空间稀疏角域以及多普勒域下的DOA估计

工程科学学报，第37卷，第12期：1658-1666,2015年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.12:1658-1666,December 2015 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2015.12.019:http://journals..ustb.edu.cn 空间稀疏角域以及多普勒域下的DOA估计 刘婷12，周杰”，邵根富》 1)南京信息工程大学电子与信息工程学院，南京2100442)东南大学移动通信国家重点实验室，南京21009% 3)浙江杭州电子科技大学，杭州310018 ☒通信作者，E-mail:liutingpn@l63.com 摘要提出可在稀疏角域以及多普勒域下对天线阵列信号向量进行接收和分析的方法，讨论在多普勒频域范围内的D0A 估计问题，并在有效的频带范围内提取信号冲激响应较大的值.在稀疏D0A的恢复过程中采用的是L2.。估计算法，并在多路 天线频谱感知的架构下充分利用D0A所固有的稀疏特性，对其进行稀疏恢复.对于在测试环境中不可避免的噪声问题，分析 三种不同噪声分布下的DOA估计误差问题.仿真结果显示频域范围内的L2.0DOA估计算法具有较低的计算复杂度和较高 的准确度，并且算法对噪声不敏感，鲁棒性较高 关键词波达方向：参数据估计：天线阵列：频谱：压缩感知 分类号TN911.6 Direction-of-arrival estimation under spatial sparse angular and Doppler domains LIU Ting2,ZH0UJie》,SHA0Genf》 1)College of Electronic and Information Engineering,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China 2)National Mobile Communications Research Laboratory,Southeast University,Nanjing 210096,China 3)Hangzhou University of Electronic Science and Technology,Hangzhou 310018,China Corresponding author,E-mail:liutingpn@163.com ABSTRACT The method of receiving the antenna array vector was proposed under the sparse angle domain and Doppler domain. The direction-of-arrival (DOA)estimation problem in the Doppler frequency domain was discussed to extract the relatively large im- pulse response at the band's effective range.The L estimation algorithm was used in the recovery process of DOA estimation,which took full advantage of the inherent sparse characteristics of DOA under the architecture of multi-antenna spectrum sensing.As for the unavoidable noise problem in the testing environment,the mean square error of DOA estimation was also analyzed for different noise distributions.Simulation results show that the computational complexity of the LDOA estimation algorithm in the frequency domain is low and the accuracy is high.Besides,the proposed method is not sensitive to noise and has high robustness. KEY WORDS direction of arrival:parameter estimation:antenna arrays:frequency spectrum:compressed sensing 过去的数年中，DOA估计方法已经被广泛应用于 然方法(maximum likelihood)、旋转不变的信号参数变 各个领域，例如雷达、海域交通、水声追踪以及无线通 化方法(estimation of signal parameters via rotational in- 信领域，关于DOA估计的一些算法也随之应运而生， variance techniques,ESPRIT)-等.这些方法往往都 比较常见的主要有多路信号分类(multiple signal clas-- 需要知道信号数目的先验信息，但是在当今非协作通 sification,MSIC)-、最小方差无畸变响应(mini- 信的环境下，无线设备以及服务器的数目都呈现爆炸 mum variance distortionless response,MVDR)、最大似 性的增长，所以以上这些算法的实用性还有待改进. 收稿日期：2014-10-13 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61372128,61471153)：江苏省高校自然科学基金资助项目(14KJA510001)

