问题1实际上是需要求出自变量x为何值时,二 次函数 y=-2x2+20x(0<x<10) 取得最大值. 将这个函数关系式配方,得 试从函数表 2(x-5)2+50 达式来说明:当 显然,这个函数的图象开口向下,顶点坐标是 x=5时,函数取 最大值的道理 (5,50).这就是说,当x=5时,函数取得最大值,最大 值y=50 这时,AB=5(m),BC=20-2x=10(m) 因此,当围成的花圃与墙垂直的一边长5m,与墙平 行的一边长10m时,花圃的面积最大,最大面积为 50m2 问题2实际上是需要求出自变量x为何值时,二 次函数 y=-100x2+100x+200(0≤x≤2) 取得最大值. 请同学们自己完成这个问题的解答 5用长为6m的铝合金型材做一个形状如图 26.2.5所示的矩形窗框.窗框的长、宽各为多少时,它的 透光面积最大?最大透光面积是多少?(铝合金型材宽 度不计) 解设矩形窗框的宽为xm,则长为53m这 里应有x>0,且 >0,故0<x<2. 矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是 第26章二次函数·19
第 !"章 二次函数!$* 问题! 实际上是需要求出自变量 '为何值时#二 次函数 ()*"'" +"#' !# &'&&#" 取得最大值! 将这个函数关系式配方#得 ()*"!'*)"" +)#! 显然# 这个函数的图象开口向下# 顶点坐标是 !)# )#"!这就是说# 当 ')) 时#函数取得最大值#最大 值 ())#! 这时# "#))!$"# #$)"# *"')&#!$"! 因此#当围成的花圃与墙垂直的一边长 ) $#与墙平 行的一边长 &# $时# 花圃的面积最大# 最大面积为 )# $" ! 问题# 实际上是需要求出自变量 '为何值时#二 次函数 ()*&##'" +&##'+"## !# $ '$ "" 取得最大值! 请同学们自己完成这个问题的解答! !例 ) 用长为 % $的铝合金型材做一个形状如图 "%!"!) 所示的矩形窗框!窗框的长&宽各为多少时#它的 透光面积最大$ 最大透光面积是多少$ ! 铝合金型材宽 度不计" !解 设矩形窗框的宽为 '$# 则长为% *'' " $!这 里应有 '2##且% *'' " 2##故 # &'&"! 矩形窗框的透光面积 (与 '之间的函数关系式是 ()')% *'' " # 即 ()*' " '" +''! 试从函数表 达式 来 说 明% 当 ')) 时# 函数取 得最大值的道理! 图 !#!!!
先分析问 配方得 题中的数量关系, 列出函数关系式, 所以当x=1时,函数取得最大值,最大值y=1.5 再研究所得的函 x=1满足0<x<2,这时-3x=1.5 数,解决问题 的透光面积最大,最大面积是1.长为1.5m时,它 因此,所做矩形窗框的宽为1m 试试 (1)如图26.2.6,要搭建一个矩形的自行车棚, 边靠墙,另外三边围栏材料的总长为60米,怎样围才能 使车棚的面积最大? (2)在(1)中,如果可利用的墙壁长为25米,怎样 围才能使车棚的面积最大? 题(2)与题(1)的解答完全相同吗?试比较并作出 图26.2.6 正确的解答,和同学交流 1.求下列函数的最大值或最小值 (1)y=x2-3x+4; (2)y=1-2x-x2; (3)y=7x2-2x+2 (4)y=100-5 y=3 2.有一根长为40cm的铁丝,把它弯成一个矩形框。当矩形框的长、宽各是多少时, 矩形的面积最大?最大面积是多少? 3.已知两个正数的和是60,它们的积最大是多少?(提示:设其中的一个正数为x 将它们的积表示为x的函数) 20·第26章次函数
!+!第 !"章 二次函数 配方得 ()*' " !'*&"" + ' " # 所以当 ')& 时#函数取得最大值#最大值 ()&!)! ')& 满足 # &'&"#这时 % *'' " )&!)! 因此#所做矩形窗框的宽为 & $&长为 &!) $时#它 的透光面积最大#最大面积是 &!) $" ! !&" 如图 "%!"!%#要搭建一个矩形的自行车棚#一 边靠墙#另外三边围栏材料的总长为 %# 米#怎样围才能 使车棚的面积最大$ !"" 在!&" 中#如果可利用的墙壁长为 ") 米#怎样 围才能使车棚的面积最大$ 题!""与题!&" 的解答完全相同吗$ 试比较并作出 正确的解答#和同学交流! 练 习 !"求下列函数的最大值或最小值' !&" ()'" *''+($ !"" ()& *"'*'" $ !'" ()*'" *"槡* '+ ' " $ !(" ()&## *)'" $ !)" ()*%'" +&"'$ !%" ()*' " '" *('+&! #"有一根长为(# 7$的铁丝#把它弯成一个矩形框!当矩形框的长%宽各是多少时# 矩形的面积最大& 最大面积是多少& $"已知两个正数的和是%##它们的积最大是多少& !提示'设其中的一个正数为 '# 将它们的积表示为 '的函数" 先分析问 题中的数量关系# 列出函数关系式# 再研究所得的函 数#解决问题! 图 !#!!!#
