D0I:10.13374/1.issnl00103.2009.04.024 第31卷第4期 北京科技大学学报 Vol.31 No.4 2009年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2009 时滞随机系统的时滞相关稳定性 刘坤)刘贺平)赵立英) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要将自由权矩阵思想推广到一类时滞随机系统中，研究了其时滞相关稳定性问题·通过构造新的Lyapunov函数，引入 适当的自由权矩阵，推导出系统渐近稳定的时滞相关的充分条件.所得结果完全基于线性矩阵不等式的形式给出，不需要对 原系统模型进行变换。数值算例说明了方法的可行性 关键词随机系统；时滞相关；自由权矩阵：线性矩阵不等式 分类号TP13 Delay-dependent stability of stochastic systems with time-varying delays LIU Kun.LIU He-ping.ZHAO Li-ying2) 1)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 2)School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The idea of free-weighting matrices was extended to a class of stochastic systems with timevarying delays.and the de- lay-dependent stability of the stochastic systems was studied.By establishing a new Lyapunov function and introducing appropriate free-weighting matrices.a sufficient delay-dependent condition was proposed for the asymptotic stability of such a system.The result was in the form of linear matrix inequalities completely and model transformation was unnecessary.Two examples were given to illus- trate the effectiveness of the proposed method. KEY WORDS stochastic system:delay-dependent:free-weighting matrix:linear matrix inequality (LMI) 时滞随机模型是基于实际系统中不可忽略的随 文献[9]研究了一类时滞系统的时滞相关稳定 机因素干扰和滞后环节而建立的，在通信和电力系 性问题.通过引入自由权矩阵，避免了用Leibniz 统等领域都有广泛的应用，目前，时滞随机系统的 Newton公式来进行模型变换所带来的较大保守性， 研究受到了极大的关注).文献[1一2]基于线性 基于此方法的时滞随机系统的时滞相关稳定性分析 矩阵不等式(LMI)的方法给出了不确定时滞随机系 却未见报道，因此，有必要引入其他技巧，把现存方 统的稳定条件，并设计了鲁棒镇定控制器：文献[3一 法进一步推广到时滞随机系统中 4]研究了其鲁棒控制问题；文献[5]研究了该系统的 本文研究一类时变时滞随机系统的时滯相关稳 滑模变结构控制问题；文献[G一7]研究了系统的H© 定性问题·通过构造新的Lyapunov函数，引入适当 控制问题，但以上文献所得到的结果均为时滯无关 的自由权矩阵，得到系统依赖于时滞大小的渐近稳 的，一般认为具有较大的保守性，尤其在时滞很小的 定条件.由于没有对系统进行模型变换，从而达到 情况下.，对于时滞随机系统，时滞相关的研究成果 了降低条件保守性的目的. 却很少.文献[8]研究了一类时滞不确定随机模糊 全文沿用如下记号：R和RX分别表示实数 系统的鲁棒稳定与镇定问题，虽然所得结果依赖于 域上的n维向量空间与n×n矩阵空间；‖·‖表示 时滞大小，但其处理方法采用了Moon不等式，所得 向量的Euclid范数；E·表示数学期望；(D,F,P) 结果具有较大的保守性， 是概率空间，其中2为样本空间，F为事件域，P为 收稿日期：2008-04-24 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·60374032) 作者简介：刘坤(1982-)，男，博士研究生；刘贺平(1951一)，男，教授，博士生导师，E-mail:lhpr@ies-ustb-edu-cm
