张余辉:单生过程的研究进展 要注意,如果c≤0,则4)≥0.,F()≥0(n>k≥0).一旦c≡0,我们省略F和的上标“”,自然 回到第1节原来的定义约定∑=0.我们的结论如下 定理41给定全稳定保守单生Q矩阵Q=(q)及两个函数c和f,则 Poisson方程 的解g有如下表示: F60(f-c190) 0≤k≤n-10≤j≤k 特别地,算子g的调和函数g(即gg=0)可以表示为 反之,对每个边界初值90∈R,(4.4)定义的函数(n)是 Poisson方程(43)的一个解 文献[1]引进了一种近乎调和的H变换,显式构造了一大类积分算子和二阶微分算子的等谱算 子.这使得先前所研究的较小一类算子的谱性质(或主特征值估计)可立即扩充到很大一类算子.我 们知道,带位势所对应的是 Schrodinger算子,与无位势情形相比,其难度主要表现在:无位势情形的 特征函数是单峰的,但带位势情形的特征函数却可以相当振荡.现在通过H变换方法,可将带位势情 形化为无位势情形,从而将后者已有的全部结果推广到前者中去.特别地,文献[51]在对带杀死速率 的生灭过程主特征值进行估计时,使用了H变换,其中H函数的单调性质可以由定理41中解的表 示来得到 定理4』的证明关键要用到下面的结论(参见文献[40,推论23]) 命题42给定函数f,递归定义数列(hn ()h ≥1 i≤k≤n-1 或者说,(hn)为以下方程的解 ∑)h+一hn 则(hn)有下面的统一表示 fk 特别地,(41)定义的数列(F)有下面的表示 F( F n≥i+1. qk.k+1 26
张余辉: 单生过程的研究进展 q˜ (k) n = q (k) n − cn := ∑ k j=0 qnj − cn, 0 6 k < n. (4.2) 要注意, 如果 c 6 0, 则 q˜ (k) n > 0, Fe(k) n > 0 (n > k > 0). 一旦 ci ≡ 0, 我们省略 Fe 和 q˜ 的上标 “e”, 自然 回到第 1 节原来的定义. 约定 ∑ ∅ = 0. 我们的结论如下. 定理 4.1 给定全稳定保守单生 Q 矩阵 Q = (qij ) 及两个函数 c 和 f, 则 Poisson 方程 Ωg = f (4.3) 的解 g 有如下表示: gn = g0 + ∑ 06k6n−1 ∑ 06j6k Fe(j) k (fj − cjg0) qj,j+1 , n > 0. (4.4) 特别地, 算子 Ω 的调和函数 g (即 Ωg = 0) 可以表示为 gn = g0 ( 1 − ∑ 06k6n−1 ∑ 06j6k Fe(j) k cj qj,j+1 ) , n > 0. 反之, 对每个边界初值 g0 ∈ R, (4.4) 定义的函数 (gn) 是 Poisson 方程 (4.3) 的一个解. 文献 [51] 引进了一种近乎调和的 H 变换, 显式构造了一大类积分算子和二阶微分算子的等谱算 子. 这使得先前所研究的较小一类算子的谱性质 (或主特征值估计) 可立即扩充到很大一类算子. 我 们知道, 带位势所对应的是 Schr¨odinger 算子, 与无位势情形相比, 其难度主要表现在: 无位势情形的 特征函数是单峰的, 但带位势情形的特征函数却可以相当振荡. 现在通过 H 变换方法, 可将带位势情 形化为无位势情形, 从而将后者已有的全部结果推广到前者中去. 特别地, 文献 [51] 在对带杀死速率 的生灭过程主特征值进行估计时, 使用了 H 变换, 其中 H 函数的单调性质可以由定理 4.1 中解的表 示来得到. 定理 4.1 的证明关键要用到下面的结论 (参见文献 [40, 推论 2.3]). 命题 4.2 给定函数 f, 递归定义数列 (hn): hn = 1 qn,n+1 ( fn + ∑ i6k6n−1 q˜ (k) n hk ) , n > i, 或者说, (hn) 为以下方程的解: hn = 1 qn ∑ i6k6n−1 q˜ (k) n hk + q (n−1) n qn hn + fn qn , n > i, 则 (hn) 有下面的统一表示: hn = ∑n k=i Fe(k) n qk,k+1 fk, n > i. 特别地, (4.1) 定义的数列 (Fe(k) n ) 有下面的表示: Fe(i) i = 1, Fe(i) n = ∑n k=i+1 Fe(k) n q˜ (i) k qk,k+1 , n > i + 1. (4.5) 626