3.求二次函数的表达式 问题2 如图,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形 ntT (曲线AOB)的薄壳屋顶.它的拱宽AB为4m,拱高CO 为0.8m.施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮 廓线呢? 分为了画出符合要求的模板,通常要先建立适 当的平面直角坐标系,再写出函数表达式,然后根据这个 函数表达式画出图形 如图26.2.7,以点O为原点,以AB的垂直平分 线为y轴,以m为单位,建立平面直角坐标系.这时, 屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y 轴,开口向下,所以可设抛物线对应的二次函数表达 式为 2(a<0) 因为AB与y轴相交于点C,所以CB AB=2 图26.2.7 因为CO=0.8m,所以点B的坐标为(2,-0.8) 因为点B在抛物线上,将它的坐标代入(1),得 -0.8=a×22, 所以 因此,函数表达式是y=-0.2x2 请你自己画 根据这个函数表达式,容易画出模板的轮廓线 在解决一些实际问题时,往往需要根据某些条件求 出函数表达式 第26章二次函数·2
第 !"章 二次函数!!$ $"求二次函数的表达式 问题 " 如图#某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形 !曲线 "5#" 的薄壳屋顶!它的拱宽 "#为 ( $#拱高 $5 为 #!+ $!施工前要先制造建筑模板#怎样画出模板的轮 廓线呢$ !分析 为了画出符合要求的模板#通常要先建立适 当的平面直角坐标系#再写出函数表达式#然后根据这个 函数表达式画出图形! 如图 "%!"!*#以点 5为原点#以 "#的垂直平分 线为 (轴#以 $为单位#建立平面直角坐标系!这时# 屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点#对称轴是 ( 轴#开口向下#所以可设抛物线对应的二次函数表达 式为 (),'" !, &#"! !&" 因为 "#与 (轴相交于点 $#所以 $#)"# " )" $#又 因为 $5 )#!+ $#所以点 #的坐标为!"# *#!+"! 因为点 #在抛物线上#将它的坐标代入!&"#得 *#!+ ), 6"" # 所以 , )*#!"! 因此# 函数表达式是 ()*#!"'" ! 根据这个函数表达式#容易画出模板的轮廓线! 在解决一些实际问题时#往往需要根据某些条件求 出函数表达式! 图 !#!!!( 请你自己画 一画!
图象顶点坐 标为(h,k)的 6一个二次函数的图象经过点(0,1),它的顶 次函数表达式有 点坐标为(8,9),求这个二次函数的表达式 怎样的形式? 分析因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8,9),因此,可以设函数表达式为 根据它的图象经过点(0,1),容易确定a的值. 请完成本例 的解答 7一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4) (3,10)三点,求这个二次函数的表达式 解》设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c, 由这个函数的图象经过点(0,1),可得c=1.又由于其 图象经过(2,4)、(3,10)两点,可得 4a+2b+1=4 9a+3b+1=10. 解这个方程组,得 b 因此,所求二次函数的表达式为y=x2-7x+1 读一读 待定系数法 根据一定的条件求某些函数的表达式,常运用待定系数法回顾 下本节的问题2和例6、例7以及八年级下学期第17章相关例题的 分析和解答,我们是怎样做的呢 用待定系数法求函数表达式,通常分三步 第一步,根据已知函数的特征(种类),写出适当的形式,其中含 有待定系数例如: 22·第26章次函数
!!!第 !"章 二次函数 !例 * 一个二次函数的图象经过点!## &"#它的顶 点坐标为!+# ,"#求这个二次函数的表达式! !分析 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 !+# ,"#因此#可以设函数表达式为 (),!'*+"" +,! 根据它的图象经过点!## &"#容易确定 , 的值! !例 + 一个二次函数的图象经过!## &"& !"# ("& !'# &#"三点#求这个二次函数的表达式! !解 设所求二次函数的表达式为 (-,'" B-'B.# 由这个函数的图象经过点!## &"#可得 .-&!又由于其 图象经过!"# ("& !'# &#"两点#可得 (, +"-+& )(# ,, +'-+& )&# { ! 解这个方程组#得 , )' " # -)*' " ! 因此# 所求二次函数的表达式为 ()' " '" *' " '+&! 待 定 系 数 法 根据一定的条件求某些函数的表达式#常运用待定系数法!回顾 一下本节的问题 " 和例 %&例 * 以及八年级下学期第 &* 章相关例题的 分析和解答#我们是怎样做的呢$ 用待定系数法求函数表达式#通常分三步% 第一步#根据已知函数的特征! 种类"#写出适当的形式#其中含 有待定系数!例如% 图象顶点坐 标为 !4# 3" 的二 次函数表达式有 怎样的形式$ 请完成本例 的解答!
