《中国科学——数学》：单生过程的研究进展（北京师范大学数学科学学院：张余辉）.pdf

中国科学:数学2019年第49卷第3期:621~642 《中国科学》杂志社 SCIENTIA SINICA Mathematica SCIENCE CHINA PRESS 论文 CrossMark 单生过程的研究进展献给王梓坤教授90华诞张余辉北京师范大学数学科学学院,北京100875 E-mail: zhangyhabnu. edu.cn 收稿日期:2017-12-11;接受日期:2018-05-08:网络出版日期:2019-03-07 家自然科学基金(批准号:11131003,11571043,11626245,11771047和11871008)资助项目摘要单生过程,作为最简单的过程一生灭过程的自然推广,本身具有可靠的研究背景.一方面,单生过程是对经典问题可预期有显式判别准则的最大类过程,从而使得单生过程成为研究无穷维反应扩散过程的基本工具;另一方面,单生过程通常是非对称的,因此被视为非对称过程的突出代表,而关于非对称过程的研究,至今所得结果并不完善,但对于单生过程,研究成果相对完整.本文将介绍单生过程经典问题的判别准则,包括唯一性、常返性、遍历性和强遍历性,还包括回返(灭绝)概率和平稳分布的表示,特别是近年来,我们得到了关于单生过程 Poisson方程解的表示,以其为工具,举例说明如何统一处理上述问题以及回返时的多项式阶矩、指数阶矩和生命时的分布等.此外,本文还给出单生过程指数遍历的一个显式充分条件.最后回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的一些具体应用关键词单生过程生灭过程遍历性 MSC(2010)主题分类60J60 1引言令(X(t)1>0为定义在可数状态空间E={0,1,2,}上的连续时间不可约 Markov链,具有转移概率矩阵P(t)=(p(t)和速率Q矩阵Q=().如果其速率矩阵Q=(q)满足:q;+1>0,=0 ≥i+2,i,j∈E),则称(X(t)≥0为单生过程,该速率矩阵称为单生Q矩阵.假定此过程代表某生物种群的个体数目,由σ的概率意义可知,在每个时刻群体个数增加(生)只能是一个.如果其速率矩阵Q=(q)满足 q1,i+1=:b1>0(i≥0),q:-1=:a1>0(i≥1), 且对一切|-j≥2,有=0,则称(X()≥0为生灭过程,该速率矩阵称为生灭Q矩阵,简记为 (a1,b)生灭过程是单生过程的特例英文引用格式: Zhang Y H. Progress in single birth processes (in Chinese). Sci Sin Math,2019,49:621-642,doi:10.1360 N012017-00261 ⊙2019《中国科学》杂志社

中国科学 : 数学 2019 年第 49 卷第 3 期 : 621 ∼ 642 SCIENTIA SINICA Mathematica 论文英文引用格式: Zhang Y H. Progress in single birth processes (in Chinese). Sci Sin Math, 2019, 49: 621–642, doi: 10.1360/ N012017-00261 ⃝c 2019《中国科学》杂志社 www.scichina.com mathcn.scichina.com 单生过程的研究进展献给王梓坤教授 90 华诞张余辉北京师范大学数学科学学院, 北京 100875 E-mail: zhangyh@bnu.edu.cn 收稿日期: 2017-12-11; 接受日期: 2018-05-08; 网络出版日期: 2019-03-07 国家自然科学基金 (批准号: 11131003, 11571043, 11626245, 11771047 和 11871008) 资助项目摘要单生过程, 作为最简单的过程—生灭过程的自然推广, 本身具有可靠的研究背景. 