工程科学学报，第37卷，第7期：839843,2015年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.7:839-843,July 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.07.003:http://journals.ustb.edu.cn 考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优 化设计 杨 凯2》，吴顺川)四，吴庆良”，高永涛”，王运庆》 1)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000832)中电建路桥集团有限公司，北京100048 ☒通信作者，E-mail:wushunchuan(@usth.cdu.cm 摘要首先考虑围岩松动圈支护体的影响，在完全接触条件下，根据弹塑性力学理论，推导出深埋圆形隧道每层衬砌切向 应力和径向应力分量的解析解：然后根据混凝土和围岩材料受力状态的不同，选用不同的破坏准则，引入功能梯度材料思想， 构建了不同弹性模量双层混凝土圆形衬砌优化设计的目标函数，即当目标函数为最小值时，I、Ⅱ和Ⅲ层结构同时接近或达 到预设破坏状态，在设计上才最为合理：最后对衬砌材料的弹性模量和衬砌厚度分别进行了优化设计.算例分析表明：(1)随 着围岩应力的增大，E,/E,和E,/E,都减小.在相同大小的围岩应力作用下，总有E,/E,<E,/E,,故而建议设计时I层衬砌 的弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹性模量.(2)随着围岩应力的增大，I层衬砌的厚度增大.在相同大小的围岩应力 作用下，当E2/E1>E2/E,时所求得的I层衬砌最优厚度总是小于E,/E,<E2/E3时所求得的I层衬砌厚度，故而可通过改变 I层衬砌和围岩松动圈支护体的弹性模量相对大小来调整I、Ⅱ层衬砌的厚度. 关键词隧道：支护体：村砌：弹性模量：厚度：优化设计 分类号TU312 Lining support optimization design of a deep-buried tunnel in consideration of the broken rock zone support YANG Kai,WU Shun-chuan,WU Qing-liang",GAO Yong-tao,WANG Yun-qing? 1)School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)PowerChina Road Bridge Group Co.,Ltd.,Beijing 100048,China Corresponding author,E-mail:wushunchuan@ustb.edu.cn ABSTRACT Considering the broken rock zone support,tangential and radial stress component analytical solutions of each layer in full contact conditions are deduced in a deep circular tunnel based on the elastoplastic theory.Then an optimization objective function of circular concrete lining layers with different elastic moduli is constructed by choosing different failure criteria and different stress states of concrete and rock materials and by introducing the idea of functionally graded materials,that is,when the objective function is minimum,the most reasonable design is that the I,II and IlI layer structures destroy at the same time.Finally,the elastic modu- lus and thickness of the lining is designed separately.The analysis of examples shows the following.(1)With the increase of sur- rounding rock stress,E2/E and E2/E:both decrease.Under the same stress,there is always E2/E<E,/E3,therefore it is suggested that the elastic modulus of the I layer should be greater than the broken rock zone supporting's.(2)With the increase of surrounding rock stress,the thickness of the I layer increases.Under the same stress,when E2/E >E,/E,the thickness of the I layer is al- ways less than that obtained when E2/E<E2/E:,therefore the thicknesses of the I and II layers can be adjusted by changing the e- lastic moduli of the I layer and the broken rock zone support. KEY WORDS tunnels:supports:lining:elastic modulus:thickness:optimization design 收稿日期：201403-18 基金项目：科技北京百名领军人才培养工程(Z151100000315014):国家自然科学基金资助项目(51074014,51174014)