工程科学学报，第 37 卷，第 12 期: 1658--1666，2015 年 12 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 12: 1658--1666，December 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 12． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 空间稀疏角域以及多普勒域下的 DOA 估计 刘 婷1，2，周 杰1) ，邵根富3) 1) 南京信息工程大学电子与信息工程学院，南京 210044 2) 东南大学移动通信国家重点实验室，南京 210096 3) 浙江杭州电子科技大学，杭州 310018  通信作者，E-mail: liutingpn@ 163． com 摘 要 提出可在稀疏角域以及多普勒域下对天线阵列信号向量进行接收和分析的方法，讨论在多普勒频域范围内的 DOA 估计问题，并在有效的频带范围内提取信号冲激响应较大的值． 在稀疏 DOA 的恢复过程中采用的是 L2，0估计算法，并在多路 天线频谱感知的架构下充分利用 DOA 所固有的稀疏特性，对其进行稀疏恢复． 对于在测试环境中不可避免的噪声问题，分析 三种不同噪声分布下的 DOA 估计误差问题． 仿真结果显示频域范围内的 L2，0--DOA 估计算法具有较低的计算复杂度和较高 的准确度，并且算法对噪声不敏感，鲁棒性较高． 关键词 波达方向; 参数据估计; 天线阵列; 频谱; 压缩感知 分类号 TN911. 6 Direction-of-arrival estimation under spatial sparse angular and Doppler domains LIU Ting1，2)  ，ZHOU Jie1) ，SHAO Gen-fu3) 1) College of Electronic and Information Engineering，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China 2) National Mobile Communications Ｒesearch Laboratory，Southeast University，Nanjing 210096，China 3) Hangzhou University of Electronic Science and Technology，Hangzhou 310018，China  Corresponding author，E-mail: liutingpn@ 163． com ABSTＲACT The method of receiving the antenna array vector was proposed under the sparse angle domain and Doppler domain． The direction-of-arrival ( DOA) estimation problem in the Doppler frequency domain was discussed to extract the relatively large im￾pulse response at the band’s effective range． The L2，0 estimation algorithm was used in the recovery process of DOA estimation，which took full advantage of the inherent sparse characteristics of DOA under the architecture of multi-antenna spectrum sensing． As for the unavoidable noise problem in the testing environment，the mean square error of DOA estimation was also analyzed for different noise distributions． Simulation results show that the computational complexity of the L2，0--DOA estimation algorithm in the frequency domain is low and the accuracy is high． Besides，the proposed method is not sensitive to noise and has high robustness． KEY WOＲDS direction of arrival; parameter estimation; antenna arrays; frequency spectrum; compressed sensing 收稿日期: 2014--10--13 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61372128，61471153) ; 江苏省高校自然科学基金资助项目( 14KJA510001) 过去的数年中，DOA 估计方法已经被广泛应用于 各个领域，例如雷达、海域交通、水声追踪以及无线通 信领域，关于 DOA 估计的一些算法也随之应运而生， 比较常见的主要有多路信号分类( multiple signal clas￾sification，MUSIC) ［1--2］、最 小 方差 无 畸 变 响 应 ( mini￾mum variance distortionless response，MVDＲ) ［3］、最大似 然方法( maximum likelihood) 、旋转不变的信号参数变 化方法( estimation of signal parameters via rotational in￾variance techniques，ESPＲIT) ［4--6］等． 这些方法往往都 需要知道信号数目的先验信息，但是在当今非协作通 信的环境下，无线设备以及服务器的数目都呈现爆炸 性的增长，所以以上这些算法的实用性还有待改进．