时滞随机系统的时滞相关稳定性 刘 坤1） 刘贺平1） 赵立英2） 1） 北京科技大学信息工程学院北京100083 2） 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 将自由权矩阵思想推广到一类时滞随机系统中研究了其时滞相关稳定性问题．通过构造新的 Lyapunov 函数引入 适当的自由权矩阵推导出系统渐近稳定的时滞相关的充分条件．所得结果完全基于线性矩阵不等式的形式给出不需要对 原系统模型进行变换．数值算例说明了方法的可行性． 关键词 随机系统；时滞相关；自由权矩阵；线性矩阵不等式 分类号 TP13 Delay-dependent stability of stochastic systems with time-varying delays LIU Kun 1）LIU He-ping 1）ZHA O L-i ying 2） 1） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he idea of free-weighting matrices was extended to a class of stochastic systems with time-varying delaysand the delay-dependent stability of the stochastic systems was studied．By establishing a new Lyapunov function and introducing appropriate free-weighting matricesa sufficient delay-dependent condition was proposed for the asymptotic stability of such a system．T he result was in the form of linear matrix inequalities completely and model transformation was unnecessary．T wo examples were given to illustrate the effectiveness of the proposed method． KEY WORDS stochastic system；delay-dependent；free-weighting matrix；linear matrix inequality （LMI） 收稿日期：2008-04-24 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60374032） 作者简介：刘 坤（1982—）男博士研究生；刘贺平（1951—）男教授博士生导师E-mail：lhpjx＠ies．ustb．edu．cn 时滞随机模型是基于实际系统中不可忽略的随 机因素干扰和滞后环节而建立的在通信和电力系 统等领域都有广泛的应用．目前时滞随机系统的 研究受到了极大的关注［1—8］．文献［1—2］基于线性 矩阵不等式（LMI）的方法给出了不确定时滞随机系 统的稳定条件并设计了鲁棒镇定控制器；文献［3— 4］研究了其鲁棒控制问题；文献［5］研究了该系统的 滑模变结构控制问题；文献［6—7］研究了系统的 H∞ 控制问题．但以上文献所得到的结果均为时滞无关 的一般认为具有较大的保守性尤其在时滞很小的 情况下．对于时滞随机系统时滞相关的研究成果 却很少．文献［8］研究了一类时滞不确定随机模糊 系统的鲁棒稳定与镇定问题虽然所得结果依赖于 时滞大小但其处理方法采用了 Moon 不等式所得 结果具有较大的保守性． 文献［9］研究了一类时滞系统的时滞相关稳定 性问题．通过引入自由权矩阵避免了用 LeibnizNewton 公式来进行模型变换所带来的较大保守性． 基于此方法的时滞随机系统的时滞相关稳定性分析 却未见报道．因此有必要引入其他技巧把现存方 法进一步推广到时滞随机系统中． 本文研究一类时变时滞随机系统的时滞相关稳 定性问题．通过构造新的 Lyapunov 函数引入适当 的自由权矩阵得到系统依赖于时滞大小的渐近稳 定条件．由于没有对系统进行模型变换从而达到 了降低条件保守性的目的． 全文沿用如下记号：R n 和 R n× n分别表示实数 域上的 n 维向量空间与 n× n 矩阵空间；‖·‖表示 向量的 Euclid 范数；E｛·｝表示数学期望；（ΩFP） 是概率空间其中 Ω为样本空间F 为事件域P 为 第31卷 第4期 2009年 4月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．4 Apr．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．04．024