中国科学:数学第49卷第3期 下面举例说明如何用定理4.1来证明单生过程的一些相关结果 定义 由命题42及(4.1)和(4.6)立刻得到 F ,n≥0. 定理2.2的证明由文献5,定理2.47和2.40或定理21,单生过程唯一当且仅当对某个(等 价地,对所有)A>0,方程 i≥0, (4.8) 的解(u)无界.改写(4.8)为 2u= Qu-Au=0 应用定理41,此时c≡-A,f≡0,我们得到唯一解: 1+入 显然,n关于n单调增加,因此,其无界当且仅当∑nmn=∞.剩下的只需证明两个级数∑nmn和 ∑nmn=∞等价.为节省篇幅,我们在此略去,有兴趣者可参见文献[40 定理33的证明由文献[5,引理4.51]或定理32,单生过程常返当且仅当方程 0≤r;≤ 只有零解.容易看出,后者等价于方程 i≥0,x0=1 的解无界.改写上述方程为 应用定理4.1,此时c≡0,f1=90(1-6o),立刻得到唯一解: 由(4.7)推出 ∑F=∑ ≥1 显然,(xn)无界当且仅当∑x=0F8=∞.换而言之,方程(4.9)只有零解当且仅当∑0F0=∞.口 627
中国科学 : 数学 第 49 卷 第 3 期 下面举例说明如何用定理 4.1 来证明单生过程的一些相关结果. 定义 me 0 = 1 q01 , me n = 1 qn,n+1 ( 1 + n∑−1 k=0 q˜ (k) n me k ) , n > 1, (4.6) 由命题 4.2 及 (4.1) 和 (4.6) 立刻得到 Fe(i) n = ∑n k=i+1 Fe(k) n q˜ (i) k qk,k+1 , n > i > 0, me n = ∑n k=0 Fe(k) n qk,k+1 , n > 0. (4.7) 定理 2.2 的证明 由文献 [5, 定理 2.47 和 2.40] 或定理 2.1, 单生过程唯一当且仅当对某个 (等 价地, 对所有) λ > 0, 方程 (λ + qi)ui = ∑ j̸=i qijuj , i > 0, u0 = 1 (4.8) 的解 (ui) 无界. 改写 (4.8) 为 Ωu = Qu − λu = 0, u0 = 1. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ −λ, fi ≡ 0, 我们得到唯一解: un = 1 + λ ∑ 06k6n−1 ∑ k j=0 Fe(j) k qj,j+1 = 1 + λ ∑ 06k6n−1 me k, n > 0. 显然, un 关于 n 单调增加, 因此, 其无界当且仅当 ∑ n me n = ∞. 剩下的只需证明两个级数 ∑ n me n 和 ∑ n mn = ∞ 等价. 为节省篇幅, 我们在此略去, 有兴趣者可参见文献 [40]. 定理 3.3 的证明 由文献 [5, 引理 4.51] 或定理 3.2, 单生过程常返当且仅当方程 xi = ∑ k̸=0 Πikxk, 0 6 xi 6 1, i > 0 (4.9) 只有零解. 容易看出, 后者等价于方程 xi = ∑ k̸=0 Πikxk, i > 0, x0 = 1 的解无界. 改写上述方程为 (Qx)0 = 0, (Qx)i = qi0, i > 1, x0 = 1. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ 0, fi = qi0(1 − δi0), 立刻得到唯一解: x0 = 1, xn = 1 + n∑−1 k=1 ∑ k j=1 F (j) k qj0 qj,j+1 = 1 + n∑−1 k=1 ∑ k j=1 F (j) k q (0) j qj,j+1 , n > 1. 由 (4.7) 推出 xn = 1 + n∑−1 k=1 F (0) k = n∑−1 k=0 F (0) k , n > 1. 显然, (xn) 无界当且仅当 ∑∞ k=0 F (0) k = ∞. 换而言之, 方程 (4.9) 只有零解当且仅当 ∑∞ k=0 F (0) k = ∞. 627
