1-3-2 相对误差和相对误差限 定义设元是x的近似值，称 或6，交x 为近似值元的相对误差.若存在E,>0使得 lerl≤er 则称E,为相对误差限。 ⊙近似值的精确程度通常取决于相对误差的大小； ⊙实际计算中我们所能得到的通常是相对误差限（所能找到的最小上界）： ⊙绝对误差有量纲，但相对误差没有 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 7/39
1-3-2 相对误差和相对误差限 定义 设 x˜ 是 x 的近似值, 称 ϵr ≜ x˜ − x x 或 ϵr ≜ x˜ − x x˜ 为近似值 x˜ 的 相对误差. 若存在 εr > 0 使得 |ϵr| ≤ εr , 则称 εr 为相对误差限. 近似值的精确程度通常取决于相对误差的大小; 实际计算中我们所能得到的通常是相对误差限 (所能找到的最小上界); 绝对误差有量纲, 但相对误差没有. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/39
有效数字 1-3-3 有效数字 例已知精确值π=3.14159265·，则近似值x1=3.14有3位有效数字，近似值x2= 3.1416有5位有效数字，近似值x3=3.1415有4位有效数字. 从上面的例子中可以看出，我们在计算有效数字的个数时，是从最小的有效数字位开始往前 数，直至第一个非零数字为止.如果总共有n个数字，那么我们就称其有n位有效数字 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 8/39
有效数字 1-3-3 有效数字 例 已知精确值 π = 3.14159265 · · · , 则近似值 x1 = 3.14 有 3 位有效数字, 近似值 x2 = 3.1416 有 5 位有效数字, 近似值 x3 = 3.1415 有 4 位有效数字. 从上面的例子中可以看出, 我们在计算有效数字的个数时, 是 从最小的有效数字位开始往前 数, 直至第一个非零数字为止. 如果总共有 n 个数字, 那么我们就称其有 n 位有效数字. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/39
有效数字的判断 定理设元是x的近似值，若元可表示为 元=士0.a1a2…an…×10m 其中a是0到9中的数字，且a1≠0.若 0.5×10m-n-1<z-x≤0.5×10m-" 则元恰好有n位有效数字。 等价描述 若0.5×10-1<它-x≤0.5×10，则交恰好有m-k位有效数字 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 9/39
有效数字的判断 定理 设 x˜ 是 x 的近似值, 若 x˜ 可表示为 x˜ = ±0.a1a2 · · · an · · · × 10m, 其中 ai 是 0 到 9 中的数字, 且 a1 ̸= 0. 若 0.5 × 10m−n−1 < |x˜ − x| ≤ 0.5 × 10m−n , 则 x˜ 恰好有 n 位有效数字. 等价描述 若 0.5 × 10k−1 < |x˜ − x| ≤ 0.5 × 10k , 则 x˜ 恰好有 m − k 位有效数字. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/39
四舍五人 例根据四舍五入原则写出下列各数的具有5位有效数字的近似值： 187.9325.0.03785551.8.000033. 按四舍五入原则得到的数字都是有效数字 白一个数末尾的0不可以随意添加或省略 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 10/39
四舍五入 例 根据四舍五入原则写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值: 187.9325, 0.03785551, 8.000033. ✍ 按四舍五入原则得到的数字都是有效数字. ✍ 一个数末尾的 0 不可以随意添加或省略. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 10/39
有效数字与误差限 实际计算中，往往只知道误差限，由此可判断有效数字的最少个数， 推论设元是x的近似值，若元可表示为 =±0.a1a2…an…×10m, 其中a是0到9中的数字，且a1≠0.若 2-xl≤0.5×10m-n 则立至少有n位有效数字. 例已知精确值x=2.7182818·,则近似值x1=2.7182和x2=2.7183分别有几位有 效数字？ (板书，4,5) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 11/39
有效数字与误差限 实际计算中, 往往只知道误差限, 由此可判断有效数字的最少个数. 推论 设 x˜ 是 x 的近似值, 若 x˜ 可表示为 x˜ = ±0.a1a2 · · · an · · · × 10m, 其中 ai 是 0 到 9 中的数字, 且 a1 ̸= 0. 若 |x˜ − x| ≤ 0.5 × 10m−n , 则 x˜ 至少有 n 位有效数字. 例 已知精确值 x = 2.7182818 · · · , 则近似值 x1 = 2.7182 和 x2 = 2.7183 分别有几位有 效数字? (板书, 4, 5) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 11/39