第4期 刘坤等：时滞随机系统的时滞相关稳定性 .517, 可测空间(2，F)上的概率测度；矩阵中的“*”表示 (1)对于满足式(2)的时滞1(t)、2(t)是渐近稳定 对称矩阵的对称项；L表示微分生成算子 的，下面给出本文要用到的引理 1问题的描述 引理1o)对具有适当维数的任意向量x、y 及任意对阵正定矩阵X>0,有： 考虑如下具有时变时滞的随机系统： ±2xy≤rTx-1x十yy dx(t)=[Ax(t)+Bx(t-t(t))]dt+ 2主要结果及证明 [Cx(t)+Dx(t-t2(t))]do(t)(1) x(t)=φ(t),t∈[一max(,2),0] 以下定理基于线性矩阵不等式的方法给出了系 其中，x(t)∈R"为状态向量；A、B、C和D为已知 统(1)渐近稳定的时滞相关的充分条件. 的适当维数的实常数矩阵；O(t)为定义在完备概率 定理对于满足式(2)的任意时变时滞，系统 空间(2，F,P)上具有自然流{F}≥o的m维标准 (1)渐近稳定的充分条件为存在对称正定矩阵P> 布朗运动；1(t)和2(t)为系统的时变时滞，且满 0,R1>0,R20,Q10,Q20,W10,W20,以 足： 及适当维数的矩阵S、Z、N和M,使得下面线性矩 0≤(t)≤T<o∞，t1(t)≤h1 阵不等式成立： (2) Φ Z 0≤2(t)≤2<∞，t2(t)≤h -W1-R1 0 注1对于式(2)，文献[8]要求系统时滞的导 <0(3) 米 数小于1，而本文并不要求这一点，这在一定程度上 -W2-R 扩大了所得条件的应用范围. 其中，Φ=Φ1十Φ2十， 本文的目的是设计时滞相关稳定条件使得系统 Q1+Q2 0 0 g 0 米 -(1-4)01 0 0 0 Φ -(1-)Q2 0 0 t1R1十t2R2 0 P+TiW1十2W2 =[S+Z-NA-MC-S-NB -Z-MD N M] 证明构造Lyapunov函数 LVi(t)=2x"(t)PX(t)+x"(t)Px(t)(5) V(t)=V1(t)+Vz(t)+V3(t)+V4(t)(4) LV2(t)x"(t)(Qi+Qz)x(t)- 其中，V1(t)=x(t)Px(t), (1-h)x(t-(t)Qx(t(t)- va(e)-r(00x(0a0+ (1-h)x(t-2(t)02x(t-2(t)(6) x'(0)gx(d0, LV3(t)x (t)(Ri+2R2)x(t)- vo=,1+ FwF(0R(oa0- 八向 n子((10 (7) LV4()x()(iW+t2W2)x(t)- 2(0w(0a0 八向e( 厂woa0 (8) 式中，x(t)=Ax(t)十Bx(t一(t),x(t)= 由牛顿莱布尼兹公式可得： Cx(t)+Dx(t-t2(t)) 由to公式山，得： x(t)-x(t-1(t)= dx(0)(9) -t1(t)
可测空间（ΩF）上的概率测度；矩阵中的“∗”表示 对称矩阵的对称项；L 表示微分生成算子． 1 问题的描述 考虑如下具有时变时滞的随机系统： d x（ t）＝［ Ax（ t）＋Bx（ t—τ1（ t））］d t＋ ［ Cx（ t）＋ Dx（ t—τ2（ t））］dω（ t） x（ t）＝●（ t）t∈［—max（τ1τ2）0］ （1） 其中x（ t）∈R n 为状态向量；A、B、C 和 D 为已知 的适当维数的实常数矩阵；ω（ t）为定义在完备概率 空间（ΩFP）上具有自然流｛Ft｝t≥0的 m 维标准 布朗运动；τ1（ t）和 τ2（ t）为系统的时变时滞且满 足： 0≤τ1（ t）≤τ1＜∞ τ · 1（ t）≤μ1 0≤τ2（ t）≤τ2＜∞ τ · 2（ t）≤μ2 （2） 注1 对于式（2）文献［8］要求系统时滞的导 数小于1而本文并不要求这一点这在一定程度上 扩大了所得条件的应用范围． 本文的目的是设计时滞相关稳定条件使得系统 （1）对于满足式（2）的时滞 τ1（ t）、τ2（ t）是渐近稳定 的．下面给出本文要用到的引理． 引理1［10］ 对具有适当维数的任意向量 x、y 及任意对阵正定矩阵 X＞0有： ±2x T y≤x T X —1 x＋y T Xy． 