刘婷等：空间稀疏角域以及多普勒域下的DOA估计 ·1659· 近几年，压缩感知(compressed sensing,CS)作为一项 <)次非自适应性线性测量，即可恢复出等效稀疏向 新型的研究方法和手段，通过分析接收机处获取信号 量s,可得 的内在稀疏特性，可以更好地改善信号的频谱感知性 r=x=中你=⊙小 (1) 能刀.如果将压缩感知技术应用于DOA估计中，同样 其中测量向量r∈C“,同时测量矩阵重∈CWx与稀疏 可以很好地解决空间信号距离过近、快拍数较少的问 基亚是不相干的，这样能够保证矩阵O能够满足约束 题，并且还可以缓解一些参数估计方法所导致的限制， 等容特性(restricted isometry property,RIP).因此在压 比如常见的相干信号和较大的样本支持向量机问题. 缩传感理论框架下就可以讨论如何从观测得到的低维 在压缩感知理论支撑下，对DOA的估计通常会涉 数据中精确恢复初始高维数据，即对信号进行重构 及两个问题，即空间信号谱估计以及阵列流型向量的 下面通过引入范数来描述信号的重构问题，向量s的 选取.所谓基于压缩感知的DOA估计问题，就是在波 L范数可以表示为 束域空间内，或者说在波束的频域空间范围内，到达天 线阵列的平面波信号是稀疏的，因此可以将阵列导向 (2) 矢量建模成稀疏线性组合.在空间域范围内，天线阵 当P=0时即为L,范数，表示向量s中非零元的个 列本质是稀疏的，可充分利用这一固有属性，结合压缩 数.在信号s满足稀疏条件的情况下，欠定方程式(1) 感知理论来提高算法仿真的速度和精度，并且算法对 的求解问题就可以转变成求解最小L,范数的问题，即 于噪声有较好的鲁棒性.必须注意的是在采用压缩感 s=arg min‖s‖o,s.t.r=O仍 (3) 知理论的时候，采样矩阵必须要满足等距限制准则 直接求解最小L范数非常复杂.到目前为止，学 (restricted isometry property,RlP)以此来确保估计值 者们已经提出很多次优化算法来解决.主要包括以下 的可靠性图.基于贝叶斯的压缩感知方法通过采用相 几种 关向量基可以很好地解决这个问题，而且计算复杂度 (1)贪婪算法：典型代表是匹配追踪（matching 并没有很高，目前已经使用在微波成像以及相关数组 pursuit,MP）以及正交匹配追踪(orthogonal matching 合成中. pursuit,OMP) 本文研究了在稀疏角域以及稀疏多普勒域内，多 (2)凸松弛法：直接计算非凸L,范数是比较困难 天线阵列情况下的压缩频谱感知.以往对压缩频谱感 的，一般在保证稀疏特性的前提下，可采用L,范数来 知的研究，在涉及到稀疏恢复的过程时，大多数都是在 代替L,范数进行计算，比较常见的算法是基追踪(a- 单天线的情况下进行的.为使研究更趋一般性，本文 sis pursuit,BP）I-H☒ 提出了多路测量向量(multiple measurement vector, (3)非凸优化：使用非凸测量的方式来对信号进 MMV)网下的压缩频谱感知，利用接收信号的角度稀 行恢复，主要是通过L,(p≤1)范数来实现的，具体算 疏特性对DOA进行联合稀疏估计.虽然有学者对空 Focuss (focal underdetermined system solver) 间稀疏性已经提出很多行之有效的方法，但是在频率 (4)迭代阈值算法：例如迭代硬阈值(iterative 稀疏性方面，还存在着很大的研究空白.在采样环节 hard thresholding,IHT) 考虑频率的稀疏性，从而能有效减轻整个通信系统的 不失一般性，分析在有噪环境下的测试情况，于是 负担.同时结合多普勒频移，对多路天线阵下的DOA 可将式(3)变成以下形式： 进行了估计.仿真结果显示DOA估计的性能有很大 s=arg min s‖o,s.t.‖r-仍l3≤&.(4) 的改进. 其中ε为容许误差的阈值，即所能允许的误差最大值. 针对不同信号源数目下的DOA稀疏估计，主要分 通常可采用拉格朗日增广形式的方法将式(4)变为 析了单信号源和多信号源这两种情况.其中单信号源 arg min‖r-sl3+uslo (5) 保证实时通信下的稀疏DOA估计；与之不同的是，多 式中，正则化系数μ保证了真实值估计值的拟合质量 信号源在无需知道信号先验信息以及冲激信号强度的 与稀疏解之间的有效平衡 情况下，在最大程度上能够保证稀疏DOA估计结果的 同样在噪声环境下也衍生一系列的算法，比较常 高分辨率 见的主要有正则化OMP(regularized OMP, ROMP)的、正则化Focuss(regularized Focuss,RFo- 压缩感知理论 cuss)na、Lasso算法7等. 假定存在K稀疏的离散时间信号样本x∈C,并 2 DOA估计问题 且信号x在基平∈CxN下存在稀疏度也为K(KgN) 的信号s∈C,满足x=.通过利用压缩感知理论就 首先考虑存在L个电磁平面波，其理论式可为 可以很好地解决信号x的稀疏重构问题，即通过M(M W,(r）=W,eip4+am], (6)