一方面, 单生过程是对经典问题可预期有显式判别准则的最大类过程, 从而使得单生过程成为研究无穷维反应扩散过程的基本工具; 另一方面, 单生过程通常是非对称的, 因此被视为非对称过程的突出代表, 而关于非对称过程的研究, 至今所得结果并不完善, 但对于单生过程, 研究成果相对完整. 本文将介绍单生过程经典问题的判别准则, 包括唯一性、常返性、遍历性和强遍历性, 还包括回返 (灭绝) 概率和平稳分布的表示, 特别是近年来, 我们得到了关于单生过程 Poisson 方程解的表示, 以其为工具, 举例说明如何统一处理上述问题以及回返时的多项式阶矩、指数阶矩和生命时的分布等. 此外, 本文还给出单生过程指数遍历的一个显式充分条件. 最后回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的一些具体应用. 关键词单生过程生灭过程遍历性 MSC (2010) 主题分类 60J60 1 引言令 (X(t))t>0 为定义在可数状态空间 E = {0, 1, 2, . . .} 上的连续时间不可约 Markov 链, 具有转移概率矩阵 P(t) = (pij (t)) 和速率 Q 矩阵 Q = (qij ). 如果其速率矩阵 Q = (qij ) 满足: qi,i+1 > 0, qij = 0 (j > i + 2, i, j ∈ E), 则称 (X(t))t>0 为单生过程, 该速率矩阵称为单生 Q 矩阵. 假定此过程代表某生物种群的个体数目, 由 qij 的概率意义可知, 在每个时刻群体个数增加 (生) 只能是一个. 如果其速率矩阵 Q = (qij ) 满足: qi,i+1 =: bi > 0 (i > 0), qi,i−1 =: ai > 0 (i > 1), 且对一切 |i − j| > 2, 有 qij = 0, 则称 (X(t))t>0 为生灭过程, 该速率矩阵称为生灭 Q 矩阵, 简记为 (ai , bi). 生灭过程是单生过程的特例

张余辉:单生过程的研究进展通常,Q矩阵满足≥0(≠i,∑≠≤9:=一·本文只考虑全稳定且保守的单生Q矩阵即对一切i>0有=∑9<∞如果Q矩阵全稳定保守且确定唯一的Q过程,则称此Q矩阵是正则的我们研究单生过程的理由主要是四个.一是由于通常单生过程是非对称的,而非对称过程的研究通常要困难得多,因此,这给我们的研究带来挑战注意生灭过程是最简单的对称过程,而其研究也并不简单(参见文献[1-9).二是由于单生Q矩阵的流出边界至多一个极点,从方程的观点来说,我们处理的通常是单参数方程,这又给研究带来希望.三是单生过程本身有很强的应用背景,在生物学、人口学、化学、经济学和电子通信等学科中都有重要的应用,在种群理论中又称该过程为向上非跨跳过程(skip- free upwardly process、种群过程( population process)、带大灾难的生灭过程( birth and death process with catastrophes)或分枝大灾难过程( branching-catastrophe process),参见文献[10-15]:也有人称之为广义生灭过程( generalized birth and death process),参见文献[16-18四是单生过程在理论上是一类极其重要的 Markov过程,在粒子系统的研究中有将多维过程用某个一维过程去控制的方法, 在实际应用中,常常是将多维复杂过程与单生过程比较进行研究,这使得单生过程往往成为研究一般 Markov过程的切入点和有力工具,参见文献5,19-21] 这些年来,关于单生过程的研究己获得很多结果,研究的侧重点也不一样,一是主要用母函数的方法研究灭绝概率等问题,自然要对Q矩阵施加条件,即硏究一些特定的单生Q矩阵(参见文献[0-15] 是对一般的单生Q矩阵使用分析方法研究其唯一性和遍历理论等经典问题;对其唯一性、常返性遍历性和强遍历性,已得到了显式判别准则;对指数遍历性也得到显式充分条件,获得了其平稳分布首次回返时(击中时)和占位时矩的显式表达参见文献⑤5.6,16和20-39.