工程科学学报，第 37 卷，第 7 期: 839--843，2015 年 7 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 7: 839--843，July 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 07． 003; http: / /journals． ustb． edu． cn 考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优 化设计 杨 凯1，2) ，吴顺川1) ，吴庆良1) ，高永涛1) ，王运庆2) 1) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 2) 中电建路桥集团有限公司，北京 100048 通信作者，E-mail: wushunchuan@ ustb． edu． cn 摘 要 首先考虑围岩松动圈支护体的影响，在完全接触条件下，根据弹塑性力学理论，推导出深埋圆形隧道每层衬砌切向 应力和径向应力分量的解析解; 然后根据混凝土和围岩材料受力状态的不同，选用不同的破坏准则，引入功能梯度材料思想， 构建了不同弹性模量双层混凝土圆形衬砌优化设计的目标函数，即当目标函数为最小值时，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层结构同时接近或达 到预设破坏状态，在设计上才最为合理; 最后对衬砌材料的弹性模量和衬砌厚度分别进行了优化设计． 算例分析表明: ( 1) 随 着围岩应力的增大，E2 /E1 和 E2 /E3 都减小． 在相同大小的围岩应力作用下，总有 E2 /E1 ＜ E2 /E3，故而建议设计时Ⅰ层衬砌 的弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹性模量． ( 2) 随着围岩应力的增大，Ⅰ层衬砌的厚度增大． 在相同大小的围岩应力 作用下，当 E2 /E1 ＞ E2 /E3 时所求得的Ⅰ层衬砌最优厚度总是小于 E2 /E1 ＜ E2 /E3 时所求得的Ⅰ层衬砌厚度，故而可通过改变 Ⅰ层衬砌和围岩松动圈支护体的弹性模量相对大小来调整Ⅰ、Ⅱ层衬砌的厚度． 关键词 隧道; 支护体; 衬砌; 弹性模量; 厚度; 优化设计 分类号 TU312 Lining support optimization design of a deep-buried tunnel in consideration of the broken rock zone support 收稿日期: 2014--03--18 基金项目: 科技北京百名领军人才培养工程( Z151100000315014) ; 国家自然科学基金资助项目( 51074014，51174014) YANG Kai1，2) ，WU Shun-chuan1) ，WU Qing-liang1) ，GAO Yong-tao1) ，WANG Yun-qing2) 1) School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) PowerChina Ｒoad Bridge Group Co． ，Ltd． ，Beijing 100048，China Corresponding author，E-mail: wushunchuan@ ustb． edu． cn ABSTＲACT Considering the broken rock zone support，tangential and radial stress component analytical solutions of each layer in full contact conditions are deduced in a deep circular tunnel based on the elastoplastic theory． Then an optimization objective function of circular concrete lining layers with different elastic moduli is constructed by choosing different failure criteria and different stress states of concrete and rock materials and by introducing the idea of functionally graded materials，that is，when the objective function is minimum，the most reasonable design is that the Ⅰ，Ⅱ and Ⅲ layer structures destroy at the same time． Finally，the elastic modulus and thickness of the lining is designed separately． The analysis of examples shows the following． ( 1) With the increase of surrounding rock stress，E2 /E1 and E2 /E3 both decrease． Under the same stress，there is always E2 /E1 ＜ E2 /E3，therefore it is suggested that the elastic modulus of the Ⅰ layer should be greater than the broken rock zone supporting's． ( 2) With the increase of surrounding rock stress，the thickness of the Ⅰ layer increases． Under the same stress，when E2 /E1 ＞ E2 /E3，the thickness of the Ⅰ layer is always less than that obtained when E2 /E1 ＜ E2 /E3，therefore the thicknesses of the Ⅰ and Ⅱ layers can be adjusted by changing the elastic moduli of the Ⅰ layer and the broken rock zone support． KEY WOＲDS tunnels; supports; lining; elastic modulus; thickness; optimization design
·840 工程科学学报，第37卷，第7期 隧道是广泛应用于矿山、交通、水电及军事工程领 域的重要地下结构.为了保证隧道的安全使用，常在 隧道内设置混凝土衬砌支护.20世纪80年代以后，在 我国隧道工程中，以喷射混凝土为初期支护，然后再施 作模筑混凝土衬砌的“复合式衬砌”作为一种主要的 支护形式被广泛使用习.此后随着隧道施工技术的 不断进步以及设计理念的日益更新，单层衬砌施工技 术逐渐被提上日程，并在昆石高速公路的小团山 隧道、渝宜高速公路的摩天岭隧道的、重庆市省道 S103线的关长山隧道m等工程中成功应用. 一般来说，复合衬砌中的锚喷初期支护为主要承 载结构，二次衬砌作为安全储备，虽然在设计上最有利 于体现新奥法的原理，但并未充分利用二次衬砌的强 图1松动圈支护体和隧道村砌共同承受围岩应力P的作用 度，故在经济上是不合理的.单层衬砌通过各混凝土 Fig.1 Both broken rock zone supporting body and tunnel lining to bear the surrounding rock stress P 层间径向和纵向上的抗滑移性，使得各混凝土层形成 共同承载体系.在相同荷载条件下，单层衬砌比同样 厚度的复合式衬砌产生的内力要小，一定程度上已经 在完全接触条件下，根据弹塑性力学理论四，考 是一种优化.