解设（）的自功率谱密度为P（)5i(0)=n()*(a)=(t(t-tldt52(0)=n(e)*hi(0)=h(c)n(t-t)dt互相关函数为R12(1,2)= E[1(1)E2(2))ETh(amla-adah(B)nz-Bap((B)E[n(-m(t-)dod根据)平稳性，[(-(-)]=R,(α-)=-Ra(,)=f"h(a)(p)R,(t+α-p)dod=R2(t)互功率谱密度为2()=[R12(t-1dt-It dtf doh(a)h(B)R,(t+α-p)e-rdp令t'=t+α-β则dt=dt',e-r=e-r'ejare-inp所以R ()-h(ajejaada"h(p)e-ipapR,(t'e-a"'dt=H)()H,(m)P, (α)2-10若，（t)是平稳随机过程，自相关函数为R。（t)，试求它通过如图2.7系统后的自相关函数及功率谱密度。%0)5(0)相加输出*延时T图2.7解%()=()+t-T)R, (6)=[4)()](, -t, =e)R)=[%(]=[++)=[(),)+,(,-T)+(,-T)t)+-T)(-T)=2R,()+R(e-T)+R(e +T)令t,-, =r根据R,()- P(o), R,(0)- P(0)P,(0)-2 P(0)+ P(0) ar + P(0)-m=P(o)2+e ar +ear)=2 P()+cOs αT)11
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2-11一噪声的功率谱密度如图2.8所示，试求其自相关函数为15a(0 1/2)-cosw,1.KP.(o)京230-W1w图2.8解对P,()进行傅里叶反变换，得自相关函数R(e)为(-R,(c)=;-P(o)cos or+ jsino do因为P（o)为偶函数，所以1manKR(-(do-cosoeda元102KSa(2d2) cos@),t2-12证明平稳随机过程（t)的自相关函数满足：R(0)》【R（1）！证明：因为x(）是平稳随机过程，所以有R,(e)=E[x(t)x(t+e)]R, (0) = E[ (t)因为[x(1)±双+) ≥0所以E[x(t)±2x(t)x(t +e)+x(t+)]≥0E[x(t)]+E[x(t +)]≥2[x()xt +)]E[x()]≥[[x()x(t+)]R,(0)≥[R(c)2-13知x,()和x(t)为相互独立的平稳高斯随机过程，x,t)的数学期望为a，方差为x(的数学期望为a方差为设x(t)=(t)+r(t)(1)试求随机过程xt)的数学期望a和方差;2试求随机过程双的一维摄率密度函数(x)12
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解(1)因为x,(t)和x,()相互独立，则E[(t)x (0)]- E[x(t)]F[x(0)]且[x()]=,[x(t]=a=E[x()]=E[x,(t)+x(t)]=, +agD[x()]=,D[x(0)]=03D[x0]-E[x(0]-E"[0]则[(0)]=0 +a?E[s()]=o +a2* = D[x()]= E[x(0)+ x(0)]]- E*[x(0)+ x (0)]=E[(t)+2x,(t)x (0)+x(0))(a, +a,)3=o, +a, +2a,a, +o +a2 -a -2a,a, -a2 =of +o?(2)因为x()x。()均为平稳高斯随机过程，双)=,(0)+为()是线性组合，所以xt)也是高斯随机过程，其一维概率密度函数为1湾1(x-a,-a,)2820f(x)=-12mb2(0+)2m(α+)2-14将均值为零，功率谱密度为n/2的高斯白噪声加到如图2.9所示的低通滤波器的输入端。(1)输出过程n（t)的自相关函数；(2)求输出过程n(t)的方差。LYYRo图2.9解（1)输入过程的功率谱密度为P(e)=22LR低通滤波器的传输函数为RH(e)=R+jQLR'P()=H()P(a)=2 R +(L)Ris=Rn,P(o)er"da=自相关函数为R(t)=2元141(2)因为输入过程均值为零，所以输出过程均值也为零其方差为"=R(0) =P4L2-15一正弦波加窄带高斯过程为z(t)=Acos(w,t+ 0)+n(t)(1)求（t)通过能够理想的提取包络的平方律检波器后的一维概率分布函数。(2)若40，重做（1）13
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解(1)已知正弦波加窄带高斯过程的包络的一维概率分布函数为1Azf(2) =+1220exploTTQu=f(u)du=f(z)dsdsf(u)=f(2)=f(a)-12sdu1S[+()f(u) =+即)220rexp/222≥20(2)当4=0时,(g)=exp-202第三章信道3一1设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为H()-Ko(o(α)=-atd其中，无和t.都是常数。试确定信号s(t)通过该信道后的输出信号的时域表示式，并讨论之。解由已知条件得传输函数为：H(a)=H(a)()=Ke(a)所以冲激响应为：(t)=X,5(t-t)输出信号为：(t)=s()*h（t)=K.s(t-t)讨论：该恒参信道满足无失真条件，所以信号在传输过程中无失真，但其幅度是原来的，倍，传输以后有一个大小为t的迟延。3-2设某恒参信道的幅频特性为)=[1+cos]exp（-jwt),其中，t为常数。试确定信号s（e)通过该信道后输出信号的时域表示式，并讨论之。解H()=[+coso-=-"",Tle-jan-(eh()=5(t-)+5(t-,+)+5(t--)输出信号(t)=s(t)*h(t)=s(t-t)+-s(f-t +T)+-s(t-t -T)23-3今有两个恒参信道，其等效模型分别如图3.1所示。试求这两个信道的群迟延特性及画出它们的群迟延曲线，并说明信号通过它们时有无群迟延失真.RR输入输出输出Ba输入cP(a)(b)14
14 第三章 信道
R2解（α）图电路传输函数H():R +R2相频特性(a)=0dq(e)群迟延频率特性（）=0do1jac1(6)图电路传输函数H()11+jmRCR+Jec1幅频特性H()/i+(aRC)相频特性p（)=-arctan(αRC)RCdp(a)群迟延频率特性（a)=de1+(αRC)2因为（a图电路中R和R,均为电阻，电路传输函数与a无关，t（@）=0为常数，所以没有群迟跌真。（b)图的（α）～a是非线性关系，所以有群迟延失真。群迟延特生曲线如图3.1(c)所示。RR1输入输入输出输出CR2o00(a)(b)(u)01a()-RCI()(C)图3.13-4一信号波形s(t)=Acos2tcosw;t,通过衰减为固定常数值，存在相移的网络，试证明：若2，且,土2附近的相频特性曲线可近似为线性，则该网络对s（)的迟延等于它的包络的迟延（这一原理常用来测量群迟延特性)。15
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