·如果要求一次函数的表达式,通常设其形式为y=kx+b(k≠ 0),其中k、b是待定系数; 如果要求反比例函数的表达式,通常设其形式为y=k(k≠ 0),其中k是待定系数; ·如果要求二次函数的表达式,通常设其形式为y=ax2+bx+c a≠0),其中a、b、c是待定系数; 如果要求二次函数的表达式,并且还知道其图象的顶点坐标 为(h,k),通常设其形式为y=a(x-h)2+k(a≠0),其中a 是待定系数 第二步,根据其他已知条件,求出待定系数的值.例如已知函数 的一对或几对对应值(或函数的图象过某一个或几个已知点),可以 将对应值(或图象上点的坐标)代入设定的形式,得到关于待定系数 的方程或方程组,解之便可得到待定系数的值 第三步,将求得的待定系数的值,代入设定的形式,便得所求的 函数表达式 待定系数法是一种重要的数学方法,不仅用于求函数表达式,而 且在许多数学领域都有十分重要的应用. 练习 1.求图象为下列抛物线的二次函数的表达式 (1)拋物线的顶点在原点,且抛物线经过点(2,8); (2)拋物线的顶点坐标为(-1,-2),且拋物线经过点(1,10); (3)拋物线经过三点:(0,-2),(1,0),(2,3) 2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过三点:(-1,-1),(0,-2),(1,1) (1)求这条拋物线所对应的二次函数的表达式 (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标 (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 3.将抛物线y=-x2-x+3向下平移1个单位,再向右平移4个单位,求所得抛物 线的开口方向、对称轴和顶点坐标 第26章二次函数
第 !"章 二次函数!!% ! 如果要求一次函数的表达式#通常设其形式为 ()3'+-!3% #"#其中 3& -是待定系数' ! 如果要求反比例函数的表达式#通常设其形式为 () 3 ' !3% #"#其中 3是待定系数' ! 如果要求二次函数的表达式#通常设其形式为 (),'" +-'+. !, % #"# 其中 ,& -& .是待定系数' ! 如果要求二次函数的表达式#并且还知道其图象的顶点坐标 为!4# 3"#通常设其形式为 (),!'*4"" +3!, %#"# 其中 , 是待定系数! 第二步#根据其他已知条件#求出待定系数的值!例如已知函数 的一对或几对对应值! 或函数的图象过某一个或几个已知点"#可以 将对应值!或图象上点的坐标" 代入设定的形式#得到关于待定系数 的方程或方程组#解之便可得到待定系数的值! 第三步#将求得的待定系数的值#代入设定的形式#便得所求的 函数表达式! 待定系数法是一种重要的数学方法#不仅用于求函数表达式#而 且在许多数学领域都有十分重要的应用! 练 习 !"求图象为下列抛物线的二次函数的表达式' !&" 抛物线的顶点在原点#且抛物线经过点!"# +"$ !"" 抛物线的顶点坐标为! .&# .""#且抛物线经过点!&# &#"$ !'" 抛物线经过三点'!## .""# !&# #"# !"# '"! #"已知抛物线 (),'" +-'+.经过三点'! *&# *&"# !## *""# !&# &"! !&" 求这条抛物线所对应的二次函数的表达式! !"" 写出它的开口方向%对称轴和顶点坐标! !'" 这个函数有最大值还是最小值& 这个值是多少& $"将抛物线 (-.& " '" .'B' 向下平移& 个单位#再向右平移( 个单位#求所得抛物 线的开口方向%对称轴和顶点坐标!