张余辉:单生过程的研究进展 定理3.4的证明由文献⑤5,引理4.46,取H={0},可知(P(o0<∞):i∈E)是下面方程的 最小非负解: 上述方程等价于 ( Q 应用定理41,此时c≡0,f=90(1-60)(xo-1),结合(47),得到 因为xn>0,所以可推出 k=0 由此得到最小非负解 1 ≥1. 证毕 对单生过程,我们关心的几乎所有问题都与特定的 Poisson方程有关.下面列出各种问题相应 Poisson方程的函数c和f(见表1) 注意,在遍历性和强遍历性两种情形,虽然 Poisson方程及函数c和f相同,但解分别是有限和有 界的 总之,我们的统一处理方法分三步:第1步,建立所研究问题对应的 Poisson方程;第2步,应用 定理4.1得到 Poisson方程的解;第3步,利用得到的 Poisson方程解的性质推出所研究问题的答案 表1单生过程几种问题对应的 Poisson方程 问题 调和函数 f:≡0 唯一性 A<0 常返性 回返(灭绝)概率 f;=qa0(1-6o)(9o-1) 遍历性 f1=qa0(1-50) 强遍历性 多项式阶矩 c1≡0f1=qi0(1-61o)910-E;o-1 指数阶矩/指数遍历性c≡A>0 回返时的 Laplace变换c≡-<0f1=qo0(1-50)(90-1) 28
张余辉: 单生过程的研究进展 定理 3.4 的证明 由文献 [5, 引理 4.46], 取 H = {0}, 可知 (Pi(σ0 < ∞) : i ∈ E) 是下面方程的 最小非负解: xi = ∑ k̸=0,i qik qi xk + qi0 qi (1 − δi0), i > 0. 上述方程等价于 (Qx)i = qi0(1 − δi0)(x0 − 1), i > 0. 应用定理 4.1, 此时 ci ≡ 0, fi = qi0(1 − δi0)(x0 − 1), 结合 (4.7), 得到 xn = x0 ( 1 + ∑ 16k6n−1 F (0) k ) − ∑ 16k6n−1 F (0) k , n > 0. 因为 xn > 0, 所以可推出 x0 > sup n>1 ∑n−1 k=1 F (0) k ∑n−1 k=0 F (0) k = 1 − 1 ∑∞ k=0 F (0) k . 由此得到最小非负解: x ∗ 0 = 1 − 1 ∑∞ k=0 F (0) k , x∗ n = 1 − ∑n−1 k=0 F (0) k ∑∞ k=0 F (0) k , n > 1. 证毕. 对单生过程, 我们关心的几乎所有问题都与特定的 Poisson 方程有关. 下面列出各种问题相应 Poisson 方程的函数 c 和 f (见表 1). 注意, 在遍历性和强遍历性两种情形, 虽然 Poisson 方程及函数 c 和 f 相同, 但解分别是有限和有 界的. 总之, 我们的统一处理方法分三步: 第 1 步, 建立所研究问题对应的 Poisson 方程; 第 2 步, 应用 定理 4.1 得到 Poisson 方程的解; 第 3 步, 利用得到的 Poisson 方程解的性质推出所研究问题的答案. 表 1 单生过程几种问题对应的 Poisson 方程 问题 ci ∈ R fi ∈ R 调和函数 ci ∈ R fi ≡ 0 唯一性 ci ≡ −λ < 0 fi ≡ 0 常返性 ci ≡ 0 fi = qi0(1 − δi0) 回返 (灭绝) 概率 ci ≡ 0 fi = qi0(1 − δi0)(g0 − 1) 遍历性 ci ≡ 0 fi = qi0(1 − δi0)g0 − 1 强遍历性 ci ≡ 0 fi = qi0(1 − δi0)g0 − 1 多项式阶矩 ci ≡ 0 fi = qii0 (1 − δii0 )gi0 − ℓEiσ ℓ−1 i0 指数阶矩/指数遍历性 ci ≡ λ > 0 fi = qi0(1 − δi0)(g0 − 1) 回返时的 Laplace 变换 ci ≡ −λ < 0 fi = qi0(1 − δi0)(g0 − 1) 628