西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 线性离散系统的分析与综合

二.Z变换的基本定理 (1)线性定理 Z(t)=aX(z) Z[X1(t)±x2(t)]=X1(Z)±x2(Z) 证明:由X(Z=∑X(mTz"有 Z|ax(=∑aX(m)n=a∑XmI)Z=aX(Z zX1()±x2(=∑{1(mT)±X2(nT)Z} ∑X1(m"±∑X2(n0)Z =X1(Z±X2(Z (2)实数位移定理 (a迟后定理 设在t<0时,连续函数X(t)为零,上其Z变换存在,则 ZIX(t-KTO=ZX(Z

Z[X (t) X (t)] X (Z) X (Z) Z[ax(t)] aX(Z) 1  2  1  2  X (Z) X (Z) X (nT )Z X (nT )Z Z[X (t) X (t)] {X (nT ) X (nT )]Z } Z[aX(t)] aX(nT )Z a X(nT )Z aX(Z) : X(Z) X(nT )Z 1 2 n 0 n 0 n 2 0 n 1 0 n 0 n 1 2 1 0 2 0 n 0 n 0 n 0 n 0 n 0 n 0                                   证明 由  有 Z[X(t- kT )] Z X(Z) t 0 , X(t) , Z , -k 0  设在  时连续函数 为零上其 变换存在则 二.Z变换的基本定理 (1)线性定理 (2)实数位移定理 (a)迟后定理

证明:由Z变换定义 ZX(t-k)=∑X(m-kTn)Z =X(-kT)+X(T0-kT)z+…+X(0)Z+X(I0)Z“ +…+X(mT0)Z++ X(-kT)=X(1-k)ol=…=x(-T0)=0 ZIXI(t-KTo)|=X(O)Z+X(To)(+)+.+X(nTo )Z- ktn) +…=Z“x(0)+x(T)z-+…+X(n1G)z+… =ZX(Z)证毕 说明:(1)迟后定理说明,原函数在时域中延 迟K个采样周期,相当于Z变换乘以zK。 (2)算子ZK的物理意义:zK代表迟后 环节,它把采样信号延迟K个采样周期

证毕 证明 由 变换定义 Z X(Z) Z [X(0) X(T )Z X(nT )Z ] Z[X[(t - KT )] X(0)Z X(T )Z X(nT )Z X(-kT ) X[(1- K)T ] X(-T ) 0 X(nT )Z X(-kT ) X(T -kT )Z X(0)Z X(T )Z Z[X(t - kT )] X(nT kT )Z : Z -k n 0 1 0 -k -(k n) 0 -(k 1) 0 -k 0 0 0 0 -(k n) 0 -(k 1) 0 -1 -k 0 0 0 n 0 n 0 0 0                                              说明:(1)迟后定理说明,原函数在时域中延 迟K个采样周期,相当于Z变换乘以Z-K 。 (2)算子Z-K的物理意义: Z-K代表迟后 环节,它把采样信号延迟K个采样周期

(b)超前定理 Z1X(t+kT川=ZX(∑X(nZ1 证明:zX(+kT)=∑X(nT+k7)z =X(k7)+X(k+1)1+X(k+2)1z2+……,+X(nT+kT)z-"+ Z-IX(kTo)ZK+XI(k+1)ToJZ-++. =z{X(0)+X(T)Z+…+X(k-1)Tz+X(kT)z+X(K+1)TZ(+ X(0)-X(T)Z-……-X(k-1Tz-B zX(z)-∑X(nT)z=" k=1时 ZIX(t+2TO)=ZX(2)-ZX(O) k=2时 ZIx(t+2T0=Z X()-ZX(0)-ZxTo) 当k=m时 ZIx(t+mTo=Z X(2) X(0-ZXTo-ZX(2T XI(m-lTol

....... [( 1) ] k m [ ( )] ( ) (0) ( ) (2 ) .........2 [ ( 2 )] ( ) (0) ( ) 1 [ ( 2 )] ( ) (0) [ ( ) ( ) ] (0) ( ) ...... [( 1) ] ]} { (0) ( ) ...... [( 1) ] ( ) [( 1) ] [ ( ) [( 1) ] ......] ( ) [( 1) ] [( 2) ] ....... ( ) ...... : Z[X(t kT )] ( ) 0 0 2 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 ( 1) 0 1 0 ( 1) ...... 0 0 ( 1) 0 1 0 ( !) 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 ZX m T Z X t mT Z X Z Z X Z X T Z X T k Z X t T Z X Z Z X ZX T k Z X t T ZX Z ZX Z X Z X nT Z X X T Z X k T Z Z X X T Z X k T Z X kT Z X K T Z Z X kT Z X k T Z X kT X k T Z X k T Z X nT kT Z X nT kT Z m m m m k n k n k k k k k k k k n n n                                                                             当 时 时 时 证明 [ ( )] [X(Z)- X(nT ) ] 0 K-1 n 0 T0 Z Z k n Z X t k      (b)超前定理

例1用实数位移定理计算延退一个采样周 期的单位阶跃函数的/变换。 解 zI(t-To=Z ZI(tI 例2:计算延迟一个采样周期的指数函数ea的 变换。 解 zera(t-to=z- zle-aTon Z,2

1 1 1 1 1 0 Z[1(t-T )] [1( )]        Z Z Z Z Z Z t   0 -aT 0 -aT 0 . 0 Z-e 1 Z-e -1 Z -a t-T -1 Z Z[e ] Z Z[ ]    aT e 例1:用实数位移定理计算延迟一个采样周 期T的单位阶跃函数的Z变换。 例2：计算延迟一个采样周期的指数函数e -at的 变换。 解： 解：

(3)终值定理 设连续时间函数X(t)的Z变换为X(Z), 不含Z=1的二重以上极点,在单位圆外 无极点,则有 lim x(t)=lim(z-1)x(z) t→)0 Z→1 (4)初值定理 设函数x(Z变换为X(Z),并且limX(Z)存在, Z→0 X(0)=limx(l) Z→0

x(0) lim X(Z) x(t) Z X(Z), lim X(Z) , lim x(t) lim[(z 1)x(z)] , Z 1 , X(t) Z X(Z), z z t z 1         则 设函数 的 变换为 并且 存在 无极点则有 不含 的二重以上极点在单位圆外 设连续时间函数 的 变换为 (3)终值定理 (4)初值定理