刘 婷等: 空间稀疏角域以及多普勒域下的 DOA 估计 近几年，压缩感知( compressed sensing，CS) 作为一项 新型的研究方法和手段，通过分析接收机处获取信号 的内在稀疏特性，可以更好地改善信号的频谱感知性 能［7］． 如果将压缩感知技术应用于 DOA 估计中，同样 可以很好地解决空间信号距离过近、快拍数较少的问 题，并且还可以缓解一些参数估计方法所导致的限制， 比如常见的相干信号和较大的样本支持向量机问题． 在压缩感知理论支撑下，对 DOA 的估计通常会涉 及两个问题，即空间信号谱估计以及阵列流型向量的 选取． 所谓基于压缩感知的 DOA 估计问题，就是在波 束域空间内，或者说在波束的频域空间范围内，到达天 线阵列的平面波信号是稀疏的，因此可以将阵列导向 矢量建模成稀疏线性组合． 在空间域范围内，天线阵 列本质是稀疏的，可充分利用这一固有属性，结合压缩 感知理论来提高算法仿真的速度和精度，并且算法对 于噪声有较好的鲁棒性． 必须注意的是在采用压缩感 知理论的时候，采样矩阵必须要满足等距限制准则 ( restricted isometry property，ＲIP) 以此来确保估计值 的可靠性［8］． 基于贝叶斯的压缩感知方法通过采用相 关向量基可以很好地解决这个问题，而且计算复杂度 并没有很高，目前已经使用在微波成像以及相关数组 合成中． 本文研究了在稀疏角域以及稀疏多普勒域内，多 天线阵列情况下的压缩频谱感知． 以往对压缩频谱感 知的研究，在涉及到稀疏恢复的过程时，大多数都是在 单天线的情况下进行的． 为使研究更趋一般性，本文 提出 了 多 路 测 量 向 量 ( multiple measurement vector， MMV) ［9］下的压缩频谱感知，利用接收信号的角度稀 疏特性对 DOA 进行联合稀疏估计． 虽然有学者对空 间稀疏性已经提出很多行之有效的方法，但是在频率 稀疏性方面，还存在着很大的研究空白． 在采样环节 考虑频率的稀疏性，从而能有效减轻整个通信系统的 负担． 同时结合多普勒频移，对多路天线阵下的 DOA 进行了估计． 仿真结果显示 DOA 估计的性能有很大 的改进． 针对不同信号源数目下的 DOA 稀疏估计，主要分 析了单信号源和多信号源这两种情况． 其中单信号源 保证实时通信下的稀疏 DOA 估计; 与之不同的是，多 信号源在无需知道信号先验信息以及冲激信号强度的 情况下，在最大程度上能够保证稀疏 DOA 估计结果的 高分辨率． 1 压缩感知理论 假定存在 K-稀疏的离散时间信号样本 x∈CN ，并 且信号 x 在基 Ψ∈CN × N 下存在稀疏度也为 K( KN) 的信号 s∈CN ，满足 x = Ψs． 通过利用压缩感知理论就 可以很好地解决信号 x 的稀疏重构问题，即通过 M( M ＜ N) 次非自适应性线性测量，即可恢复出等效稀疏向 量 s，可得 r = Φx = ΦΨs = Θs． ( 1) 其中测量向量 r∈CM，同时测量矩阵 Φ∈CM × N 与稀疏 基 Ψ 是不相干的，这样能够保证矩阵 Θ 能够满足约束 等容特性( restricted isometry property，ＲIP) ． 因此在压 缩传感理论框架下就可以讨论如何从观测得到的低维 数据中精确恢复初始高维数据，即对信号进行重构． 下面通过引入范数来描述信号的重构问题，向量 s 的 Lp范数可以表示为 ‖s‖p [ = ∑ N i = 1 | si | ] p 1 p ． ( 2) 当 p = 0 时即为 L0范数，表示向量 s 中非零元的个 数． 在信号 s 满足稀疏条件的情况下，欠定方程式( 1) 的求解问题就可以转变成求解最小 L0范数的问题，即 ^ s = arg min ‖s‖0，s． t． r = Θs． ( 3) 直接求解最小 L0范数非常复杂． 到目前为止，学 者们已经提出很多次优化算法来解决． 主要包括以下 几种． ( 1) 贪婪算法: 典型代表是匹配追踪( matching pursuit，MP) 以 及 正 交 匹 配 追 踪( orthogonal matching pursuit，OMP) ［10］． ( 2) 凸松弛法: 直接计算非凸 L0范数是比较困难 的，一般在保证稀疏特性的前提下，可采用 L1 范数来 代替 L0范数进行计算，比较常见的算法是基追踪( ba￾sis pursuit，BP) ［11--12］． ( 3) 非凸优化: 使用非凸测量的方式来对信号进 行恢复，主要是通过 Lp ( p≤1) 范数来实现的，具体算 法为 Focuss ( focal underdetermined system solver) ［13］． ( 4) 迭 代 阈值 算 法: 例如迭代硬阈值 ( iterative hard thresholding，IHT) ［14］． 不失一般性，分析在有噪环境下的测试情况，于是 可将式( 3) 变成以下形式: ^ s = arg min ‖s‖0，s． t． ‖r － Θs‖2 2≤ε． ( 4) 其中 ε 为容许误差的阈值，即所能允许的误差最大值． 通常可采用拉格朗日增广形式的方法将式( 4) 变为 arg min ‖r － Θs‖2 2 + μ ‖s‖0 ． ( 5) 式中，正则化系数 μ 保证了真实值估计值的拟合质量 与稀疏解之间的有效平衡． 同样在噪声环境下也衍生一系列的算法，比较常 见的主要有正则化 OMP ( regularized OMP， ＲOMP) ［15］、正 则 化 Focuss ( regularized Focuss，Ｒ-Fo￾cuss) ［16］、Lasso 算法［17］等． 2 DOA 估计问题 首先考虑存在 L 个电磁平面波，其理论式可为 Wl ( r) = Wle ［jβ( xsin θl + zcos θl ) ］y ． ( 6) · 9561 ·