然而在高地应力状态下，为了保证隧道 虑衬砌内边界(p=R)和松动圈围岩外边界(p=R,) 衬砌处于正常工作状态，传统做法是增加衬砌厚度或 上的应力边界条件，以及I和Ⅱ层接触面(p=R)、Ⅱ 提高混凝土标号，但对于由同一种材料组成的结构，当 和Ⅲ层接触面(p=R2)的径向应力和位移连续条件， 衬砌已经较厚或者已采用高强混凝土时，传统做法不 可得每层的应力分量如下 会明显改善其应力状态，即不能明显减小衬砌内缘的 第I层： 应力集中-@，远离衬砌内边缘的材料仍然没有得到 RRP 1 RP =R-尼市+e-尼 2+ (1) 充分的利用. 此外，在很多隧道或井巷工程中，衬砌设计虽然会 RoR'P 1 RiP 01= R-尼D+R-R (2) 考虑到围岩松动圈支护体的影响，甚至在部分工程中 运用松动圈支护理论对衬砌支护进行修正设计，将隧 第Ⅱ层： 道支护设计向准定量水平推进了一步，提高了设计的 RR2 (P-P2)1 R2P2-RiP 02= (3) 准确性，但目前大多数研究和设计都从工程经验出发， R店-RP+店-R 缺乏理论上的进一步探讨. RR(P -P)1 RP:-RP 0= (4) 本文考虑围岩松动圈支护体的影响，推导出深埋 -R R-R: 圆形隧道衬砌应力解析解，引入功能梯度材料思想，讨 第Ⅲ层： 论了不同弹性模量双层混凝土圆形衬砌的优化设计， RR (P2 -P)1 RiP-RP2 03= -+ (5) 相关研究方法和结论希望能为类似工程的衬砌优化设 R-RPR-R 计提供一定的借鉴和参考 R(P -P)1 RP-RP p+-店 (6) R-R 1考虑松动圈支护体影响的衬砌应力分析 其中， 深埋条件下可近似认为岩体各项同性，围岩应力 P=4ARRP/(A A2-4RR), (7) 为各向等压的均布压力，所讨论问题可视为轴对称无 P2=24RPA,/(AA2-4RR), (8) 限域平面应变问题.如图1所示，Ⅲ层为围岩松动圈 A=(1+△1-h-4△)R+R△(1+4)+R(1+h), 支护体，对于复合式衬砌，I、Ⅱ层分别为二衬和初衬， (9) 对于单层衬砌，I和Ⅱ层分别为内、外混凝土层.I、 A2=(1+4-h-44,)E+42(1+)+R(1+4,), Ⅱ和Ⅲ层从内到外半径依次为R。、R,、R和R,弹性模 (10) 量依次为E,、E,和E,泊松比依次为442和43，假设 A,=E2(R-R)/E,(R-R)], (11) 松动圈和衬砌支护作业规范，时机恰到好处，使得支护 △2=E2(R-R)/E(R-R]. (12) 处理后的松动圈围岩和隧道衬砌各层间都完全接触， 式中，o,和σw(i=1,2,3)分别为I、Ⅱ、Ⅲ层的径向 并且共同承受围岩应力P的作用. 应力和切向应力，P,和P,分别为I、Ⅱ层间和Ⅱ、Ⅲ层
工程科学学报，第 37 卷，第 7 期 隧道是广泛应用于矿山、交通、水电及军事工程领 域的重要地下结构． 为了保证隧道的安全使用，常在 隧道内设置混凝土衬砌支护． 20 世纪 80 年代以后，在 我国隧道工程中，以喷射混凝土为初期支护，然后再施 作模筑混凝土衬砌的“复合式衬砌”作为一种主要的 支护形式被广泛使用［1 － 2］． 此后随着隧道施工技术的 不断进步以及设计理念的日益更新，单层衬砌施工技 术逐渐被提上日程［3 － 4］，并在昆石高速公路的小团山 隧道［5］、渝宜高速公路的摩天岭隧道［6］、重庆市省道 S103 线的关长山隧道［7］等工程中成功应用． 一般来说，复合衬砌中的锚喷初期支护为主要承 载结构，二次衬砌作为安全储备，虽然在设计上最有利 于体现新奥法的原理，但并未充分利用二次衬砌的强 度，故在经济上是不合理的． 单层衬砌通过各混凝土 层间径向和纵向上的抗滑移性，使得各混凝土层形成 共同承载体系． 在相同荷载条件下，单层衬砌比同样 厚度的复合式衬砌产生的内力要小，一定程度上已经 是一种优化． 然而在高地应力状态下，为了保证隧道 衬砌处于正常工作状态，传统做法是增加衬砌厚度或 提高混凝土标号，但对于由同一种材料组成的结构，当 衬砌已经较厚或者已采用高强混凝土时，传统做法不 会明显改善其应力状态，即不能明显减小衬砌内缘的 应力集中［8 － 10］，远离衬砌内边缘的材料仍然没有得到 充分的利用． 此外，在很多隧道或井巷工程中，衬砌设计虽然会 考虑到围岩松动圈支护体的影响，甚至在部分工程中 运用松动圈支护理论对衬砌支护进行修正设计，将隧 道支护设计向准定量水平推进了一步，提高了设计的 准确性，但目前大多数研究和设计都从工程经验出发， 缺乏理论上的进一步探讨． 本文考虑围岩松动圈支护体的影响，推导出深埋 圆形隧道衬砌应力解析解，引入功能梯度材料思想，讨 论了不同弹性模量双层混凝土圆形衬砌的优化设计， 相关研究方法和结论希望能为类似工程的衬砌优化设 计提供一定的借鉴和参考． 1 考虑松动圈支护体影响的衬砌应力分析 深埋条件下可近似认为岩体各项同性，围岩应力 为各向等压的均布压力，所讨论问题可视为轴对称无 限域平面应变问题． 如图 1 所示，Ⅲ层为围岩松动圈 支护体，对于复合式衬砌，Ⅰ、Ⅱ层分别为二衬和初衬， 对于单层衬砌，Ⅰ和Ⅱ层分别为内、外混凝土层． Ⅰ、 Ⅱ和Ⅲ层从内到外半径依次为 Ｒ0、Ｒ1、Ｒ2和 Ｒ3，弹性模 量依次为 E1、E2和 E3，泊松比依次为 μ1、μ2 和 μ3，假设 松动圈和衬砌支护作业规范，时机恰到好处，使得支护 处理后的松动圈围岩和隧道衬砌各层间都完全接触， 并且共同承受围岩应力 P 的作用． 图 1 松动圈支护体和隧道衬砌共同承受围岩应力 P 的作用 Fig． 1 Both broken rock zone supporting body and tunnel lining to bear the surrounding rock stress P 在完全接触条件下，根据弹塑性力学理论［11］，考 虑衬砌内边界( ρ = Ｒ0 ) 和松动圈围岩外边界( ρ = Ｒ3 ) 上的应力边界条件，以及Ⅰ和Ⅱ层接触面( ρ = Ｒ1 ) 、Ⅱ 和Ⅲ层接触面( ρ = Ｒ2 ) 的径向应力和位移连续条件， 可得每层的应力分量如下． 第Ⅰ层: σρ1 = － Ｒ2 0Ｒ2 1P1 Ｒ2 1 － Ｒ2 0 ·1 ρ 2 + Ｒ2 1P1 Ｒ2 1 － Ｒ2 0 ， ( 1) σθ1 = Ｒ2 0Ｒ2 1P1 Ｒ2 1 － Ｒ2 0 ·1 ρ 2 + Ｒ2 1P1 Ｒ2 1 － Ｒ2 0 ． ( 2) 第Ⅱ层: σρ2 = Ｒ2 1Ｒ2 2 ( P1 － P2 ) Ｒ2 2 － Ｒ2 1 ·1 ρ 2 + Ｒ2 2P2 － Ｒ2 1P1 Ｒ2 2 － Ｒ2 1 ， ( 3) σθ2 = － Ｒ2 1Ｒ2 2 ( P1 － P2 ) Ｒ2 2 － Ｒ2 1 ·1 ρ 2 + Ｒ2 2P2 － Ｒ2 1P1 Ｒ2 2 － Ｒ2 1 ． ( 4) 第Ⅲ层: σρ3 = Ｒ2 2Ｒ2 3 ( P2 － P) Ｒ2 3 － Ｒ2 2 ·1 ρ 2 + Ｒ2 3P － Ｒ2 2P2 Ｒ2 3 － Ｒ2 2 ， ( 5) σθ3 = － Ｒ2 2Ｒ2 3 ( P2 － P) Ｒ2 3 － Ｒ2 2 ·1 ρ 2 + Ｒ2 3P － Ｒ2 2P2 Ｒ2 3 － Ｒ2 2 ． ( 6) 其中， P1 = 4Δ2Ｒ2 2Ｒ2 3P /( A1A2 － 4Ｒ2 1Ｒ2 2 ) ， ( 7) P2 = 2Δ2Ｒ2 3PA1 /( A1A2 － 4Ｒ2 1Ｒ2 2 ) ， ( 8) A1 = ( 1 + Δ1 － μ2 － μ1Δ1 ) Ｒ2 1 + Ｒ2 0Δ1 ( 1 + μ1 ) + Ｒ2 2 ( 1 + μ2 ) ， ( 9) A2 = ( 1 + Δ2 － μ2 － μ3Δ2 ) Ｒ2 2 + Ｒ2 3Δ2 ( 1 + μ3 ) + Ｒ2 1 ( 1 + μ2 ) ， ( 10) Δ1 = E2 ( Ｒ2 2 － Ｒ2 1 ) /［E1 ( Ｒ2 1 － Ｒ2 0 ) ］， ( 11) Δ2 = E2 ( Ｒ2 2 － Ｒ2 1 ) /［E3 ( Ｒ2 3 － Ｒ2 2) ］． ( 12) 式中，σρi和 σθi ( i = 1，2，3) 分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层的径向 应力和切向应力，P1和 P2分别为Ⅰ、Ⅱ层间和Ⅱ、Ⅲ层 · 048 ·