2 主要结果及证明 以下定理基于线性矩阵不等式的方法给出了系 统（1）渐近稳定的时滞相关的充分条件． 定理 对于满足式（2）的任意时变时滞系统 （1）渐近稳定的充分条件为存在对称正定矩阵 P＞ 0R1＞0R2＞0Q1＞0Q2＞0W1＞0W2＞0以 及适当维数的矩阵 S、Z、N 和 M使得下面线性矩 阵不等式成立： Φ S Z ∗ — W1—τ—1 1 R1 0 ∗ ∗ — W2—τ—1 2 R1 ＜0（3） 其中Φ＝Φ1＋Φ2＋ΦT 2 Φ1＝ Q1＋ Q2 0 0 P 0 ∗ —（1—μ1） Q1 0 0 0 ∗ ∗ —（1—μ2） Q2 0 0 ∗ ∗ ∗ τ1R1＋τ2R2 0 ∗ ∗ ∗ ∗ P＋τ1W1＋τ2W2 Φ2＝［ S＋Z— NA— MC —S— NB —Z— MD N M］． 证明 构造 Lyapunov 函数 V （ t）＝ V1（ t）＋ V2（ t）＋ V3（ t）＋ V4（ t） （4） 其中V1（ t）＝x T （ t） Px（ t） V2（ t）＝∫ t t－τ1 （ t） x T （θ） Q1x（θ）dθ＋ ∫ t t－τ2 （ t） x T （θ） Q2x（θ）dθ V3（ t）＝∫ 0 －τ∫1 t t＋r x T （θ） R1x（θ）dθd r＋ ∫ 0 －τ∫2 t t＋r x T （θ） R2x（θ）dθd r V4（ t）＝∫ 0 －τ∫1 t t＋r x T （θ） W1x（θ）dθd r＋ ∫ 0 －τ∫2 t t＋r x T （θ） W2x（θ）dθd r 式中x （ t ） ＝ Ax （ t ） ＋ Bx （ t —τ1（ t ））x（ t）＝ Cx（ t）＋ Dx（ t—τ2（ t））． 由 Itô公式［11］得： L V1（ t）＝2x T （ t） Px（ t）＋x T （ t） Px ～ （ t） （5） L V2（ t）≤x T （ t）（ Q1＋ Q2） x（ t）— （1—μ1） x T （ t—τ1（ t）） Q1x（ t—τ1（ t））— （1—μ2） x T （ t—τ2（ t）） Q2x（ t—τ2（ t）） （6） L V3（ t）≤x T （ t）（τ1R1＋τ2R2） x（ t）— ∫ t t－τ1 （ t） x T （θ） R1x（θ）dθ— ∫ t t－τ2 （ t） x T （θ） R2x（θ）dθ （7） L V4（ t）≤x ～T （ t）（τ1W1＋τ2W2） x ～ （ t）— ∫ t t－τ1 （ t） x ～T （θ） W1x ～ （θ）dθ— ∫ t t－τ2 （ t） x ～T （θ） W2x ～ （θ）dθ （8） 由牛顿—莱布尼兹公式可得： x（ t）—x（ t—τ1（ t））＝∫ t t－τ1 （ t） d x（θ） （9） 第4期 刘 坤等： 时滞随机系统的时滞相关稳定性 ·517·
,518 北京科技大学学报 第31卷 x(t)-x(t2(t)= dx(0) (10) x(0do(0) -t2(t) 因此对任何适当维数的矩阵S和Z,以下等式总成 立： w(0oy、 2(t)S[x(t)-x(t-1(t)- (17) dx(]=0 (11) T 2(t)Z[x(t)-x(t-(t)- nar1F0 (12) 其中，5(t)=[x(t)x(t-(t)x(t- (18) 2(t)(t)x(t)]. 再根据x(t)=Ax(t)十Bx(t一(t)和 综合以上分析，将式(5)一(8)相加，而且加入 x(t)=Cx(t)十Dx(t一t2(t),可知对任何适当维 式(11)~(14)，并考虑式(15)~(18)，可得： 数的矩阵N和M,以下等式总成立： EiLV(t)≤(t)[Φ+Sws+Zw2z+ 2(t)N[x(t)-Ax(t)-Bx(t-1(t)]=0 ISRT'ST+ZR2Z]6()- (13) 2(t)M[x(t)-Cx(t)-Dx(t-2(t)]=0 [o)st(向]k'tso+ (14) Rx1a0-nr(ez+ 进一步，应用引理1，以下不等式成立： -25osndr(0 x(0)R2]R2[zr(t)+R2x()]d0(19) 因为式(19)中R:>0(=1,2),所以只要保证 -25(sfo(0a0 E=Φ+Sw1s+Zw21Zr+ ISRT ST+ZR2ZT<0 (20) 25(sw1o(≤ 那么对任意的(t)≠0都有ELV(t){<0,因此 系统(1)是在概率空间上渐近稳定，进一步，利用 -250s(00+ Schur补性质，式(20)与式(3)等价.定理得证. ()sWI'sTE()+ 注2定理给出了一类时滞随机系统的时滞相 关稳定性判别准则，条件式（③）仅仅由一个LMI来 表示，可以用Matlab的LMI工具箱方便地求解. 