特别地,文献0研究了单生过程 Poisson方程解的表示,以此作为工具,统一处理前面提到的单生过程经典问题的判别准则还包括回返时的多项式阶矩、指数阶矩、灭绝时的分布和灭绝概率等本文余下内容安排如下:第2节介绍单生过程唯一性的显式判别准则;第3节介绍单生过程常返性的显式判别准则、回返(灭绝)概率和平均占位时;第4节介绍单生过程 Poisson方程解的显式表示,举例说明如何以其为工具,统一处理单生过程的相关问题:第5节介绍单生过程的遍历性和强遍历性的显式判别准则,以及回返时一阶矩的显式表达;第6节介绍单生过程回返时和生命时高阶矩的显式表达、C遍历的判别准则以及平稳分布的显式计算公式;第7节介绍回返时(生命时)的指数阶矩和 Laplace变换,并涉及我们最关心的部分—单生过程指数遍历性,给出单生过程指数遍历的一个显式充分条件;最后一节回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的若干应用单生过程其他方面的研究,如带吸收边界的单生过程,可以参见文献[20,23,27,29,而文献34则是研究带移民的单生过程;文献[4,42】分别研究了生灭过程和单生过程分离切断( separation cutoff 现象发生的显式判别准则,这个方向的最新文章是文献[43],其工具是 Martin边界理论、位势理论波动理论和谱分析.文献[44用对偶方法通过分支过程研究一类单生过程.文献45]研究单生过程的中心极限定理.Ma)研究了单生Q矩阵的 Lipschitz范数.对于离散时间单生过程的研究,参见文献[46,47].为节省篇幅,不再一一详细介绍这些内容.有兴趣的读者,可以参考相应的文献本节最后,为后面叙述方便,引入一些单生过程的常用记号,这些记号源于文献[] 对0≤k<n,定义=∑=09,再定义 F(n)=1.F() ∑q)F,0 1) Ma Y T Lipschitz norm for Q-matrix of birth processes. Preprint, 2007

张余辉: 单生过程的研究进展通常, Q 矩阵满足 qij > 0 (j ̸= i), ∑ j̸=i qij 6 qi := −qii. 本文只考虑全稳定且保守的单生 Q 矩阵, 即对一切 i > 0 有 qi = ∑ j̸=i qij < ∞. 如果 Q 矩阵全稳定保守且确定唯一的 Q 过程, 则称此 Q 矩阵是正则的. 我们研究单生过程的理由主要是四个. 一是由于通常单生过程是非对称的, 而非对称过程的研究通常要困难得多, 因此, 这给我们的研究带来挑战. 注意生灭过程是最简单的对称过程, 而其研究也并不简单 (参见文献 [1–9]). 二是由于单生 Q 矩阵的流出边界至多一个极点, 从方程的观点来说, 我们处理的通常是单参数方程, 这又给研究带来希望. 三是单生过程本身有很强的应用背景, 在生物学、人口学、化学、经济学和电子通信等学科中都有重要的应用, 在种群理论中又称该过程为向上非跨跳过程 (skip-free upwardly process)、种群过程 (population process)、带大灾难的生灭过程 (birth and death process with catastrophes) 或分枝大灾难过程 (branching-catastrophe process), 参见文献 [10–15]; 也有人称之为广义生灭过程 (generalized birth and death process), 参见文献 [16–18]. 四是单生过程在理论上是一类极其重要的 Markov 过程, 在粒子系统的研究中有将多维过程用某个一维过程去控制的方法, 在实际应用中, 常常是将多维复杂过程与单生过程比较进行研究, 这使得单生过程往往成为研究一般 Markov 过程的切入点和有力工具, 参见文献 [5, 19–21]. 这些年来, 关于单生过程的研究已获得很多结果, 研究的侧重点也不一样, 一是主要用母函数的方法研究灭绝概率等问题, 自然要对 Q 矩阵施加条件, 即研究一些特定的单生 Q 矩阵 (参见文献 [10–15]). 