杨凯等：考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优化设计 841 间的径向相互作用力.由式(1)~(12)可知，在围岩 oas=(1+sinp）ooa(R2）/(1-sinp)+ 应力、松动圈和衬砌尺寸已知的情况下，若泊松比为近 2ccos /(1 sin o). (17) 似相等的常数时，I、Ⅱ和Ⅲ层结构的应力分量均为 式中，o。(R)表示在p=R2处径向应力σ的取值. E,、E,和E,（确切地说是E2/E,和E,/E)的非线性函 为充分利用【、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松动圈 数.对于每一层结构，切向应力σ为最大主应力，径 支护体的强度，根据功能梯度材料思想，极限状态下， 向应力σ为最小主应力，并且在每层的内壁处切向应 I、Ⅱ和Ⅲ层应同时接近或达到预设破坏状态，在设计 力都达到最大值，出现了切向应力集中. 上才最为合理 2衬砌优化设计的目标函数构建 因此构造目标函数 F=(aau(R）-o)2+(oe(R,）-o2)2+ 由第1节分析可知，在各层衬砌的内边界，切向应 (ga(R,）-o2)入. (18) 力σ。都产生了应力集中.根据强度理论可知，即使I 显然，当目标函数为最小值时，I、Ⅱ和Ⅲ层同时 层混凝土的单轴抗压强度∫与Ⅱ层混凝土的单轴抗 接近或达到预设破坏状态（当F=0时，三层结构同时 压强度∫2相同，也无法判断衬砌的破坏首先是哪一层 达到预设破坏状态，此时为最优设计，但现实中很难到 开始的，这是因为在I层内边界衬砌处于两向受压状 达).下面以具体算例进行详细讨论 态，而在Ⅱ层内边界衬砌处于三向受压状态（存在轴 向应力σ)，混凝土处于三向应力状态相对不易破坏. 3算例求解与分析 最终结构的破坏是从【层内边界开始还是从Ⅱ层内边 3.1衬砌材料弹性模量的优化设计 界开始，主要取决于具体的应力大小，也就是说在围岩 假定围岩松动圈支护体和衬砌的尺寸分别为R。= 应力已知的条件下，取决于E,/E2、E2/E,的比值和三 3m,R,=3.6m,R2=4m,R,=5m,取混凝土泊松比为 层结构的厚度 常数，41=2=0.2，围岩松动圈支护体的泊松比 I层一混凝土衬砌：在内边界p=R。处，为二向 43=0.25,内聚力c=6MPa,内摩擦角p=30°，围岩应 应力状态，根据过镇海一王传志混凝土破坏准则（以下 力P和混凝土抗压强度∫∫a均为已知 简称过一王准则)2-国可知，孔边σ。所能承受的最大 为充分利用I、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松 设计应力o=1.2fa· 动圈支护体的强度，根据第1节和第2节分析可求出 Ⅱ层一混凝土衬砌：在内边界p=R,处，为三向 最合理的衬砌弹性模量值. 应力状态，其破坏不但取决于σ。的大小，也与σ。的大 待求变量：x,=E2E1x2=E2/E·因为I、Ⅱ和Ⅲ 小有关，当σ/o。≈u时（平面应变可满足此要求，并 层结构的应力分量均与E2/E,和E2/E,有关，为不失 假设混凝土泊松比4=0.2)，则由过一王准则的试验结 一般性讨论，此处把E2/E,和E2/E,定为待求变量，当 果o.2-,可推出p=R,处o。所能承受的最大应力 围岩松动圈支护体的弹性模量E,已知时，衬砌的弹性 oian与g。的关系如下. 模量E,和E,即可相应求解 当0≤o,/o。<0.05时， 目标函数： imns =1.2f2+16fa (p/) (13) F(E2/E,E2/E,)=(om(R)-d)2+ 当0.5≤0，/o。<0.1时， (o@(R,)-2)2+(gm(R2）-g)2.(19) o=2.0f2+10fa（o./o。-0.05). (14) 约束条件： 当0.1≤o,/o。<0.2时， ∫≥0， (20) 0as=2.5f2+30f2(o。/o。-0.1). (15) lx2≥0. 当0.2≤o,/o。<0.3时， 图2中给出了不同的围岩压力P作用下，两层衬 o=5.5fa+30fa(o,/o。-0.2). (16) 砌混凝土抗压强度相等(=fa=35MP)和抗压强度 Ⅲ层一围岩松动圈支护体：当地应力P一定 不等(/a=35MPa,Ja=30MPa)两种情况，三层结构弹 时，若衬砌的厚度较薄，或衬砌的弹性模量较小，或岩 性模量比值E2/E,和E2/E,的最优设计值 石的强度较低，则Ⅲ层支护体的有害变形程度也可能 从图2可以看出：无论I和Ⅱ层混凝土的抗压强 接近或达到一个预设状态，本文将此处的预设状态的 度是否相等，在相同大小的围岩应力作用下，总有E2/ 评判标准定为岩石摩尔库伦破坏准则，由第1节可知， E,<E2/E,故而为达到最优的衬砌弹性模量设计，建 支护体若要达到这个预设破坏状态一定是从P=R,的 议I层衬砌的弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹 内边界开始.假定支护体的内聚力和内摩擦角分别为 性模量；随着围岩应力的增大，E,/E,和E,/E,均减 c和p,则在p=R2岩石的所能承受的最大切向应力为 小，其中E,/E,变化相对平缓，如当围岩应力从15MPa
杨 凯等: 考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优化设计 间的径向相互作用力． 由式( 1) ～ ( 12) 可知，在围岩 应力、松动圈和衬砌尺寸已知的情况下，若泊松比为近 似相等的常数时，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层结构的应力分量均为 E1、E2和 E3 ( 确切地说是 E2 /E1 和 E2 /E3 ) 的非线性函 数． 对于每一层结构，切向应力 σθi为最大主应力，径 向应力 σρi为最小主应力，并且在每层的内壁处切向应 力都达到最大值，出现了切向应力集中． 2 衬砌优化设计的目标函数构建 由第 1 节分析可知，在各层衬砌的内边界，切向应 力 σθ 都产生了应力集中． 根据强度理论可知，即使Ⅰ 层混凝土的单轴抗压强度 fc1与Ⅱ层混凝土的单轴抗 压强度 fc2相同，也无法判断衬砌的破坏首先是哪一层 开始的，这是因为在Ⅰ层内边界衬砌处于两向受压状 态，而在Ⅱ层内边界衬砌处于三向受压状态( 存在轴 向应力 σz ) ，混凝土处于三向应力状态相对不易破坏． 最终结构的破坏是从Ⅰ层内边界开始还是从Ⅱ层内边 界开始，主要取决于具体的应力大小，也就是说在围岩 应力已知的条件下，取决于 E1 /E2、E2 /E3 的比值和三 层结构的厚度． Ⅰ层———混凝土衬砌: 在内边界 ρ = Ｒ0 处，为二向 应力状态，根据过镇海--王传志混凝土破坏准则( 以下 简称过--王准则) ［12 － 13］可知，孔边 σθ 所能承受的最大 设计应力 σ1 θmax = 1. 