复数和复变涵数 I.复数(complex number)的概念 >一个复数s由实部σ和虚部>两个复数相等的条件： ω构成，其代数式为 实部和虚部分别相等。 s可+j0 S1=01+j01 Real Imaginary S2=02+jw2 part part 若s1=S2,则必有0=02， 其中j=V一1，称为虚数单 W1=W20 位。0、ω均为实数，表示 >一个复数等于0的条件： 成 其实部和虚部均为零。 o=Re(s),@=Im(s) >S1=o+jw与S2=0-jw互为共 【注】虚部不包括虚数单 轭复数。 位，但包含正负号。 =-1 =j=-j
复数和复变函数 1. 复数(complex number)的概念 31 ➢两个复数相等的条件： 实部和虚部分别相等。 s1 =σ1+jω1 s2 =σ2+jω2 若s1 =s2，则必有σ1 =σ2， ω1 =ω2。 ➢一个复数等于0的条件： 其实部和虚部均为零。 ➢ s1 =σ+jω与s2 =σ−jω互为共 轭复数。 Real part Imaginary part 其中j = −1，称为虚数单 位。σ、ω均为实数，表示 成 σ = Re(s)，ω = Im(s) 【注】虚部不包括虚数单 位，但包含正负号。 ➢一个复数s由实部σ和虚部 ω构成，其代数式为 s = σ + jω 2 j 1 = − 3 2 j j j j = = −
6少求星2大￥ 复数和复变函数 2.复薮的表示法 s1=1∠0 模/绝对值 。代数表示法s=o+j⑦ r=sl 。坐标表示法 辐角 02 。向量表示法( 极坐标 01 表示法) 0 2 。三角表示法 r2=52 02 复平面 2=5∠0， 。复指数表示法 S=r∠0 s平面 向量表示法 虚轴 01 S1=01+j0 r=s=vo2+02 02 虚部 0 01 0=arctan 实部 arctan(巴) S2=02+j02 辐角逆时针为正。 实轴 坐标表示法 辐角的主值argS: (-元，元
复数和复变函数 2. 复数的表示法 代数表示法s=σ+jω 坐标表示法 向量表示法（极坐标 表示法） 三角表示法 复指数表示法 32 1 1 1 s = + j 2 2 2 s = + j σ1 σ2 ω1 ω2 σ 实轴 虚轴 ω 0 坐标表示法 向量表示法 ω σ 0 θ1 r1=|s1 | θ2 r2=|s2 | 辐角 模/绝对值 2 2 r s = = + arctan( ) arctan( ) = = 虚部 实部 复平面 s平面 辐角逆时针为正。 辐角的主值arg s：(-π，π] σ1 σ2 ω1 ω2 1 1 1 s r = 2 2 2 s r = s r =
复数和复变函数 33 。三角表示法 。复指数表示法 由图2-2可知 欧拉公式： o=rcos(0),w=rsin(e) e+io=cos(0)+jsin() 因此 e-i=cos(0)-jsin() s =rcos(0)+jrsin(0) 因此 =r[cos(0)+jsin()] s=rejo 三角表示法 复指数表示法 【注】e±j的模为1，辐 cos)）=e+e) 角为±0。 sin()=- (l
复数和复变函数 三角表示法 由图2-2可知 σ = rcos(θ) ，ω = rsin(θ) 因此 s = rcos(θ) + jrsin(θ) = r[cos(θ) + jsin(θ)] 【注】e±jθ的模为1，辐 角为±θ。 33 复指数表示法 欧拉公式： e＋jθ = cos(θ) ＋ jsin(θ) e－jθ = cos(θ) － jsin(θ) 因此 s = re jθ 三角表示法 复指数表示法 j j j j 1 cos( ) (e e ) 2 1 sin( ) (e e ) j2 − − = + = −
卢东罪大等 复数和复变函数 >例2.1复数=-3+j4的各种表示法。 +j0 =rcos(0)+jrsin(0 126.9° =reio =r∠a 坐标表示法 向量表示法 三角函数表示法 极坐标表示法 s=5[cos(126.9°+jsin(126.9)] s=5∠126.9° 复指数函数函数表示法 =5∠2.2143rad 3=5ei126.9°=5ei2.2143
复数和复变函数 ➢例2.1 复数s=−3+j4的各种表示法。 34 −3 j4 σ ω 0 坐标表示法 向量表示法 σ ω 0 5 126.9º s = + 5[cos(126.9 jsin(126.9 )] j126.9 j2.2143 s 5e 5e = = 三角函数表示法 复指数函数函数表示法 极坐标表示法 5 126.9 5 2.2143rad s = = j j cos( ) j sin( ) e s r r r r = + = + = =
复数和复变涵数 >复数的模和辐角的运算规律 。两个复数相乘，结果的模等于这两个复数的模的相乘； 结果的辐角等于这两个复数辐角相加。 。两个复数相除，结果的模等于这两个复数的模相除；结 果的辐角等于这两个复数的辐角相减（分子减分母)。 。以上结论可以推广到个复数相乘或相除的情况。 4 例2-2 Is 32+42=5,0 arctan 3 S,=3+j4,S2=6+j8 4 S3=SS2=(3+j4)(6+j8) I52 62+82=10,0=arctan 3 9=3+j4 4 526+j8 |s,Hs Is,上50，g,=8+8,=2 arctan3 1s上1-5)，0=0-4=0 1s21102
复数和复变函数 ➢复数的模和辐角的运算规律 两个复数相乘，结果的模等于这两个复数的模的相乘； 结果的辐角等于这 两个复数辐角相加。 两个复数相除，结果的模等于这两个复数的模相除；结 果的辐角等于这两个复数的辐角相减（分子减分母）。 以上结论可以推广到n个复数相乘或相除的情况。 35 例2-2 1 2 s s = + = + 3 j4 6 j8 ， 2 2 1 1 2 2 2 2 4 | | 3 4 5 arctan 3 4 | | 6 8 10 arctan 3 s s = + = = = + = = ， ， 3 1 2 3 1 2 1 4 4 1 2 2 4 | | | || | 50 2arctan 3 | | 5 1 | | 0 | | 10 2 s s s s s s = = = + = = = = − = ， = ， 1 4 2 3 j4 6 j8 s s s + = = + 3 1 2 s s s = + + =(3 j4)(6 j8)