，方程(1d)和方程(2c)简化为 sin ϑr − sin ϑi = λ0 2π β, 1 λ1 sin ϑt − 1 λ0 sin ϑi = 1 2π β. (2d) 因此，反射波(透射波)有固定的反射角(透射 角)。值得注意的是：对广义斯奈尔定律，当入射角 为+ϑi 和−ϑi 时，反射角(或透射角)不同；当Φ(x) 随x非线性变化时，反射角和透射角与位置坐标x 有关，这在几何声学的角度是容易理解的，因此，通 过控制Φ(x)随x的非线性变化，实现对反射或透射 波束的控制。 ρc O x C z (ρ֒ c) Φ(x) A B ϑi ϑr ϑt ᛫᭧ࢺ̡ 图 1 广义斯奈尔定律原理图，界面 z = 0 处有一个 相位突变 Fig. 1 The schematic diagram of the generalized Snell’s law. A phase shift is added at z = 0 2.2 人工结构表面 在声学中，设计对反射波相位突变Φ(x)的人工 表面是容易的，最简单的方法是仿照Schroeder扩 散体(见第4节)，把表面分割成比波长小得多的空 气窄井(二维为条状井) [12−13]，如图2(a)所示，紫色 虚线表示反射界面，窄井深度的梯度为0.3535。下 面我们从波动声学的观点来进行讨论。 由点源再辐射模型，散射场满足 ps(x, z, ω) = 1 2 ρ0c0k0 ∫ ∞ −∞ v(x ′ )H (1) 0 × [ k0 √ (x − x ′) 2 + z 2 ] dx ′ , (3a) 利用Hankel函数的展开方程得到 ps(x, z, ω) = 1 2 ρ0c0k0 √ 2 πk0ρ e i(k0ρ−π/4) ∫ ∞ −∞ v(x ′ ) × exp(−ik0x ′ sin α)dx ′ , (3b) 其中，ρ = √ x 2 + z 2 是观察点r = (x, z)到坐标原 点的距离，α是观察点矢径与表明法向的夹角。设 入射场为ϑi 方向传播的平面波 pi(r ′ , ω) = p0i(ω) exp[ik0(x ′ sin ϑi + z ′ cos ϑi)], (3c) 则激发的窄井表面(z = 0)空气振动速度应该为 v(x ′ ) = |v(x ′ )| e ik0x ′ sin ϑi exp[iϕ(x ′ )], (3d) 其中，ϕ(x ′ )是声波在空气窄井中来回一次引起的相 位差，与井深度 d(x ′ )的关系为 ϕ(x ′ )= 2k0d(x ′ )= ϕn, x′ ∈ 第n个井口, 0, x′ ∈ 刚性处. (3e) 19.5 cm g=0.3535 7 cm d0 d hj x ࠱Ԧ y ࠱Ԧ ԍܦ ᰎࠄ ࠱К θr φin φout К࠱ 0 -0.1 x/m y/m -0.2 -0.2 (a) ቇඡቌ̡̌ࢺፇ᛫᭧ᇨਓڏ) b) ̡ࢺፇ̗ၷ45OपԦ࠱ -0.1 0 0.1 0.2 7277 Hz +1.5 -1.5 图 2 空气窄井人工结构表面 Fig. 2 Artificial groove-structure surface
在用户学 2018年1月 方程(3d)代入方程(3b)得到 其中，xn为第n个窄井的位置。显然，式(6)的极大 p.(r,2,w 出现在ko(sina-sin)-B=0方向。 值得注意的是：(1)在实际问题中，窄井宽度不 能太小，否则必须考虑窄井的声吸收，这个条件给出 eiko'(sin dz', 了高频阴制.另一方面，井的深度也不总任音的，声 （4a) 波在井中来回必须产生2范围内的相位差，这个条 当井口宽度相等时，可以取(x)1=o,于是， 件给出了低频限制。②)以上讨论的是远场特性，在 式(4a)简化为 近场，声场分布满足方程 p.(z,z.w) p.(，之，w) 2 ocokoueo exp(iH (kop).(7) xeas'(-m.(dr,（ n=0 其中，Pn是第n个井表面到观察点的距离。