2fc1 ． Ⅱ层———混凝土衬砌: 在内边界 ρ = Ｒ1 处，为三向 应力状态，其破坏不但取决于 σθ 的大小，也与 σρ 的大 小有关，当 σz /σθ≈μ 时( 平面应变可满足此要求，并 假设混凝土泊松比 μ = 0. 2) ，则由过--王准则的试验结 果［10，12 － 13］，可推出 ρ = Ｒ1 处 σθ 所能承受的最大应力 σ2 θmax与 σρ 的关系如下． 当 0≤σr /σθ ＜ 0. 05 时， σ2 θmax = 1. 2fc2 + 16fc2 ( σρ /σθ ) ． ( 13) 当 0. 5≤σr /σθ ＜ 0. 1 时， σ2 θmax = 2. 0fc2 + 10fc2 ( σρ /σθ － 0. 05) ． ( 14) 当 0. 1≤σr /σθ ＜ 0. 2 时， σ2 θmax = 2. 5fc2 + 30fc2 ( σρ /σθ － 0. 1) ． ( 15) 当 0. 2≤σr /σθ ＜ 0. 3 时， σ2 θmax = 5. 5fc2 + 30fc2 ( σρ /σθ － 0. 2) ． ( 16) Ⅲ层———围岩 松 动 圈 支 护 体: 当 地 应 力 P 一 定 时，若衬砌的厚度较薄，或衬砌的弹性模量较小，或岩 石的强度较低，则Ⅲ层支护体的有害变形程度也可能 接近或达到一个预设状态，本文将此处的预设状态的 评判标准定为岩石摩尔库伦破坏准则，由第 1 节可知， 支护体若要达到这个预设破坏状态一定是从 ρ = Ｒ2 的 内边界开始． 假定支护体的内聚力和内摩擦角分别为 c 和 φ，则在 ρ = Ｒ2 岩石的所能承受的最大切向应力为 σ3 θmax = ( 1 + sin φ) σρ3 ( Ｒ2 ) /( 1 － sin φ) + 2ccos φ/( 1 － sin φ) ． ( 17) 式中，σρ3 ( Ｒ2 ) 表示在 ρ = Ｒ2 处径向应力 σρ3 的取值． 为充分利用Ⅰ、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松动圈 支护体的强度，根据功能梯度材料思想，极限状态下， Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层应同时接近或达到预设破坏状态，在设计 上才最为合理． 因此构造目标函数 F = ( σθ1 ( Ｒ0 ) － σ1 θmax ) 2 + ( σθ2 ( Ｒ1 ) － σ2 θmax ) 2 + ( σθ3 ( Ｒ2 ) － σ3 θmax ) 2 ． ( 18) 显然，当目标函数为最小值时，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层同时 接近或达到预设破坏状态( 当 F = 0 时，三层结构同时 达到预设破坏状态，此时为最优设计，但现实中很难到 达) ． 下面以具体算例进行详细讨论． 3 算例求解与分析 3. 1 衬砌材料弹性模量的优化设计 假定围岩松动圈支护体和衬砌的尺寸分别为Ｒ0 = 3 m，Ｒ1 = 3. 6 m，Ｒ2 = 4 m，Ｒ3 = 5 m，取混凝土泊松比为 常数，μ1 = μ2 = 0. 2，围岩松动圈支护体的泊 松 比 μ3 = 0. 25，内聚力 c = 6 MPa，内摩擦角 φ = 30°，围岩应 力 P 和混凝土抗压强度 fc1、fc2均为已知． 为充分利用Ⅰ、Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松 动圈支护体的强度，根据第 1 节和第 2 节分析可求出 最合理的衬砌弹性模量值． 待求变量: x1 = E2 /E1，x2 = E2 /E3 ． 因为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ 层结构的应力分量均与 E2 /E1 和 E2 /E3 有关，为不失 一般性讨论，此处把 E2 /E1 和 E2 /E3 定为待求变量，当 围岩松动圈支护体的弹性模量 E3 已知时，衬砌的弹性 模量 E1 和 E2 即可相应求解． 目标函数: F( E2 /E1，E2 /E3 ) = ( σθ1 ( Ｒ0 ) － σ1 θmax ) 2 + ( σθ2 ( Ｒ1 ) － σ2 θmax ) 2 + ( σθ3 ( Ｒ2 ) － σ3 θmax ) 2 ． ( 19) 约束条件: x1≥0， x{ 2≥0． ( 20) 图 2 中给出了不同的围岩压力 P 作用下，两层衬 砌混凝土抗压强度相等( fc1 = fc2 = 35 MPa) 和抗压强度 不等( fc1 = 35 MPa，fc2 = 30 MPa) 两种情况，三层结构弹 性模量比值 E2 /E1 和 E2 /E3 的最优设计值． 从图 2 可以看出: 无论Ⅰ和Ⅱ层混凝土的抗压强 度是否相等，在相同大小的围岩应力作用下，总有 E2 / E1 ＜ E2 /E3，故而为达到最优的衬砌弹性模量设计，建 议Ⅰ层衬砌的弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹 性模量; 随着围岩应 力 的 增 大，E2 /E1 和 E2 /E3 均减 小，其中 E2 /E1 变化相对平缓，如当围岩应力从15 MPa · 148 ·
·842· 工程科学学报，第37卷，第7期 10 弹性模量比值分别为E,/E,=1.6、E,/E,=1.4和E,/ E,=1.6、E2/E3=1.8时R,的最优设计值. 。-EE(f=f ·EE,Ia 从图3可以看出：无论I、Ⅱ层混凝土的抗压强度 o一EE,( 是否相等，在相同大小的围岩应力作用下，当E2/E,> 6 E,/E,时所求得的I层衬砌最优厚度总是小于E2/E,< E,/E,时所求得的I层衬砌厚度，故而可通过改变I 层衬砌和围岩松动圈支护体的弹性模量相对大小来调 整I、Ⅱ层衬砌的厚度：无论三层结构弹性模量比值如 何变化，随着围岩应力的增大，I层衬砌的厚度均增 10 20 3040 50 60 大，只是当E2/E,<E,/E3时，I层衬砌厚度增大的幅 围岩应力/MP 度稍大一些.如当围岩应力从l0MPa增至60MPa、 图2不同围岩应力下三层结构弹性模量比值的最优设计 fa=35MPaf=30MPa、E,/E,=1.6和E2/E3=1.4 Fig.2 Three-tier structure of elastic modulus ratio optimal design 时，R由3.2712增大到3.5761，增量为0.3049m:而 under different rock stresses 相应的E2/E,=1.6和E2/E3=1.8时，R由3.2919增 增至60MPa时，E,/E,由1.8838减小到1.5422：E,/E, 大到3.6868，增量为0.3949m.当fa=fa=35MPa、 在开始阶段急剧减小，然后随着围岩应力的继续增大， E2/E,=1.6和E2/E3=1.4时，R,由3.244增大到3.5118， E,/E,变化也趋于平缓，如当围岩应力从15MPa增至 增量为0.2678m:而相应的E2/E,=1.6和E2/E3=1.8 45MPa时，E2/E3从8.2411迅速减小至1.8913，而当 时，R1由3.2615增大到3.6067，增量为0.3452m. 围岩应力从45MPa增至60MPa时，E,/E,从1.8913 0.8r 一E,E,>E,/Ef≠) 平缓减至1.6229. 