§22迭代法 迭代法的建立与收敛性 1建立:f(x)=0改写x=q(x)G,续) n+1 q(xn)(n=0,1,2,…) 取定初值x 则产生数列x1,x2…,xn,2xn+1 若收敛,设极限为a,则 lim li n→>0“n+1-n-)∞ P(m a=p(a)
§2.2 迭代法 1.建立: f (x) = 0改写x =(x)， ( f，连续） 0 1 ( ) ( 0,1,2,...) x xn xn n 取定初值 + = = 若收敛，设极限为 ， 则 则产生数列 , ,..., , ..., x1 x2 xn xn+1 一. 迭代法的建立与收敛性 ( ) ( ) lim 1 lim n→ xn+ = n→ xn =
即a是∫(x)=0之根,故当n充分大时,xn1可作为近似值 问题:(x)形式不唯一,如: x-10+2=0分x=10-2或x=lg(x+2) n+1=10 2取xn=3 n+1下 lg(xn+2)取x0=3 计算结果见表4收敛性不同
即是 f (x) = 0之根，故当n充分大时, xn+1 可作为近似值 10 2 0 10 2 lg( 2) ( ) x − + = x = − x = x + x x x 或 问题： 形式不唯一，如： 计算结果见表 收敛性不同。 取 取 2.4 lg( 2) 3 10 2 3 1 0 1 0 = + = = − = + + x x x x x n n x n n
2收敛定理(定理2.2) 设g(x)在a,b (1)当a≤x≤b时,a≤q(x)≤b; (2)x∈[a,bl,g'(x)KL<1(L为常数) 则:①1)方程x=φ(x)在a,b有唯一根a; (2)Vx∈a,b],xn+1=p(x)收敛到a (3)|xn-a≤, L
2.收敛定理（定理2.2） 设 (x)在[a,b] (2) x[a,b],|'(x)| L 1 (L为常数） 1 0 0 1 1 3 | | 2 [ , ], ( 1 ( ) [ , ] x x L L x x a b x x x x a b n n n n − − − = = + （ ） （ ） ）收敛到 则：（ ）方程 在 有唯一根 ； （1）当a x b时，a (x) b;
证:(1)设g(x)=x-p(x),则 (a)=a-q(a)≤0,g(b)=b-q(b)≥0, 故至少有a∈{a,b,使 g(a)=0, 又g'(x)=1-q'(x)>0,g(x)递增, 故根a唯
. '( ) 1 '( ) 0, ( ) ( ) 0, [ , ], ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, (1) ( ) ( ), 故 根 唯 一 又 递增， 故至少有 使 证 ： 设 则 g x x g x g a b g a a a g b b b g x x x = − = = − = − = −
(2xmn-a=p(x)-g(a)中值定理q(5n)(xn-a) ≤Lx.- 大 <D a≤…≤L n+1 o|->0 (当n→∞时) xn+1→a,故收敛
(2) → xn+1 ，故收敛。 ( ) 0 0 1 1 2 当 → 时 − − + − → n L x L x n n 中值定理 − − + − = − n n n n n L x x (x ) ( ) '( )(x ) 1 (＊ )1