·1660 工程科学学报，第37卷，第12期 其中，l=1,2,…,L,代表的是未知信号方向0，的个数. a(θ，）=[ea,eam,…,eaim]T∈Cwx1.(9) 在此假设如图1所示对线型天线阵列进行分析和 在压缩感知理论的架构下，如果L维信号向量s 探讨. 中只包含有K个非零输入值，即只有K行是非零的， 且满足LMK.至此可以认为r是测量值，A(0)是 感知矩阵，而s就是需要恢复出来的信号向量值.可 以得出，理论上所谓的DOA稀疏估计，就是通过相关 算法恢复出s的非零行所在的位置信息 3多普勒域和角域下的压缩频谱感知理论 通过以上分析可以发现在压缩感知的理论架构 下，对稀疏DOA估计可采用相关算法求解欠定方程式 (8)的最优或者次优稀疏解.在时间域内，通常称这种 稀疏估计为联合稀疏恢复.然而很多方法并没有就频 图1线型自适应天线阵列 域的稀疏性进行分析，因此在此重点讨论稀疏多普勒 Fig.1 Linear adaptive antenna array 域分析方法，对DOA的估计性能进行深入分析. 3.1傅里叶变换 在图1中，M代表的是天线阵元数，在坐标x轴上 首先将式(8)进行傅里叶变换，从而得到其对应 呈均匀分布，并且彼此之间的间距为山.假定信号是具 的频域表示如下： 有相同频率的窄带信号，所以当来波信号到达天线阵 r=As +ng (10) 列后可得网 式中，”：是对信号的相关列向量进行傅里叶变换所 (7) 得，同理s,和n也是傅里叶变换后的频域表达方式 其中m=1,2,,M,x.=（m-M)d,代表的是x 如果认为s中包含的非零列信号是窄带信号，那么在 2 进行傅里叶变换后，5，所对应的矩阵列向量相同位置 轴上具体的各天线阵元位置：B=西，其中入是自由空 上的信号也是非零的，即S,也为稀疏信号.进而可推 得只包含有K个非零列向量的"：也是稀疏的.为便于 间的波长∫是天线阵元的有效长度；n.是第m个天线 理解，图2表示式(10)在无噪声情况下的矩阵表现 上均值为零的加性高斯噪声样本.所以式(7)可以 形式 写成 在实际的DOA估计过程中，由于试验设施以及环 r=A(0)s+n. (8) 境等的限制使得快拍数是有限的，所以通常会引起信 其中r=,2,…,rw]T∈Cx.0=[a,6,…,0],A 号在时域发生截断.在对应到频域里，将导致频谱展 (0)=a(0,),a(62),…,a(0,)]是M×L维的阵列流 宽.接收端接收到的信号T,除了K个较大的非零信 型矢量.另外式中s=[W,W2,…,W]TeC1,n= 号值外，仍会存在其他一些非零值.。由于它们都十分 n,n2,…,n]TeCx.如果将其阵列流型矢量展 接近于零值，所以一般可忽略不计或被认为是零信号. 开，可表示为 然而在频谱展宽的情况下，3：中将会存在非零信号值 感知矩阵A M×L MxO 图2式(10)的矩阵描述图 Fig.2 Matrix description graph of Eq.(10)

工程科学学报，第 37 卷，第 12 期 其中，l = 1，2，…，L，代表的是未知信号方向 θl 的个数． 在此假设 如 图 1 所示对线型天线阵列进行分析和 探讨． 图 1 线型自适应天线阵列 Fig． 1 Linear adaptive antenna array 在图 1 中，M 代表的是天线阵元数，在坐标 x 轴上 呈均匀分布，并且彼此之间的间距为 d． 假定信号是具 有相同频率的窄带信号，所以当来波信号到达天线阵 列后可得［18］ rm = ∑ L l = 1 Wly·fejβxmsinθl + nm ． ( 7) 其中 m = 1，2，…，M，xm ( = m － M + 1 ) 2 d，代表的是 x 图 2 式( 10) 的矩阵描述图 Fig． 2 Matrix description graph of Eq． ( 10) 轴上具体的各天线阵元位置; β = 2π λ ，其中 λ 是自由空 间的波长; f 是天线阵元的有效长度; nm 是第 m 个天线 上均值为零的加性高斯噪声样本． 所以式( 7) 可以 写成 r = A( θ) s + n． ( 8) 其中 r =［r1，r2，…，rM］T ∈CM × 1 ． θ =［θ1，θ2，…，θL］，A ( θ) =［a( θ1 ) ，a( θ2 ) ，…，a( θL) ］是 M × L 维的阵列流 型矢量． 另外式中 s = ［W1，W2，…，WL ］T ∈CL × 1，n = ［n1，n2，…，nM］T ∈CM × 1 ． 如果将其阵列流型矢量展 开，可表示为 a( θl ) =［ejβx1sin θl ，ejβx2sin θl ，…，ejβxmsin θl ］T ∈CM × 1 ． ( 9) 在压缩感知理论的架构下，如果 L 维信号向量 s 中只包含有 K 个非零输入值，即只有 K 行是非零的， 且满足 LMK． 至此可以认为 r 是测量值，A( θ) 是 感知矩阵，而 s 就是需要恢复出来的信号向量值． 可 以得出，理论上所谓的 DOA 稀疏估计，就是通过相关 算法恢复出 s 的非零行所在的位置信息． 3 多普勒域和角域下的压缩频谱感知理论 通过以上分析可以发现在压缩感知的理论架构 下，对稀疏 DOA 估计可采用相关算法求解欠定方程式 ( 8) 的最优或者次优稀疏解． 在时间域内，通常称这种 稀疏估计为联合稀疏恢复． 然而很多方法并没有就频 域的稀疏性进行分析，因此在此重点讨论稀疏多普勒 域分析方法，对 DOA 的估计性能进行深入分析． 3. 1 傅里叶变换 首先将式( 8) 进行傅里叶变换，从而得到其对应 的频域表示如下: rf = Asf + nf ． ( 10) 式中，rf 是对信号 r 的相关列向量进行傅里叶变换所 得，同理 sf 和 nf 也是傅里叶变换后的频域表达方式． 如果认为 s 中包含的非零列信号是窄带信号，那么在 进行傅里叶变换后，sf 所对应的矩阵列向量相同位置 上的信号也是非零的，即 sf 也为稀疏信号． 进而可推 得只包含有 K 个非零列向量的 rf 也是稀疏的． 为便于 理解，图 2 表示式( 10) 在无噪声情况下的矩阵表现 形式． 在实际的 DOA 估计过程中，由于试验设施以及环 境等的限制使得快拍数是有限的，所以通常会引起信 号在时域发生截断． 在对应到频域里，将导致频谱展 宽． 接收端接收到的信号 rf，除了 K 个较大的非零信 号值外，仍会存在其他一些非零值． 由于它们都十分 接近于零值，所以一般可忽略不计或被认为是零信号． 然而在频谱展宽的情况下，sf 中将会存在非零信号值 · 0661 ·