注3定理仅是给出了标称系统渐近稳定的条 (15) -25ozndr(= 件，但是，定理很容易推广到不确定系统，其中系统 矩阵A、B、C和D包含的不确定性既可以是范数 有界不确定模型，也可以是凸多面体不确定模型 3数值算例 25oz410 例1考虑随机时滞系统(1)~(2)，其中 -25(0z410+ -20 ()ZWZE()+ (uauo可Twsw(ao(0 1(t)=0.1+0.2sint,2(t)=0.4+0.2cost. (16) 利用定理以及Matlab软件中的LMI工具箱， 另外，由文献[12]可知，以下等式成立： 解得：
x（ t）—x（ t—τ2（ t））＝∫ t t－τ2 （ t） d x（θ） （10） 因此对任何适当维数的矩阵 S 和 Z以下等式总成 立： 2ξ T （ t） S［ x（ t）—x（ t—τ1（ t））— ∫ t t－τ1 （ t） d x（θ）］＝0 （11） 2ξ T （ t） Z［ x（ t）—x（ t—τ2（ t））— ∫ t t－τ2 （ t） d x（θ）］＝0 （12） 其中ξ（ t）＝ ［ x T （ t） x T （ t —τ1（ t ）） x T （ t— τ2（ t）） x T （ t） x ～T （ t）］ T． 再根据 x （ t ） ＝ Ax （ t ） ＋ Bx （ t —τ1（ t ）） 和 x ～ （ t）＝Cx（ t）＋ Dx（ t—τ2（ t））可知对任何适当维 数的矩阵 N 和 M以下等式总成立： 2ξ T （ t） N［ x（ t）— Ax（ t）—Bx（ t—τ1（ t））］＝0 （13） 2ξ T （ t） M［ x ～ （ t）—Cx（ t）— Dx（ t—τ2（ t））］＝0 （14） 进一步应用引理1以下不等式成立： —2ξ T （ t） S∫ t t－τ1 （ t） d x（θ）＝ —2ξ T （ t） S∫ t t－τ1 （ t） x（θ）dθ— 2ξ T （ t） S∫ t t－τ1 （ t） x ～ （θ）dω（θ）≤ —2ξ T （ t） S∫ t t－τ1 （ t） x（θ）dθ＋ ξ T （ t） SW —1 1 S Tξ（ t）＋ ∫ t t－τ1 （ t） x ～ （θ）dω（θ） T W1∫ t t－τ1 （ t） x ～ （θ）dω（θ） （15） —2ξ T （ t） Z∫ t t－τ2 （ t） d x（θ）＝ —2ξ T （ t） Z∫ t t－τ2 （ t） x（θ）dθ— 2ξ T （ t） Z∫ t t－τ2 （ t） x ～ （θ）dω（θ）≤ —2ξ T （ t） Z∫ t t－τ2 （ t） x（θ）dθ＋ ξ T （ t） ZW —1 2 Z Tξ（ t）＋ ∫ t t－τ2 （ t） x ～ （θ）dω（θ） T W2∫ t t－τ2 （ t） x ～ （θ）dω（θ） （16） 另外由文献［12］可知以下等式成立： E ∫ t t－τ1 （ t） x ～ （θ）dω（θ） T · W1∫ t t－τ1 （ t） x ～ （θ）dω（θ） ＝ E∫ t t－τ1 （ t） x ～T （θ） W1x ～ （θ）dθ （17） E ∫ t t－τ2 （ t） x ～ （θ）dω（θ） T · W2∫ t t－τ2 （ t） x ～ （θ）dω（θ） ＝ E∫ t t－τ2 （ t） x ～T （θ） W2x ～ （θ）dθ （18） 综合以上分析将式（5）～（8）相加而且加入 式（11）～（14）并考虑式（15）～（18）可得： E｛L V （ t）｝≤ξ T （ t）［ Φ＋SW —1 1 S T＋ZW —1 2 Z T＋ τ1SR —1 1 S T＋τ2ZR —1 2 Z T ］ξ（ t）— ∫ t t－τ1 （ t） ［ξ T （ t） S＋x T （θ） R1］ R —1 1 ［ S Tξ（ t）＋ R1x（θ）］dθ—∫ t t－τ2 （ t） ［ξ T （ t） Z＋ x T （θ） R2］ R —1 2 ［ Z Tξ（ t）＋ R2x（θ）］dθ （19） 因为式（19）中 Ri＞0（ i＝12）所以只要保证 Ξ∶＝Φ＋SW —1 1 S T＋ZW —1 2 Z T＋ τ1SR —1 1 S T＋τ2ZR —1 2 Z T＜0 （20） 那么对任意的 ξ（ t）≠0都有 E｛L V （ t）｝＜0因此 系统（1）是在概率空间上渐近稳定．进一步利用 Schur 补性质式（20）与式（3）等价．定理得证． 注2 定理给出了一类时滞随机系统的时滞相 关稳定性判别准则．