§1半群、拟群与群 半群和拟群 定义131:代数系统S;,当其二元运算 是可结合的,即对任ab,ceS有:a*(b*c) =(a*b)*c,则称该系统为半群。 例 定义132:设S;为半群,当*在S中有单 位元e,即对任意a∈S,有ae=e*a=a,称该 半群为含单位元半群或称为拟群 ( monoids)
§1半群、拟群与群 • 一、半群和拟群 • 定义13.1：代数系统[S;*],当其二元运算* 是可结合的,即对任 a,b,cS有 :a*(b*c) =(a*b)*c，则称该系统为半群。 • 例: • 定义13.2：设[S;*]为半群,当*在S中有单 位元e,即对任意aS,有:a*e=e*a=a，称该 半 群 为 含 单 位 元 半 群 或 称 为 拟 群 (monoids)
·例2=(x|=1,,n E+∑中元素组成的有限长度的非空字符串全体 运算 :0=a1…k5B=b1…b∈Σ B=a-…akb1…b∈2 [Σ+;·是半群,但没有单位元。 Σ:有限长度的字符串全体构成的集合, [Σ;是半群,为空串(即长度为0的字符串) a∈∑+,有·=λ●a=0, λ为单位元, 「Σ;是拟群
• 例:={xi |i=1,…,n} • + :中元素组成的有限长度的非空字符串全体 • 运 算 • :=a1ak ,=b1bl+ ， •=a1akb1bl+ ， • [ + ;•]是半群，但没有单位元。 • * :有限长度的字符串全体构成的集合， • [ * ;•]是半群，为空串(即长度为0的字符串)， • + ，有•=•=， • 为单位元， • [ * ;•]是拟群
二、群 1群的概念 定义133:|S;为拟群,当S中的每一个元素都 有逆元时称为群。 还可以更清楚地叙述为: S;是一个代数系统,为定义在S上的二元运算, 若满足: (1)对任意的a,bc∈S有a(b*c)=(a*b)c(结合律); (2)存在e∈S使ae=e*a=a(单位元); (3)对任意的a∈S,存在a∈S,使得a*a1=a1*a=e 则称|S;为群
二、群 • 1.群的概念 • 定义13.3：[S;*]为拟群,当S中的每一个元素都 有逆元时,称为群。 • 还可以更清楚地叙述为: [S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算, 若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS，存在a -1S,使得a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群