二是对一般的单生 Q 矩阵使用分析方法研究其唯一性和遍历理论等经典问题; 对其唯一性、常返性、遍历性和强遍历性, 已得到了显式判别准则; 对指数遍历性也得到显式充分条件, 获得了其平稳分布、首次回返时 (击中时) 和占位时矩的显式表达. 参见文献 [5, 6, 16] 和 [20–39]. 特别地, 文献 [40] 研究了单生过程 Poisson 方程解的表示, 以此作为工具, 统一处理前面提到的单生过程经典问题的判别准则, 还包括回返时的多项式阶矩、指数阶矩、灭绝时的分布和灭绝概率等. 本文余下内容安排如下: 第 2 节介绍单生过程唯一性的显式判别准则; 第 3 节介绍单生过程常返性的显式判别准则、回返 (灭绝) 概率和平均占位时; 第 4 节介绍单生过程 Poisson 方程解的显式表示, 举例说明如何以其为工具, 统一处理单生过程的相关问题; 第 5 节介绍单生过程的遍历性和强遍历性的显式判别准则, 以及回返时一阶矩的显式表达; 第 6 节介绍单生过程回返时和生命时高阶矩的显式表达、ℓ 遍历的判别准则以及平稳分布的显式计算公式; 第 7 节介绍回返时 (生命时) 的指数阶矩和 Laplace 变换, 并涉及我们最关心的部分—单生过程指数遍历性, 给出单生过程指数遍历的一个显式充分条件; 最后一节回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的若干应用. 单生过程其他方面的研究, 如带吸收边界的单生过程, 可以参见文献 [20, 23, 27, 29], 而文献 [34] 则是研究带移民的单生过程; 文献 [41, 42] 分别研究了生灭过程和单生过程分离切断 (separation cutoff) 现象发生的显式判别准则, 这个方向的最新文章是文献 [43], 其工具是 Martin 边界理论、位势理论、波动理论和谱分析. 文献 [44] 用对偶方法通过分支过程研究一类单生过程. 文献 [45] 研究单生过程的中心极限定理. Ma1) 研究了单生 Q 矩阵的 Lipschitz 范数. 对于离散时间单生过程的研究, 参见文献 [46, 47]. 为节省篇幅, 不再一一详细介绍这些内容. 有兴趣的读者, 可以参考相应的文献. 本节最后, 为后面叙述方便, 引入一些单生过程的常用记号, 这些记号源于文献 [5]. 对 0 6 k < n, 定义 q (k) n = ∑k j=0 qnj . 再定义 F (n) n = 1, F(i) n = 1 qn,n+1 n∑−1 k=i q (k) n F (i) k , 0 6 i < n. (1.1) 1) Ma Y T. Lipschitz norm for Q-matrix of single birth processes. Preprint, 2007 622

中国科学 : 数学第 49 卷第 3 期 2 唯一性给定 Q 矩阵 Q = (qij ). 如果具非负性、Chapman-Kolmogorov 条件、连续性条件 (跳条件) 以及 P(t)1 6 1 的次转移概率矩阵 P(t), 满足 P ′ (t)|t=0 = Q, 则称该过程 P(t) 为 Q 过程. 从 ChapmanKolmogorov 方程出发, 可以导出两个微分方程: Kolmogorov 向后方程 P ′ (t) = QP(t), Kolmogorov 向前方程 P ′ (t) = P(t)Q. 类似于微分方程, 在实践中, 我们知道的是 Q 而非 P(t). 现在, 自然要问, 对于给定 Q 矩阵, Q 过程是否存在? 若存在又是否唯一? 回顾 Q 矩阵全稳定且保守的假设, 我们知道每一个 Q 过程都满足 Kolmogorov 向后方程. 由此出发, Q 过程的存在性和唯一性就转化为 Kolmogorov 向后方程的解的存在性和唯一性问题. 事实上, Q 过程总存在, 因为方程的最小解就是一个 Q 过程, 而且 Kolmogorov 向后、向前方程有相同的最小解. 将 P(t) 做 Laplace 变换得 P(λ): pij (λ) = ∫ ∞ 0 e −λtpij (t)dt. 