刘婷等：空间稀疏角域以及多普勒域下的DOA估计 1661 的聚类情况，进而导致在·，中可能会检测到超过K个 3.4稀疏信号的恢复 的非零信号值.所以在信号检测和提取的过程中，就 目前关于DOA联合稀疏问题，已经出现一系列的 需要设定一个信噪比阈值，从而剔除K个非零信号冲 算法但是各有利弊，且适用于不同的实验仿真环境 激响应以外的干扰信号值 本文采用的是混合L,与L。范数相结合方法，即称为 3.2稀疏信号的检测 L2。D0A估计算法阿.此算法不需要预先知道信源 设K个非零信号向量的能量可表示为 数目，并且当信噪比较低的时候，估计效果依然比较 o=[o,o,…,o…]T∈R (11) 好.算法的本质就是在时间域对信号进行L,范式的融 那么这K个非零信号就可以按照以下方式来定义： 合以后，再通过Gaussian函数对其进行拟合，最后结合 「o3k,0=0: L范数，得出算法的最终求解结果 5.=0其他 (12) 假定从天线阵上观测到来自远场的K个窄带信 式(12)中向量：代表的是信号5：中每一行的未知参 号，其中K<M,M为阵列天线中的阵元个数.由于来 数所对应的确定性功率值或者能量值.由于信号向量 波5在空间角度域是稀疏的，所以接收机处的信号为 5,所具有的固有稀疏性质，所以就可以将上式表示的 T,=A,+n,l=1,2,…,T (14) 频谱感知问题进一步演变成 式中，T为快拍数，s,为不同快拍数下的稀疏向量，n,为 不同快拍数下的噪声向量.在实际测试的过程中，假 「Y=0,零元素： (13) 定DOA的角度是不随着时间的变化而变化的，并且所 Y,:≠0，非零元素 有的信号源在来波方向所对应的非零位置上是保持一 根据以上分析可以得到DOA的估计进程如下： 致的，即信号3中只有K行元素是不为零的，那么就可 (1)令L=k=1. 称s是联合K稀疏的.因此式(14)的问题就可以看作 (2）当5n≠0，并且02=9时，L=L+1. 是通过搜寻"的联合稀疏来表示信号s的多测量矢量 (3)若k<K,那么k=k+1,同时返回至步骤(2) (multiple measurement vectors,MMV)问题.t如果在没 进行计算：否则，就退出DOA的整个计算过程. 有噪声的情况下，要想使得多测量矢量只存在唯一解， 在DOA的实际估计过程中需要注意，当在Y。所 就必须要满足rank(r)≤M.如果对应到式(14)上，也 对应的条件下时，由于估计参数取值的不确定性，就很 即需要满足K≤[(M+R)2]-1. 有可能会导致信号的稀疏度估计值飞>0，这些错误的 在DOA的估计上，若T>M和rank(s)=K,那么 估计值将会一同混在正确的检测结果中而造成误差混 当K≤M-1时就可以通过构造一个联合稀疏框架来 淆.该误差与上文中所提及的L,范数中p值的选择有 对DOA进行估计.其多测量矢量问题的目标函数为 很大的关系，于是本文采用的是混合L,与L,范数相结 min‖sIg,:={s∈Rx0:r=As}. (15) 合方法，在保证误差概率较低的情况下，可以将其应用 其中IsI定义为 于实际的DOA估计中. 3.3稀疏信号的提取 (16) 以往的传统方法一般都是直接采用相关算法来恢 当p=2,g=0时式(16)可写为 复出稀疏信号S。·本文将采用一种新颖的方法.首先 lls ll 2.=lim l s2.l (17) 提取接收信号"，的块状行信号，然后从每个行块中恢 在此可称这种算法叫做联合L2。范数逼近算法. 复出需要的稀疏信号，而每个行块中恢复出的非零信 另外，可定义 号即所需要的DOA估计值. 为保证估计值的准确性和高效性，需要确定信噪 川sI2o= A016:]1小. (18) 比的阈值来保证信号丢失和频率误差之间的有效平 其中 衡.在阈值较大的情况下，有较大冲激响应值的信号 I(a)= 1,la>01: (19) 可能会被丢弃，但是两个相邻行块信号之间产生的多 10,其他. 普勒效应反而会有所降低，甚至可以忽略.当阈值较 因此可得 小时，多普勒效应将会变得比较严重，而且十分难以消 F(s)= ∑fn(Is5:]lz）=limn-‖s‖2，o 除，而使得信号的频率难以辨别，可是有用信号的冲激 响应却得到较好的保证.倘若来自不同方向的信号幅 (20) 度大体上是类似的，那么就需要给定一个固定不变的 在有噪声的情况下可以得到 信噪比，如果这些信号幅度彼此之间的差异很大，那么 「s,(o）=argmax,L(s), (21) 确定一个自适应的信噪比值就会变得非常重要. L (s)=F(s)-u lr-As

刘 婷等: 空间稀疏角域以及多普勒域下的 DOA 估计 的聚类情况，进而导致在 rf 中可能会检测到超过 K 个 的非零信号值． 所以在信号检测和提取的过程中，就 需要设定一个信噪比阈值，从而剔除 K 个非零信号冲 激响应以外的干扰信号值． 3. 2 稀疏信号的检测 设 K 个非零信号向量的能量可表示为 σ =［σ2 s1 ，σ2 s2 ，…，σ2 s k ，…］T ∈ＲK + ． ( 11) 那么这 K 个非零信号就可以按照以下方式来定义: ζn = σ2 s k k，θL = θk ; {0 其他． ( 12) 式( 12) 中向量 ζ 代表的是信号 sf 中每一行的未知参 数所对应的确定性功率值或者能量值． 由于信号向量 sf 所具有的固有稀疏性质，所以就可以将上式表示的 频谱感知问题进一步演变成 Υ0 : ζ = 0，零元素; Υ1 { : ζ≠0，非零元素． ( 13) 根据以上分析可以得到 DOA 的估计进程如下: ( 1) 令 L = k = 1． ( 2) 当 ζn≠0，并且 θL = θk 时，L = L + 1． ( 3) 若 k ＜ K，那么 k = k + 1，同时返回至步骤( 2) 进行计算; 否则，就退出 DOA 的整个计算过程． 