0.7 ·-EE,<EE,( 此外，在同等大小的围岩压力作用下，两层衬砌的 o-EE>EE,(f月 三0.6 ·-EEEE,f 抗压强度相等时两个弹性模量比值(E,/E,和E2/E3) 均大于两层衬砌抗压强度不等时的相应弹性模量比 04 值，即Ⅱ层混凝土衬砌的弹性模量E2同比增大，分析 0.3 认为这是算例中∫2取值增大造成的. 友一 0.2 3.2衬砌厚度的优化设计 9 假定围岩松动圈支护体的泊松比43=0.25，内聚 203040 5060 力c=6MPa,内摩擦角p=30°，两层混凝土衬砌的泊 围岩应力/MPa 松比相等，41=42=0.2，隧道净空和围岩松动圈支护 图3不同围岩应力下【层衬砌的最优设计值 体尺寸分别为R。=3m,R2=4m,R,=5m.围岩应力 Fig.3 Optimal design values of the I layer lining under different P,混凝土抗压强度∫∫a和弹性模量比值E2/E,、E2/ rock stresses E,均为已知. 此外，在同等大小的围岩压力作用下，两层衬砌的 为充分利用I和Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松 抗压强度相等时所求得的Ⅱ层衬砌最优厚度R,-R, 动圈支护体的强度，根据第1节和第2节分析可求出 总是大于强度不等时求得的Ⅱ层衬砌厚度，分析认为 最合理的I和Ⅱ层衬砌厚度. 这是算例中∫，取值增大造成的. 待求变量：x=R,·因隧道净空和围岩松动圈支护 体尺寸固定，故此处把R,定为待求变量，x-R。和 4结论 R2-x即为I和Ⅱ两层混凝土衬砌的厚度 (1)考虑围岩松动圈支护体的影响，在完全接触 目标函数： 条件下，推导出深埋圆形隧道每层衬砌切向应力和径 F(E,/E,E2/E,)=(om(R)-oi)2+ 向应力分量的解析解，在围岩应力、松动圈支护体和衬 (om(R,）-)2+(om(R,)-oa)2.(21) 砌尺寸已知情况下，若泊松比为近似相等的常数时， 约束条件： I、Ⅱ和Ⅲ层结构的应力分量均为E,、E,和E,(E2/E,、 rx-R。≥0， E,/E,)的非线性函数 (22) lR,-x≥0. (2)为充分利用I和Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围 图2给出了两层衬砌混凝土抗压强度相等（∫= 岩松动圈支护体的强度，根据混凝土和围岩材料和受 f2=35MPa)和抗压强度不等(fa=35MPa,f2=30 力状态的不同，选用不同的破坏准则，引入功能梯度材 MPa)两种情况，不同的围岩压力P作用下，三层结构 料思想，构建了不同弹性模量双层混凝土圆形衬砌优
工程科学学报，第 37 卷，第 7 期 图 2 不同围岩应力下三层结构弹性模量比值的最优设计 Fig． 2 Three-tier structure of elastic modulus ratio optimal design under different rock stresses 增至 60 MPa 时，E2 /E1 由 1. 8838 减小到 1. 5422; E2 /E3 在开始阶段急剧减小，然后随着围岩应力的继续增大， E2 /E3 变化也趋于平缓，如当围岩应力从 15 MPa 增至 45 MPa 时，E2 /E3 从 8. 2411 迅速减小至 1. 8913，而当 围岩应力从 45 MPa 增至 60 MPa 时，E2 /E3 从 1. 8913 平缓减至 1. 6229． 此外，在同等大小的围岩压力作用下，两层衬砌的 抗压强度相等时两个弹性模量比值( E2 /E1 和 E2 /E3 ) 均大于两层衬砌抗压强度不等时的相应弹性模量比 值，即Ⅱ层混凝土衬砌的弹性模量 E2 同比增大，分析 认为这是算例中 fc2取值增大造成的． 3. 2 衬砌厚度的优化设计 假定围岩松动圈支护体的泊松比 μ3 = 0. 25，内聚 力 c = 6 MPa，内摩擦角 φ = 30°，两层混凝土衬砌的泊 松比相等，μ1 = μ2 = 0. 2，隧道净空和围岩松动圈支护 体尺寸分别为 Ｒ0 = 3 m，Ｒ2 = 4 m，Ｒ3 = 5 m． 围岩应力 P，混凝土抗压强度 fc1、fc2和弹性模量比值 E2 /E1、E2 / E3 均为已知． 为充分利用Ⅰ和Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围岩松 动圈支护体的强度，根据第 1 节和第 2 节分析可求出 最合理的Ⅰ和Ⅱ层衬砌厚度． 待求变量: x = Ｒ1 ． 因隧道净空和围岩松动圈支护 体尺寸 固 定，故 此 处 把 Ｒ1 定为 待 求 变 量，x － Ｒ0 和 Ｒ2 － x 即为Ⅰ和Ⅱ两层混凝土衬砌的厚度． 目标函数: F( E2 /E1，E2 /E3 ) = ( σθ1 ( Ｒ0 ) － σ1 θmax ) 2 + ( σθ2 ( Ｒ1 ) － σ2 θmax ) 2 + ( σθ3 ( Ｒ2 ) － σ3 θmax ) 2 ． ( 21) 约束条件: x － Ｒ0≥0， {Ｒ2 － x≥0． ( 22) 图 2 给出了两层衬砌混凝土抗压强度相等( fc1 = fc2 = 35 MPa) 和抗压强度不等( fc1 = 35 MPa，fc2 = 30 MPa) 两种情况，不同的围岩压力 P 作用下，三层结构 弹性模量比值分别为 E2 /E1 = 1. 6、E2 /E3 = 1. 4 和 E2 / E1 = 1. 6、E2 /E3 = 1. 8 时 Ｒ1 的最优设计值． 从图 3 可以看出: 无论Ⅰ、Ⅱ层混凝土的抗压强度 是否相等，在相同大小的围岩应力作用下，当 E2 /E1 ＞ E2 /E3 时所求得的Ⅰ层衬砌最优厚度总是小于E2 /E1 ＜ E2 /E3 时所求得的Ⅰ层衬砌厚度，故而可通过改变Ⅰ 层衬砌和围岩松动圈支护体的弹性模量相对大小来调 整Ⅰ、Ⅱ层衬砌的厚度; 无论三层结构弹性模量比值如 何变化，随着围岩应力的增大，Ⅰ层衬砌的厚度均增 大，只是当 E2 /E1 ＜ E2 /E3 时，Ⅰ层衬砌厚度增大的幅 度稍大一些． 如当围岩应力从 10 MPa 增至 60 MPa、 fc1 = 35 MPa、fc2 = 30 MPa、E2 /E1 = 1. 6 和 E2 /E3 = 1. 4 时，Ｒ1 由 3. 2712 增大到 3. 5761，增量为 0. 3049 m; 而 相应的 E2 /E1 = 1. 6 和 E2 /E3 = 1. 8 时，Ｒ1 由 3. 2919 增 大到 3. 6868，增量为 0. 3949 m． 当 fc1 = fc2 = 35 MPa、 E2 /E1 = 1. 6 和 E2 /E3 = 1. 4 时，Ｒ1 由3. 244 增大到3. 5118， 增量为0. 2678 m; 而相应的 E2 /E1 = 1. 6 和 E2 /E3 = 1. 8 时，Ｒ1 由 3. 2615 增大到 3. 6067，增量为 0. 3452 m． 图 3 不同围岩应力下Ⅰ层衬砌的最优设计值 Fig． 3 Optimal design values of the Ⅰ layer lining under different rock stresses 此外，在同等大小的围岩压力作用下，两层衬砌的 抗压强度相等时所求得的Ⅱ层衬砌最优厚度 Ｒ2 － Ｒ1 总是大于强度不等时求得的Ⅱ层衬砌厚度，分析认为 这是算例中 fc2取值增大造成的． 4 结论 ( 1) 考虑围岩松动圈支护体的影响，在完全接触 条件下，推导出深埋圆形隧道每层衬砌切向应力和径 向应力分量的解析解，在围岩应力、松动圈支护体和衬 砌尺寸已知情况下，若泊松比为近似相等的常数时， Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ层结构的应力分量均为 E1、E2和 E3 ( E2 /E1、 E2 /E3 ) 的非线性函数． ( 2) 为充分利用Ⅰ和Ⅱ两层混凝土衬砌和Ⅲ层围 岩松动圈支护体的强度，根据混凝土和围岩材料和受 力状态的不同，选用不同的破坏准则，引入功能梯度材 料思想，构建了不同弹性模量双层混凝土圆形衬砌优 · 248 ·