式(7)推 当窄井深度线性变化时，()=2kdx)三Br'(其 导也可解析得到反射声场，在文献12中有详细的 对比，解析的结果和数值模拟基本吻合，可以在多 中，d(x)=qx表示窄井深度，B三2k0g,Q是窄井 测试频率观察到异常反射现象，由于结构的简单和 深度分布在x方向的的梯度，于是式(4b)中积分为 低色散，该人工结构表面可能用于噪声控制，或声波 Dirac delta函数 的重定向，指向性控制等场合。 p(红，2) =√忌e-w 2 3超表面的设计与应用 对于以空气为背景媒质的声超表面，结 ×dko(sina-sin)-l, (4c 构化超表面是最常见的 一种设计（仅由 种高 显然，式(4c)意味着散射波集中的a方向满足 阻抗声学材料和背景媒质空气构成)，在最近 ko(sin a-sin)B=0, 的研究中，最常见的两种单元设计分别为折 叠空间结构3.6-79,11,15,1，和亥姆赫兹共振腔结 sin a-sin =20B. (5) 构0,14-17,2网。两种方法均可实现透射式或反射式 式(5a)恰好是方程(1d)的第一式。因此，表面相位 的声超表面，我们将分别举例说明设计结构与可能 突变(x)就是声波在窄井中来回传播引起的相位 的应用，并分析其机制。也有一些声超表面不是通 差，即()=(x).把B三2kog代入式(5a,得到 过设计特殊结构来引入相位突变，而是通过使用自 反射角满足 界存在的材料，比如改变稀有气体或水的填充率 实 a arcsin[sin +2gl 要的等效参数和相位延迟-可，这种非结 (5b) 构化的超表面，可以认为是另外一种设计思路，并没 如图2(b)所示，对于梯度g=0.3535的人工窄 有归纳在下文的分类中。 井结构，模拟和实验上均可以产生45°的异常反射 3.1折叠空间结构超表面 这和式(5b)计算结果吻合。有趣的是，式(5b)与入 射波的频率无关。因此，窄井对声波的操控有较 设计声超表面时，通过改变超表面单元的某 结构参数，需要实现0到2π范用内的相位反馈。折 的宽带效果2。当只有N个窄井并且窄井宽度为 叠空间结构利用声波在细长的折叠通道的传播，实 心时，方程(4b)近似成 现足够的相位延迟，也可看作结构的等效折射率远 2 大于空气。因此，可以在亚波长尺度下实现足够 的相位变化，也就是0到2π的相位反馈。折叠空间 N-1 i[ko(sina-sin0)-8,(6) 结构设计有多种多样B.6-7,9,1115.1,图3中给出了 三个典型的例子，具有不同的折叠方式。图3(a)显 1994-2018Chin Academie Jour al Electronie Publishing House.All rights reserved. htp: www.cnki.ne
56 2018 年 1 月 方程(3d)代入方程(3b)得到 ps(x, z, ω) = 1 2 ρ0c0k0 √ 2 πk0ρ e i(k0ρ−π/4) ∫ ∞ −∞ |v(x ′ )| × e −ik0x ′ (sin α−sin ϑi)+iϕ(x ′ )dx ′ , (4a) 当井口宽度相等时，可以取|v(x ′ )| = |v0|，于是， 式(4a)简化为 ps(x, z, ω) = 1 2 ρ0c0k0|v0| √ 2 πk0ρ e i(k0ρ−π/4) × ∫ ∞ −∞ e −ik0x ′ (sin α−sin ϑi)+iϕ(x ′ )dx ′ , (4b) 当窄井深度线性变化时，ϕ(x ′ ) = 2k0d(x ′ ) ≡ βx′ (其 中，d(x ′ ) = gx′ 表示窄井深度，β ≡ 2k0g)，g 是窄井 深度分布在x方向的的梯度，于是式(4b)中积分为 Dirac Delta函数 ps(x, z, ω) = πρ0c0k0|v0| √ 2 πk0ρ e i(k0ρ−π/4) × δ[k0(sin α − sin ϑi) − β], (4c) 显然， 式(4c)意味着散射波集中的α 方向满足 k0(sin α − sin ϑi) − β = 0，即 sin α − sin ϑi = λ0 2π β, (5a) 式(5a)恰好是方程(1d)的第一式。因此，表面相位 突变Φ(x)就是声波在窄井中来回传播引起的相位 差，即Φ(x) = ϕ(x)。