在 DOA 的实际估计过程中需要注意，当在 Υ0 所 对应的条件下时，由于估计参数取值的不确定性，就很 有可能会导致信号的稀疏度估计值 ^ K ＞ 0，这些错误的 估计值将会一同混在正确的检测结果中而造成误差混 淆． 该误差与上文中所提及的 Lp范数中 p 值的选择有 很大的关系，于是本文采用的是混合 L2与 L0范数相结 合方法，在保证误差概率较低的情况下，可以将其应用 于实际的 DOA 估计中． 3. 3 稀疏信号的提取 以往的传统方法一般都是直接采用相关算法来恢 复出稀疏信号 sf ． 本文将采用一种新颖的方法． 首先 提取接收信号 rf 的块状行信号，然后从每个行块中恢 复出需要的稀疏信号，而每个行块中恢复出的非零信 号即所需要的 DOA 估计值． 为保证估计值的准确性和高效性，需要确定信噪 比的阈值来保证信号丢失和频率误差之间的有效平 衡． 在阈值较大的情况下，有较大冲激响应值的信号 可能会被丢弃，但是两个相邻行块信号之间产生的多 普勒效应反而会有所降低，甚至可以忽略． 当阈值较 小时，多普勒效应将会变得比较严重，而且十分难以消 除，而使得信号的频率难以辨别，可是有用信号的冲激 响应却得到较好的保证． 倘若来自不同方向的信号幅 度大体上是类似的，那么就需要给定一个固定不变的 信噪比，如果这些信号幅度彼此之间的差异很大，那么 确定一个自适应的信噪比值就会变得非常重要． 3. 4 稀疏信号的恢复 目前关于 DOA 联合稀疏问题，已经出现一系列的 算法但是各有利弊，且适用于不同的实验仿真环境． 本文采用的是混合 L2 与 L0 范数相结合方法，即称为 L2，0--DOA 估计算法［19］． 此算法不需要预先知道信源 数目，并且当信噪比较低的时候，估计效果依然比较 好． 算法的本质就是在时间域对信号进行 L2范式的融 合以后，再通过 Gaussian 函数对其进行拟合，最后结合 L0范数，得出算法的最终求解结果． 假定从天线阵上观测到来自远场的 K 个窄带信 号，其中 K ＜ M，M 为阵列天线中的阵元个数． 由于来 波 s 在空间角度域是稀疏的，所以接收机处的信号为 rt = Ast + nt，t = 1，2，…，T． ( 14) 式中，T 为快拍数，st为不同快拍数下的稀疏向量，nt为 不同快拍数下的噪声向量． 在实际测试的过程中，假 定 DOA 的角度是不随着时间的变化而变化的，并且所 有的信号源在来波方向所对应的非零位置上是保持一 致的，即信号 s 中只有 K 行元素是不为零的，那么就可 称 s 是联合 K-稀疏的． 因此式( 14) 的问题就可以看作 是通过搜寻 r 的联合稀疏来表示信号 s 的多测量矢量 ( multiple measurement vectors，MMV) 问题． 如果在没 有噪声的情况下，要想使得多测量矢量只存在唯一解， 就必须要满足 rank( r) ≤M． 如果对应到式( 14) 上，也 即需要满足 K≤［( M + Ｒ) /2］－ 1． 在 DOA 的估计上，若 T ＞ M 和 rank( s) = K，那么 当 K≤M － 1 时就可以通过构造一个联合稀疏框架来 对 DOA 进行估计． 其多测量矢量问题的目标函数为 min s∈^ s ‖s‖p，q，^ s: = { s∈ＲL × Q : r = As} ． ( 15) 其中‖s‖p，q定义为 ‖s‖p，q [ = ∑ L j = ( 1 ∑ Q i = 1 |s［j，i］| ) p ] q /p 1 /q ． ( 16) 当 p = 2，q = 0 时式( 16) 可写为 ‖s‖2，0 = limq = 0‖s2，q‖． ( 17) 在此可称这种算法叫做联合 L2，0范数逼近算法． 另外，可定义 ‖s‖2，0 = ∑ n j = 1 I( ‖s［j，: ］‖2 ) ． ( 18) 其中 I( α) = 1， | α ＞ 0 | ; {0， 其他． ( 19) 因此可得 Fσ ( s) = ∑ L j = 1 fσ ( ‖s［j，: ］‖2 ) = limσ→0 n － ‖s‖2，0 ． ( 20) 在有噪声的情况下可以得到 s* ( σ) = argmaxsLσ ( s) ， Lσ ( s) : = Fσ ( s) － μ ‖r － As‖2 F { ． ( 21) · 1661 ·

·1662· 工程科学学报，第37卷，第12期 通过求解式(21)就可以对DOA进行估计.在此 信道中的峰值位置，而且不产生其他峰值干扰，这对于 为了降低算法的复杂度可以通过QR分解法，即假设r= 接收机处获取具体的信号并对其进行采样、量化、编码 RQ,其中R为一非奇异上三角矩阵，Q满足Q0=1. 等是十分重要的，可以有效提高整个系统处理有用信 在无噪声时，可得到 号的能力，节约各项成本.在随着信源数的增多，信源 row span {s}Crow span () (22) 的入射角也会随之增加，在其他试验环境不变的条件 那么‖r-As‖=‖R-A‖，其中联合行稀疏矩阵 下，增加信源入射角度的个数，具体的估计结果可见图 为3=sQ°.因此式(21)可进一步转化为 3(b).虽然信源入射角的数目明显增多，但是DOA估 计仍能取得比较好的估计效果.同时在仿真过程中可 .(o）=argmax,Fn(G-u‖r-Asl2.(23) 发现，系统计算所要运行的时间并没有随之增长，计算 在有噪声时，式(21)可能是无效的.但是矩阵s 复杂度也没有明显增高.因此本方案在实际的DOA 的行向量在矩阵Q的零空间内仅仅只是占有了很少 测试中具有非常重要的现实意义，仿真条件如表1 的分量，所以仍然可以通过式(23)来对D0A进行 所示 估计. 4.2不同算法下 4DOA估计仿真与结果分析 以往的信号接收一般只是在空间域内考虑信号的 4.1不同稀疏度下 稀疏性，本文在多普勒域考虑了稀疏信号的角度分析， 通过图3可以看出当信源入射角为10°和20°的 可以有效改善DOA估计结果的分辨率，仿真条件如 情况下，采用L2.。