条件式（3）仅仅由一个 LMI 来 表示可以用 Matlab 的 LMI 工具箱方便地求解． 注3 定理仅是给出了标称系统渐近稳定的条 件．但是定理很容易推广到不确定系统其中系统 矩阵 A、B、C 和 D 包含的不确定性既可以是范数 有界不确定模型也可以是凸多面体不确定模型． 3 数值算例 例1 考虑随机时滞系统（1）～（2）其中 A＝ —2 0 0 —0∙09 B＝ —1 0 2 —1 C＝ —0∙2 0 0 0∙9 D＝ 1 0 —1 —1 τ1（ t）＝0∙1＋0∙2sin tτ2（ t）＝0∙4＋0∙2cost． 利用定理以及 Matlab 软件中的 LMI 工具箱 解得： ·518· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第4期 刘坤等：时滞随机系统的时滞相关稳定性 ,519 「3.28650.5524 P= >0 L0.55241.0284 4结论 2.22490.2268 Q1= >0, 本文利用自由权矩阵思想，讨论了一类时滞随 L0.2268 0.7031 机系统的时滞相关稳定性问题，在对V函数导数 4.95570.4704 Q2= >0 的处理过程中，通过恰当地引入一些自由权矩阵，得 0.47040.8316d 0.7521 -0.0531 到了基于LMI的保证系统渐近稳定的时滞相关的 R1= >0, -0.0531 充分条件，该条件只包含一个LMI,具有更简单的 0.6861 1.0151 0.5327 形式.数值算例说明了本文方法的有效性， R2= 0, L0.53270.9215 参考文献 「1.16540.017g W1 >0, L0.01790.9082 [1]Lu C Y,Tsai JS H.Jong G J.et al.An LMI based approach for 「1.27570.2945 robust stabilization of uncertain stochastic systems with time vary- W2= >0. 0.29451.0180 ing delays.IEEE Trans Autom Control,2003.48(2):286 [2]Xie S,Xie L.Stabilization of a class of uncertain large scale 验证了本文方法的有效性 stochastic systems with time delays.Automatica.2000,36:161 例2考虑随机时滞系统(1)~(2)，其中A= [3]Xu S.Chen T.Robust Hoo control for uncertain stochastic sys- -3 0 -1 tems with state delay.IEEE Trans Autom Control.2002,47 L0-0.9 = C 2 (12):2089 「-0.20.2 [1 0 [4]XuS.Chen T.Output feedback control for uncertain stochastic 0 0.9 D=-1 一，利用定理以及 systems with time varying delays.Automatica.2004.40:2091 [5]Niu Y.Ho D W C.Lam J.Robust integral sliding mode control Matlab软件中的LMI工具箱，可以得到系统允许的 for uncertain stochastic systems with time varying delay.Auto 最大时滞情况，如表1所示. matica,2005,4l.873 表1不同时滞变化率时的允许最大时滞界 [6]Kokame H.Kobayashi H,Mori T.Robust Hoo performance for linear delay-differential systems with timevarying uncertainties. Table 1 Maximum allow able delay bound for different delay-derivatives IEEE Trans Autom Control.1998.43(2):223 t1()的变 t2(t)的变 Emm(t1(t)= 化率，1 化率，2 [7]Tsai J H.Lu C Y,Su T J.Robust Hoo control for uncertain z(t)时) 0 0 1.0489 nonlinear stochastic