杨凯等：考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优化设计 ·843· 化设计的目标函数 method.Chin J Rock Mech Eng,2004,23 (20)3509 (3)在衬砌材料弹性模量的优化设计时，无论I (贺少辉，马万权，曹德胜，等.隧道湿喷纤维高性能混凝土 和Ⅱ层混凝土的抗压强度是否相等，结构弹性模量比 单层永久衬砌研究.岩石力学与工程学报，2004,23(20)： 3509) 值E,/E,和E,/E,随着围岩应力的增大均减小，且在 [6]Du G P,Liu X R,Zhu Y H,et al.Performance examination of 相同大小的围岩应力作用下，总有E,/E,<E2/E.因 steel fiber reinforced shotcrete in tunnel and its engineering appli- 此为达到最优的衬砌弹性模量设计，建议I层衬砌的 cation.Chin J Rock Mech Eng,2008,27(7):1448 弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹性模量. (杜国平，刘新荣，祝云华，等.隧道钢纤维喷射混凝土性能 (4)在衬砌厚度的优化设计时，无论I和Ⅱ层混 试验及其工程应用，岩石力学与工程学报，2008,27(7)： 凝土的抗压强度是否相等，三层结构弹性模量比值如 1448) 何变化，I层衬砌的厚度随着围岩应力的增大均增大. ]Du G P.Research on Stability of Fiber Reinforced Concrete among Single Layer Tunneling Lining [Dissertation ]Chongqing: 在相同大小的围岩应力作用下，当E2/E,>E,/E时所 Chongqing University,2013 求得的I层衬砌最优厚度总是小于E,/E,<E2/E3时 (杜国平.纤维混凝土单层衬砌隧道稳定性研究[学位论文] 所求得的【层衬砌厚度，因此可通过改变I层衬砌和 重庆：重庆大学，2013) 围岩松动圈支护体的弹性模量相对大小来调整I和Ⅱ [8]Li A Z,Zhang L Q.Inversion of the functionally graded material 层衬砌的厚度 for subvertical to improve its elastic limit bearing capacity /Pro- ceedings of the Tenth National Symposium on Rock Mechanics and Engineering.Beijing,2008:131 参考文献 (吕爱钟，张路青.用于提高立井井壁弹性极限承载力的梯度 功能材料反演//第十届全国岩石力学与工程学术大会论文 [1]Zhao Z R,Zhang Y Q,Ji L J,et al.The test study of the sur- 集.北京，2008：131) rounding rock pressure acting on the composite lining in weak rock [9]Lii A Z,Zhang N.Inversion of functionally graded materials to of Nanling double track railway tunnel.J Hydraul Eng,1985,16 improve the elastie ultimate bearing capacity of thick-walled hollow (10):29 cylinder.Ade Mater Res,2012,378-379:116 (赵子荣，张玉琴，季良杰，等.南岭双线铁路隧道软岩复合 [10]Lii A Z,Xu G S,Zhang L Q,et al.Optimum design method for 式衬砌围岩压力的试验研究.水利学报，1985,16(10)：29) double-ayer thick-walled concrete cylinder with different modu- 2]Xie LC.Experiments and research of the multilayer lining of the lus.Mater Struct,2011,44(5):923 Dayao mountain tunnel:the influence of overbreak backfilling 01] Yang G T.Introduction to Elasticity and Plasticity.2nd Ed.Bei- layer on the bearing capacity of the multilayer lining structure. jing:Tsinghua University Press,2013 Raihwe Sci Eng,1987.5(2):77 (杨桂通.弹塑性力学引论.2版.北京：清华大学出版社， (谢连城.大瑶山隧道复合式衬砌模型试验研究：超挖回填层 2013) 对复合式衬砌承载能力的影响.铁道科学与工程学报，1987， 02] Guo Z H,Wang C Z.Investigation of strength and failure criteri- 5(2):77) on of concrete under multi-axial stresses.China Cir Eng J, Franzen T.Shotcrete for underground support:a state of the art 1991,24(3):1 report with focus on steel-fibre reinforcement.Tunnelling Under- (过镇海，王传志.多轴应力下砼的强度和破坏准则研究研 ground Space Technol,1992,7(4):381 究.土木工程学报，1991,24(3)：1) [4]Craig R.A 1994 update of study in progress.Tunnels Tunnelling, [13]Guo Z H.Introduction of multiaxial strength of concrete.Build 1994,26(12):37 Sudt,1991,15(6):72 [5]He S H,Ma W Q,Cao DS,et al.Permanent single-ayer tunnel (过镇海.砼的多轴强度介绍.建筑结构学报，1994,15 lining by fibre-reinforced high performance shotcrete and wet-mix (6):72)
