解（1)因为m()是宽平稳的随机过程，所以其均值为[m()=α（常数）而是服从均匀分布的，所以()=112，(08<2），又因为8是与m(t)彼此统计独立的，所以E[2(0)]= E[m(2]cos(mt + 0]] ==E(m(e)[cos pt cosg-sin mgt sin e]= [m(2)][cos mpt cosg - sin mpt sin 0]=al" [cos apt cos8 - sin apt sin 8], de = 0R, (1,t2)= E[z(z1/2(t2)]= E[m(t1)cos(t1 +0)m(z2 )cos(0f2 +0)]= E[m(t1)m(t2 ][cos(0t +9)cos(t +9)]=0.5Rm(t)E(cos[(21+t2)+2]+cosm(2-t1)=0.5R(tXE[cosm(,-t,)]+E[cosa(+t)cos28-sin 2%(g +ta )sin 28 1 )= 0.5R (tXE[cos % (2 -L)]+0)(令t2 -i=t)=0.5R(t)cos%m由于R（t,)与时间起点无关，而只与时间间隔有关，且E[z()]=0与时间无关，所以2(t)是宽平稳的。J0.5(1+)cos@om-1<T<0(2)R,(t)=0.5Rm(t)cosT=j0.5(1)cos@oT0≤T<110其他R（的波形可以看成一个余弦函数和一个三角波的乘积。如图2.所示。(3)因为z(t)是宽平稳的，所以，Pz()Rz（)P,(a)=[6(α+)+(a-)*0.5sa22元1J sa (a+m) Sa'(α-m))4122S=R,(0)=!2R(r)1/2-1/2图2.1
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2-5知噪声n(t)的自相关函数（）-=el,a为常数；2() 求P,(a)及S;(2)绘出R)及P（图形。解（1)油已知条件n(t）是平稳随机过程，P（α）台R（)a2P(a)-"R(e-anrd r-"2a4a+2a+S-R(0)=%22)R）及P（图形如图2.2所示R(u)*Rr(r) a/2002-6RC低通滤波器如图2.3所示。当输入均值为零，功率谱密度为n2的高斯白噪声时：（1)求输出过程的功率谱密度和自相关函数；(2)求输出过程的一维概率密度函数。R图2.3
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解1jac1(1)H(α) =11+joRCR+Joc1[F(o)P =1+ (aRC))输出功率谱密度为1P (a)-|(o)"P(a) - 0.21+(αR)22a因为P(α) = R(),利用e-l 2+2H自相关函数为R(0。exp4RCRC（2因为高斯过程通过线性系统后仍为高斯过程。而(]=(](0)=02 - R(0) - R (0)- 04RC所以输出过程的一维概率密度函数为r1f(x)=-expl12元g2g其中。3_no4RC2一7（0是一个平稳随过程，它的自相关函数是周期为2s的周期函数。在区间（-1，1）（s）上，该自相关函数R（）=1-|试求（）的功率谱密度P：（）并用图形表示。8
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解因为（)是一个平稳随机过程，所以P（α)台R(t)对R(t)进行傅里叶变换，得P(a)=San)- s()a(a-nr)P(a)=T图形如图2.4所示Pela2元4元-4弄-2元0图 2.42-8将一个均值为零、功率谱密度为^/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为带宽为B的理想带通滤波器上，如图2.5所示。（1)求滤波器输出噪声的自相关函数：(2)写出输出噪声的一维概率密度函数。2#82#,-B-w-o,+BOoBww,+4o9
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解(1)将高斯白噪声加到一个理想带通滤波器上，其输出是一个窄带高斯白噪声。[H(0)=0其他P()-H(o)"P(o)[n.信其他又因为P()R()1["P(o)e"do所以R(6)=211pntsngewda +.tengerda2元Ja,822元1,~8 2=n,BSa(rBe)cos o,r(2)因为高斯过程经过线形系统后仍是高斯过程，所以输出噪声的一维概率密度函数为(x-a)2)1f(n) =exp/2元202因为[]=0所以a= E[5. ()]= E[5,(t)]H(0)=0G=R,(0)-R,()=n,B所以输出噪声的一维概率密度函数为x21f (x) =exp2nB2m,B2-9图2.6为单个输入，两个输出的线性过滤器，若输入过程（）是平稳的，求（)与（)的互功率谱密度的表示式。s,(t)h()Oq(t)05.(t)0hz(t)图2.610
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