neutral systems with state delay//2003 IEEE 0.2 0.2 0.9081 International Conference on Systems,Man and Cybernetics 0.5 0.5 0.5559 American.2003:3164 0.7 0.7 0.4235 [8]Huang H.Ho D W C.Delay-dependent robust control of uncer- 0.9 0.9 0.3604 tain stochastic fuzy systems with time varying delay.IET Con 1.2 1.2 0.3604 trol Theory Appl.2007.1(4):1075 [9]He Y.Wang Q G.Xie L H.et al.Further improvement of free- 从表1可以看出，当时滞变化率大于1时，本文 weighting matrices technique for systems with time varying delay 方法仍然有效， IEEE Trans Autom Control.2007.52(2):293 表2给出了在假定系统的时滞为常数即凸1= [10]Shaked U,Yaesh I.de Souza C E.Bounded real criteria for lin- 凸2=0时最大时滞界 ear time systems with state-delay and norm-bounded time vary- ing uncertainties.IEEE Trans Autom Control.1998,43(7): 表22()的最大时滞界随T的变化情况 1016 Table 2 Maximum delay bound of t2(t)under different tivalues [11]Mao X,Koroleva N,Rodkina A.Robust stability of uncertain max(t2) max(2） stochastic differential delay equations.Syst Control Leut.1998 0.1 1.6726 0.7 1.1253 (35):325 0.3 1.4108 0.9 1.0773 [12]Arnold L.Stochastic Differential Equations:Theory and Ap- 0.5 1.2461 plications.New York:Wiley,1972
P＝ 3∙2865 0∙5524 0∙5524 1∙0284 ＞0 Q1＝ 2∙2249 0∙2268 0∙2268 0∙7031 ＞0 Q2＝ 4∙9557 0∙4704 0∙4704 0∙8316 ＞0 R1＝ 0∙7521 —0∙0531 —0∙0531 0∙6861 ＞0 R2＝ 1∙0151 0∙5327 0∙5327 0∙9215 ＞0 W1＝ 1∙1654 0∙0179 0∙0179 0∙9082 ＞0 W2＝ 1∙2757 0∙2945 0∙2945 1∙0180 ＞0． 验证了本文方法的有效性． 例2 考虑随机时滞系统（1）～（2）其中 A＝ —3 0 0 —0∙9 B ＝ —1 2 2 —1 C ＝ —0∙2 0∙2 0 0∙9 D ＝ 1 0 —1 —1 利 用 定 理 以 及 Matlab 软件中的 LMI 工具箱可以得到系统允许的 最大时滞情况如表1所示． 表1 不同时滞变化率时的允许最大时滞界 Table1 Maximum allowable delay bound for different delay-derivatives τ1（ t）的变 化率μ1 τ2（ t）的变 化率μ2 τmax（τ1（ t）＝ τ2（ t）时） 0 0 1∙0489 0∙2 0∙2 0∙9081 0∙5 0∙5 0∙5559 0∙7 0∙7 0∙4235 0∙9 0∙9 0∙3604 1∙2 1∙2 0∙3604 从表1可以看出当时滞变化率大于1时本文 方法仍然有效． 表2给出了在假定系统的时滞为常数即 μ1＝ μ2＝0时最大时滞界． 表2 τ2（ t）的最大时滞界随 τ1 的变化情况 Table2 Maximum delay bound of τ2（ t） under different τ1values τ1 max（τ2） 0∙1 1∙6726 0∙3 1∙4108 0∙5 1∙2461 τ1 max（τ2） 0∙7 1∙1253 0∙9 1∙0773 4 结论 本文利用自由权矩阵思想讨论了一类时滞随 机系统的时滞相关稳定性问题．