杨 凯等: 考虑围岩松动圈支护体影响的深埋圆形隧道衬砌优化设计 化设计的目标函数． ( 3) 在衬砌材料弹性模量的优化设计时，无论Ⅰ 和Ⅱ层混凝土的抗压强度是否相等，结构弹性模量比 值 E2 /E1 和 E2 /E3 随着围岩应力的增大均减小，且在 相同大小的围岩应力作用下，总有 E2 /E1 ＜ E2 /E3 ． 因 此为达到最优的衬砌弹性模量设计，建议Ⅰ层衬砌的 弹性模量应大于围岩松动圈支护体的弹性模量． ( 4) 在衬砌厚度的优化设计时，无论Ⅰ和Ⅱ层混 凝土的抗压强度是否相等，三层结构弹性模量比值如 何变化，Ⅰ层衬砌的厚度随着围岩应力的增大均增大． 在相同大小的围岩应力作用下，当 E2 /E1 ＞ E2 /E3 时所 求得的Ⅰ层衬砌最优厚度总是小于 E2 /E1 ＜ E2 /E3 时 所求得的Ⅰ层衬砌厚度，因此可通过改变Ⅰ层衬砌和 围岩松动圈支护体的弹性模量相对大小来调整Ⅰ和Ⅱ 层衬砌的厚度． 参 考 文 献 ［1］ Zhao Z Ｒ，Zhang Y Q，Ji L J，et al． The test study of the surrounding rock pressure acting on the composite lining in weak rock of Nanling double track railway tunnel． J Hydraul Eng，1985，16 ( 10) : 29 ( 赵子荣，张玉琴，季良杰，等． 南岭双线铁路隧道软岩复合 式衬砌围岩压力的试验研究． 水利学报，1985，16( 10) : 29) ［2］ Xie L C． Experiments and research of the multilayer lining of the Dayao mountain tunnel: the influence of overbreak back-filling layer on the bearing capacity of the multilayer lining structure． J Ｒailw Sci Eng，1987，5( 2) : 77 ( 谢连城． 大瑶山隧道复合式衬砌模型试验研究: 超挖回填层 对复合式衬砌承载能力的影响． 铁道科学与工程学报，1987， 5( 2) : 77) ［3］ Franzen T． Shotcrete for underground support: a state of the art report with focus on steel-fibre reinforcement． Tunnelling Underground Space Technol，1992，7( 4) : 381 ［4］ Craig Ｒ． A 1994 update of study in progress． Tunnels Tunnelling， 1994，26( 12) : 37 ［5］ He S H，Ma W Q，Cao D S，et al． Permanent single-layer tunnel lining by fibre-reinforced high performance shotcrete and wet-mix method． Chin J Ｒock Mech Eng，2004，23( 20) : 3509 ( 贺少辉，马万权，曹德胜，等． 隧道湿喷纤维高性能混凝土 单层永久衬砌研究． 岩石力学与工程学报，2004，23 ( 20) : 3509) ［6］ Du G P，Liu X Ｒ，Zhu Y H，et al． Performance examination of steel fiber reinforced shotcrete in tunnel and its engineering application． Chin J Ｒock Mech Eng，2008，27( 7) : 1448 ( 杜国平，刘新荣，祝云华，等． 隧道钢纤维喷射混凝土性能 试验及其工程应用，岩石力学与工程学报，2008，27 ( 7) : 1448) ［7］ Du G P． Ｒesearch on Stability of Fiber Ｒeinforced Concrete among Single Layer Tunneling Lining ［Dissertation］． Chongqing: Chongqing University，2013 ( 杜国平． 纤维混凝土单层衬砌隧道稳定性研究［学位论文］． 重庆: 重庆大学，2013) ［8］ Lü A Z，Zhang L Q． Inversion of the functionally graded material for subvertical to improve its elastic limit bearing capacity / / Proceedings of the Tenth National Symposium on Ｒock Mechanics and Engineering． Beijing，2008: 131 ( 吕爱钟，张路青． 用于提高立井井壁弹性极限承载力的梯度 功能材料反演 / / 第十届全国岩石力学与工程学术大会论文 集． 北京，2008: 131) ［9］ Lü A Z，Zhang N． Inversion of functionally graded materials to improve the elastic ultimate bearing capacity of thick-walled hollow cylinder． Adv Mater Ｒes，2012，378-379: 116 ［10］ Lü A Z，Xu G S，Zhang L Q，et al． Optimum design method for double-layer thick-walled concrete cylinder with different modulus． Mater Struct，2011，44( 5) : 923 ［11］ Yang G T． Introduction to Elasticity and Plasticity． 2nd Ed． Beijing: Tsinghua University Press，2013 ( 杨桂通． 弹塑性力学引论． 2 版． 北京: 清华大学出版社， 2013) ［12］ Guo Z H，Wang C Z． Investigation of strength and failure criterion of concrete under multi-axial stresses． China Civ Eng J， 1991，24( 3) : 1 ( 过镇海，王传志． 多轴应力下砼的强度和破坏准则研究研 究． 土木工程学报，1991，24( 3) : 1) ［13］ Guo Z H． Introduction of multiaxial strength of concrete． J Build Struct，1991，15( 6) : 72 ( 过镇海． 砼 的 多 轴 强度 介 绍． 建 筑 结 构 学 报，1994，15 ( 6) : 72) · 348 ·