D0A的估计算法可以准确测得实际 表2所示 表1不同稀疏度下的DOA估计参数条件 Table 1 Parameters of DOA estimation at different sparsities 信号源 入射角/() 接收天线阵 阵元数目 阵元间距 快拍数 2个远场窄带信号 10,20 均匀线阵 8 半波长 100 6个远场窄带信号 -60,-30,-10,10,30,60 均匀线阵 8 半波长 100 3.0r 2.5m (a) 2.5 2.0 2.0 a1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 900-80-6040-20020406080100 900-80-60-40-20020406080100 D0A/) DOA) 图3不同信源数的D0A稀疏功率谱图.(a)2:(b)6 Fig.3 Sparse power spectra with different source numbers:(a)2:(b)6 表2不同算法下的DOA估计参数条件 在非信号位置处还存在着一定数量的伪波峰干扰，使 Table 2 Parameters of DOA estimation based on different algorithms 得测量结果误差较大，为后续信号的处理与分析带来 信号源 入射角/() 接收天线阵 负担. 4个远场窄带信号 60,80,90,100 均匀线阵 4.3宽带信号下 在宽带信号下的DOA估计中，通常会在接收机处 通过图4可以看到，在多普勒域空间内，本文所采 设定一组带通滤波器组.其理论式为 用的算法可以很准确地辨识出位于60°、80°、90以及 100位置的信号，并且D0A估计结果精确，同时在其 H()=(1-6)e z-beit (24) 他方位角处，也不存在杂波干扰.相比之下，Cpon算 根据式(24)可以看出，H。是一个以模拟频率w 法以及MUSIC算法的DOA估计结果不够精确，而且 为数字中心频率的窄带滤波器.滤波器的带宽与b(0

工程科学学报，第 37 卷，第 12 期 通过求解式( 21) 就可以对 DOA 进行估计． 在此 为了降低算法的复杂度可以通过 QＲ 分解法，即假设 r = ＲQ，其中 Ｒ 为一非奇异上三角矩阵，Q 满足 QQ* = I． 在无噪声时，可得到 row span{ s} row span{ Q} ， ( 22) 那么‖r － As‖2 F = ‖Ｒ － A s槇‖2 F，其中联合行稀疏矩阵 为 s 槇 = sQ* ． 因此式( 21) 可进一步转化为 s 槇* ( σ) = argmax 槇sFσ ( s 槇) － μ ‖r － A s槇‖2 F ． ( 23) 在有噪声时，式( 21) 可能是无效的． 但是矩阵 s 的行向量在矩阵 Q 的零空间内仅仅只是占有了很少 的分量，所 以 仍 然 可 以 通 过 式( 23 ) 来 对 DOA 进 行 估计． 4 DOA 估计仿真与结果分析 4. 1 不同稀疏度下 通过图 3 可以看出当信源入射角为 10°和 20°的 情况下，采用 L2，0--DOA 的估计算法可以准确测得实际 信道中的峰值位置，而且不产生其他峰值干扰，这对于 接收机处获取具体的信号并对其进行采样、量化、编码 等是十分重要的，可以有效提高整个系统处理有用信 号的能力，节约各项成本． 在随着信源数的增多，信源 的入射角也会随之增加，在其他试验环境不变的条件 下，增加信源入射角度的个数，具体的估计结果可见图 3( b) ． 虽然信源入射角的数目明显增多，但是 DOA 估 计仍能取得比较好的估计效果． 同时在仿真过程中可 发现，系统计算所要运行的时间并没有随之增长，计算 复杂度也没有明显增高． 因此本方案在实际的 DOA 测试中 具 有 非 常 重 要 的 现 实 意 义，仿 真 条 件 如 表 1 所示． 4. 2 不同算法下 以往的信号接收一般只是在空间域内考虑信号的 稀疏性，本文在多普勒域考虑了稀疏信号的角度分析， 可以有效改善 DOA 估计结果的分辨率，仿真条件如 表 2 所示． 表 1 不同稀疏度下的 DOA 估计参数条件 Table 1 Parameters of DOA estimation at different sparsities 信号源 入射角/( °) 接收天线阵 阵元数目 阵元间距 快拍数 2 个远场窄带信号 10，20 均匀线阵 8 半波长 100 6 个远场窄带信号 － 60，－ 30，－ 10，10，30，60 均匀线阵 8 半波长 100 图 3 不同信源数的 DOA 稀疏功率谱图． ( a) 2; ( b) 6 Fig． 3 Sparse power spectra with different source numbers: ( a) 2; ( b) 6 表 2 不同算法下的 DOA 估计参数条件 Table 2 Parameters of DOA estimation based on different algorithms 信号源 入射角/( °) 接收天线阵 4 个远场窄带信号 60，80，90，100 均匀线阵 通过图 4 可以看到，在多普勒域空间内，本文所采 用的算法可以很准确地辨识出位于 60 "、80 "、90 "以及 100 "位置的信号，并且 DOA 估计结果精确，同时在其 他方位角处，也不存在杂波干扰． 相比之下，Capon 算 法以及 MUSIC 算法的 DOA 估计结果不够精确，而且 在非信号位置处还存在着一定数量的伪波峰干扰，使 得测量结果误差较大，为后续信号的处理与分析带来 负担． 4. 3 宽带信号下 在宽带信号下的 DOA 估计中，通常会在接收机处 设定一组带通滤波器组． 其理论式为 Hw ( z) = ( 1 － b) ejw z － bejw ． ( 24) 根据式( 24) 可以看出，Hw 是一个以模拟频率 w 为数字中心频率的窄带滤波器． 滤波器的带宽与 b( 0 · 2661 ·