在对 V 函数导数 的处理过程中通过恰当地引入一些自由权矩阵得 到了基于 LMI 的保证系统渐近稳定的时滞相关的 充分条件该条件只包含一个 LMI具有更简单的 形式．数值算例说明了本文方法的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Lu C YTsai J S HJong G Jet al．An LMI based approach for robust stabilization of uncertain stochastic systems with time varying delays．IEEE T rans A utom Control200348（2）：286 ［2］ Xie SXie L．Stabilization of a class of uncertain large scale stochastic systems with time delays．A utomatica200036：161 ［3］ Xu SChen T．Robust H∞ control for uncertain stochastic systems with state delay．IEEE T rans A utom Control200247 （12）：2089 ［4］ Xu SChen T．Output feedback control for uncertain stochastic systems with time-varying delays．A utomatica200440：2091 ［5］ Niu YHo D W CLam J．Robust integral sliding mode control for uncertain stochastic systems with time varying delay．A utomatica200541：873 ［6］ Kokame HKobayashi HMori T．Robust H∞ performance for linear delay-differential systems with time-varying uncertainties． IEEE T rans A utom Control199843（2）：223 ［7］ Tsai J S HLu C YSu T J．Robust H∞ control for uncertain nonlinear stochastic neutral systems with state delay∥2003IEEE International Conference on Systems Man and Cybernetics． American2003：3164 ［8］ Huang HHo D W C．Delay-dependent robust control of uncertain stochastic fuzzy systems with time-varying delay．IET Control Theory Appl20071（4）：1075 ［9］ He YWang Q GXie L Het al．Further improvement of freeweighting matrices technique for systems with time-varying delay． IEEE T rans A utom Control200752（2）：293 ［10］ Shaked UYaesh Ide Souza C E．Bounded real criteria for linear time systems with state-delay and norm-bounded time-varying uncertainties．IEEE T rans A utom Control199843（7）： 1016 ［11］ Mao XKoroleva NRodkina A．Robust stability of uncertain stochastic differential delay equations．Syst Control Lett1998 （35）：325 ［12］ Arnold L．Stochastic Dif ferential Equations：Theory and Applications．New York：Wiley1972 第4期 刘 坤等： 时滞随机系统的时滞相关稳定性 ·519·