把β ≡ 2k0g 代入式(5a)，得到 反射角满足 α = arcsin[sin ϑi + 2g]. (5b) 如图2(b)所示，对于梯度g=0.3535的人工窄 井结构，模拟和实验上均可以产生45◦ 的异常反射， 这和式(5b)计算结果吻合。有趣的是，式(5b)与入 射波的频率无关。因此，窄井对声波的操控有较好 的宽带效果[12]。当只有N 个窄井并且窄井宽度为 w 时，方程(4b)近似成 ps(x, z, ω) ≈ 1 2 ρ0c0k0w|v0| √ 2 πk0ρ e i(k0ρ−π/4) × N ∑−1 n=0 e −ixn[k0(sin α−sin ϑi)−β] , (6) 其中，xn 为第n个窄井的位置。显然，式(6)的极大 出现在k0(sin α − sin ϑi) − β = 0方向。 值得注意的是：(1)在实际问题中，窄井宽度不 能太小，否则必须考虑窄井的声吸收，这个条件给出 了高频限制；另一方面，井的深度也不是任意的，声 波在井中来回必须产生2π范围内的相位差，这个条 件给出了低频限制。(2) 以上讨论的是远场特性，在 近场，声场分布满足方程 ps(x, z, ω) = 1 2 ρ0c0k0w|v0| N ∑−1 n=0 exp(iϕn)H (1) 0 (k0ρn), (7) 其中，ρn 是第n个井表面到观察点的距离。式(7)推 导也可解析得到反射声场，在文献[12]中有详细的 对比，解析的结果和数值模拟基本吻合，可以在多个 测试频率观察到异常反射现象，由于结构的简单和 低色散，该人工结构表面可能用于噪声控制，或声波 的重定向，指向性控制等场合。 3 超表面的设计与应用 对 于 以 空 气 为 背 景 媒 质 的 声 超 表 面， 结 构化超表面是最常见的一种设计(仅由一种高 阻抗声学材料和背景媒质空气构成)， 在最近 的研究中， 最常见的两种单元设计分别为折 叠空间结构[3,6−7,9,11,15,19]，和亥姆赫兹共振腔结 构[10,14−17,20]。两种方法均可实现透射式或反射式 的声超表面，我们将分别举例说明设计结构与可能 的应用，并分析其机制。也有一些声超表面不是通 过设计特殊结构来引入相位突变，而是通过使用自 然界存在的材料，比如改变稀有气体或水的填充率， 实现需要的等效参数和相位延迟[4−5,8]，这种非结 构化的超表面，可以认为是另外一种设计思路，并没 有归纳在下文的分类中。 3.1 折叠空间结构超表面 设计声超表面时，通过改变超表面单元的某一 结构参数，需要实现0到2π范围内的相位反馈。折 叠空间结构利用声波在细长的折叠通道的传播，实 现足够的相位延迟，也可看作结构的等效折射率远 大于空气。因此，可以在亚波长尺度下实现足够大 的相位变化，也就是0到2π的相位反馈。折叠空间 结构设计有多种多样[3,6−7,9,11,15,19]，图3中给出了 三个典型的例子，具有不同的折叠方式。图3(a)显
第37卷第1期 朱一凡等：广义斯奈尔定律与声超表面 57 示了操控反射声波的迷宫式折叠空间结构间，通过 率也可能低。因此，该机制表现为共振效应，但Q值 改变折叠的程度（例如调整弯折的次数和通道的宽 通常不高，常为弱共振效应。从图3中的三种结构 度)，实现不同的相位反馈。 可看出，折叠结构的折叠方式是设计中可以优化的 图3b)和图3c)显示了另外两种设计，分别为 卷曲式和螺旋式折叠空间结构6，通过调整两种 方面。 设计的通道的宽度，可以保证较高透射率(0.。 伯得一提的是，在文状山5中利用折叠空间超 的同时，实现对透射波的相位操控。折叠空间结构 表面实现吸声是一个特例，为强共振的设计，由于在 的相位变化能力（等效折射率）通常正比于折叠路 折叠出口处设置了面积比折叠通道更小的圆孔，小 程。值得注意的是，对于不同频率（或不同结构参 孔的作用等效于声质量，而折叠空间结构等效为声 数)，入射波与折叠入口的合程度不同，这会影响 容，因此也可以看作类似于亥姆赫兹共振腔的模型 结构的相位变化能力或声波的透射率。当折叠入口 形成了高O值的共振。