相应的 Kolmogorov 方程为 pij (λ) = ∑ k̸=i qik λ + qi pkj (λ) + δij λ + qi , pij (λ) = ∑ k̸=j pik(λ) qkj λ + qj + δij λ + qi . 记最小过程为 P min(λ). 考虑 P(λ) − P min(λ), 由上述 Kolmogorov 向后方程知, 其为下面方程的解: ui = ∑ k̸=i qik λ + qi uk, 0 6 ui 6 1, i > 0. (2.1) 关于 Q 矩阵决定的 Q 过程唯一性的判别, 实际上有下面的结论 (参见文献 [48, 49]). 定理 2.1 给定全稳定保守 Q 矩阵 Q = (qij ), 则其决定的 Q 过程是唯一的, 当且仅当方程 (2.1) 对某个 (等价地, 对所有) λ > 0 只有平凡解, 或者说最大解为零解. 等价地, 方程 ui = ∑ k̸=i qik λ + qi uk, ui > 0, i > 0 (2.2) 对某个 (等价地, 对所有) λ > 0 的非平凡解无界. 此判别准则的优美之处是只用到 Q 矩阵, 但依赖方程解的性质, 然而方程的最大解存在迭代算法, 所以, 对单生过程, 一个更好的判别准则 (显式的、完全可计算的) 是可期盼的. 最终的确得到这样的唯一性判别准则. 注意它只依赖于单生 Q 矩阵, 因此是可计算的. 为陈述结论, 定义 m0 = 1 q01 , mn = 1 qn,n+1 ( 1 + n∑−1 k=0 q (k) n mk ) , n > 1. (2.3) 定理 2.2 给定全稳定保守单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则单生过程唯一 (非爆炸) 当且仅当 R := ∑∞ n=0 mn = ∞, 623

张余辉: 单生过程的研究进展其中 mn 由 (2.3) 定义. 这个结果先由文献 [16] 用概率方法给出, 而后, 文献 [20] 用分析方法证明. 对于吸收边界情形的非爆炸, 参见文献 [23, 27]. 对于带移民情形, 参见文献 [34]. 文献 [16] 证明了 mn = Enτn+1, R = E0τ∞, 其中 τn 为状态 n 的首次击中时, τ∞ := limn→∞ τn (极限以概率 1 存在), 故 τ∞ 可看作 ∞ 的首次击中时. 注意由单生的向上非跨跳性, τ∞ 几乎处处等于过程的飞跃时 (生命时). 对生灭 Q 矩阵 (ai , bi), (2.3) 有简单的形式: mn = 1 µnbn µ[0, n], n > 0, 其中 µ0 = 1, µi = b0b1 · · · bi−1 a1a2 · · · ai , i > 1, µ[i, k] = ∑ k j=i µj . 3 常返性、回返 (灭绝) 概率和平均占位时对于连续时间情形, 可以证明 pii(t) > 0 (t > 0), pij (t) 关于 t 在 (0, ∞) 上恒为正或恒为零. 因而不存在周期问题. 另外, (pij (t)) 不可约等价于 Q = (qij ) 不可约. 给定过程 P(t) = (pij (t)). 若对一切 h > 0, 离散链 P(h) 常返, 等价地, ∫ ∞ 0 pii(t)dt = ∞, 则称该过程 P(t) 为常返的. 对于嵌入链 (Πij ): Πij = 1{qi̸=0}(1 − δij ) qij qi + 1{qi=0}δij , 与最小过程有如下关系 (参见文献 [48]): 定理 3.1 给定全稳定保守 Q 矩阵 Q = (qij ), 则 ∫ ∞ 0 p min ij (t)dt = ∑∞ n=0 Π (n) ij qj . 特别地, 如果 Q 是不可约且正则的, 则相应的 Q 过程 P(t) 常返当且仅当嵌入链常返. 关于一般 Q 过程常返性的判别有如下引理 (参见文献 [5, 引理 4.51]). 定理 3.2 给定正则不可约 Q 矩阵 Q = (qij ), 则相应的 Q 过程常返当且仅当方程 xi = ∑ j̸=j0,i qij qi xj , 0 6 xi 6 1, i > 0 对某个 (等价地, 对所有) 固定的 j0 只有平凡解, 或者说最大解为零解. 等价地, 方程 xi = ∑ j̸=j0,i qij qi xj , xi > 0, i > 0 (3.1) 对某个 (等价地, 对所有) 固定的 j0 的非平凡解无界. 对嵌入链 (Πij ) 而言, 定义 σj0 为其 (首次) 回返时, fij0 := Pi(σj0 < ∞), 则 (fij0 : i ∈ E) 是下列方程的最小非负解: xi = ∑ k̸=j0 Πikxk + Πij0 , i > 0, 624

中国科学 : 数学第 49 卷第 3 期而嵌入链 (Πij ) 常返当且仅当 fij0 ≡ 1. 由这些事实, 再结合定理 3.1, 不难得到定理 3.2 的结果. 这个判别准则也依赖于方程解的性质, 对于单生过程, 我们还是希望得到一个只依赖于单生 Q 矩阵的判别准则, 即是显式的、可计算的. 答案如下 (此结果最早由文献 [20] 得到). 定理 3.3 给定正则不可约单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则其相应的单生过程常返当且仅当 ∑∞ n=0 F (0) n = ∞, 其中 F (k) n 由 (1.1) 所定义. 由后面的定理 3.4 的结论, 我们将更好地理解此准则的概率意义. 对生灭 Q 矩阵 (ai , bi), (1.1) 有简单的形式: F (0) n = b0 µnbn , n > 0. 对可数状态一般 Markov 过程的回返 (或灭绝) 概率, 文献 [50, 第 9 章] 有很多研究, 对单生过程的回返 (或灭绝) 概率, 文献 [10, 第 9 章] 和 [12] 则是较早研究的, 方法不同于文献 [40]. 定义 σ0 为状态 0 的回返时, 即 σ0 = inf{t > 首次跳时刻: Xt = 0}. 单生过程的回返 (灭绝) 概率结果如下. 定理 3.4 给定正则不可约单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则回返 (或灭绝) 概率为 P0(σ0 < ∞) = 1 − 1 ∑∞ k=0 F (0) k , Pn(σ0 < ∞) = 1 − ∑n−1 k=0 F (0) k ∑∞ k=0 F (0) k , n > 1. 进而, Pn(σ0 < ∞) = 1 (n > 0) 当且仅当 P0(σ0 < ∞) = 1, 等价地, 当且仅当 ∑∞ n=0 F (0) n = ∞. 本节最后, 我们来考虑单生过程状态 j 的所谓平均占位时: EiTj := Ei ∫ ∞ 0 1{X(t)=j}dt = ∫ ∞ 0 pij (t)dt. 用单生过程嵌入链回返概率的表示和定理 3.1 的结果可以证明下面结论 (参见文献 [28]). 定理 3.5 给定不可约全稳定保守单生 Q 矩阵 Q = (qij ), 则对任意 i, j ∈ E, 最小单生过程的平均占位时有如下表示: EiTj = 1 qj,j+1 ∑∞ n=i∨j F (j) n , 其中 a ∨ b := max{a, b}. 4 Poisson 方程的解本节介绍单生过程 Poisson 方程解的显式表示, 以此为工具, 简略证明前两节的定理 2.2、3.3 和 3.4, 用这些例子说明对单生过程相关问题统一处理的方法. 给定全稳定保守单生 Q 矩阵 Q = (qij ). 再给定函数 c. 定义算子 Ω: Ωg = Qg + cg, 其中 (Qg)i = ∑ j qij (gj − gi). 显然, 如果 c 6 0, 则 Ω 是带杀死速率 (−ci) 的 (非保守) 单生过程生成元算子. 定义 Fe(i) i = 1, Fe(i) n = 1 qn,n+1 n∑−1 k=i q˜ (k) n Fe(i) k , n > i > 0, (4.1) 625