设计结构中的声吸收多数颗 阻抗匹配时（共振点），认为桐合度最高，相反，如果 于共振时颈口和腔体内的粘滞损耗，因此该结构也 阻抗匹配很差，那么耦合度低，对于透射式单元透射 可以归为亥姆赫兹共振腔式的单元。 (a迷宫式折叠空问 ()卷式折叠空问陆构 (©)螺旋式折叠空始构 图3三种典型的折叠空向结构 Fig.3 Three classical structures 32亥姆赫兹腔结构超表面 (02π)。此类透射超表面可实现各种波束的操控 区别于折叠空间结构，利用传统声学元素 出如图4(a)右图展示的Av波束等，可以用干声 -亥胡赫兹共振腔(Helmholtz resonator,HR) 涡旋的产生可。 由于透射式声超表面形成的波束 结构设计的声超表面且有较强的（高口值）共振效 不会受入射波干扰，因此有更广泛的实际应用（和 应14-72，图4)展示了一种透射式设计m, 反射式相比)。 在通道旁支处设置四个HR腔（四室一厅结构）， 和透射式声超表面比较，反射式声超表面实现 利用HR结构的耦合共振，通过改变直通道的宽 结构相对简单。图4b)显示了反射声超表面单元的 度，实现高透射下（声压透射大于0.9）的相位调控 没计，为一个超薄的HR结构。HR单元的宽度为半 1994-018 China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved.hup://www.cnki.n
第37 卷 第 1期 朱一凡等： 广义斯奈尔定律与声超表面 57 示了操控反射声波的迷宫式折叠空间结构[9]，通过 改变折叠的程度(例如调整弯折的次数和通道的宽 度)，实现不同的相位反馈。 图3(b)和图3(c)显示了另外两种设计，分别为 卷曲式和螺旋式折叠空间结构[6,11]，通过调整两种 设计的通道的宽度，可以保证较高透射率(0.8 ∼ 1) 的同时，实现对透射波的相位操控。折叠空间结构 的相位变化能力(等效折射率)通常正比于折叠路 程。值得注意的是，对于不同频率(或不同结构参 数)，入射波与折叠入口的耦合程度不同，这会影响 结构的相位变化能力或声波的透射率。当折叠入口 阻抗匹配时(共振点)，认为耦合度最高，相反，如果 阻抗匹配很差，那么耦合度低，对于透射式单元透射 率也可能低。因此，该机制表现为共振效应，但Q值 通常不高，常为弱共振效应。从图3中的三种结构 可看出，折叠结构的折叠方式是设计中可以优化的 方面。 值得一提的是，在文献[15]中利用折叠空间超 表面实现吸声是一个特例，为强共振的设计，由于在 折叠出口处设置了面积比折叠通道更小的圆孔，小 孔的作用等效于声质量，而折叠空间结构等效为声 容，因此也可以看作类似于亥姆赫兹共振腔的模型， 形成了高Q值的共振。设计结构中的声吸收多数源 于共振时颈口和腔体内的粘滞损耗，因此该结构也 可以归为亥姆赫兹共振腔式的单元[15]。 d d P D P De ax ay pi pr x t t l w d y L (c) ᛃरઉԯቇᫎፇ (a) ᤚࠍरઉԯቇᫎፇ (b) Ԅజरઉԯቇᫎፇ ᆶႍ 图 3 三种典型的折叠空间结构 Fig. 3 Three classical coiling-up-space structures 3.2 亥姆赫兹腔结构超表面 区别于折叠空间结构，利用传统声学元素 ——亥姆赫兹共振腔(Helmholtz resonator, HR) 结构设计的声超表面具有较强的(高Q值)共振效 应[10,14−17,20]。图4(a)展示了一种透射式设计 [10]， 在通道旁支处设置四个HR腔(四室一厅结构)， 利用HR结构的耦合共振，通过改变直通道的宽 度，实现高透射下(声压透射大于0.9)的相位调控 (0∼2π)。此类透射超表面可实现各种波束的操控， 比如图 4(a)右图展示的Airy波束等，还可以用于声 涡旋的产生[17]。由于透射式声超表面形成的波束 不会受入射波干扰，因此有更广泛的实际应用(和 反射式相比)。 和透射式声超表面比较，反射式声超表面实现 结构相对简单。图4(b)显示了反射声超表面单元的 设计，为一个超薄的HR结构。HR单元的宽度为半