§1.1复数 数的扩张（完善化) 加法运算：在自然数域N中进行.逆运算（减)出现了零和 负数.自然数域扩大到整数域☑ 乘法运算：在整数域☑中进行.逆运算（除）出现了分数 (有限小数和无限循环小数)，整数域扩大到有理数域Q。 乘方运算：在有理数域中进行.逆运算（开方） 出现无理 数（无限不循环小数)和纯虚数。 比乘方的开方逆运算更复杂的逆运算，如解一元二次方程， 将出现复数，数域扩大到复数域。 复数： Z=a+ib (,b为实数) i=√-l 一虚单位 显然： 2=-1,=-i,i4=1
6 数的扩张（完善化） § 1.1 复 数 加法运算：在自然数域N中进行. 逆运算（减）出现了零和 负数. 自然数域扩大到整数域Z. 乘法运算：在整数域Z中进行. 逆运算（除） 出现了分数 （有限小数和无限循环小数），整数域扩大到有理数域Q。 乘方运算：在有理数域中进行. 逆运算（开方） 出现无理 数（无限不循环小数）和纯虚数。 比乘方的开方逆运算更复杂的逆运算，如解一元二次方程， 将出现复数，数域扩大到复数域。 复数： Z a ib = + （a, b为实数） i = −1 －虚单位 显然： 2 3 4 i i i i = − = − = 1, , 1
一、复数的表示法 1、在平面坐标系中 x轴为实轴，单位为1；y轴为虚轴，单 位为i. 代数式：=x+i水.x为z的实部，记为Rz, y为z的虚部，记为Im 显然，一个复数与复平面上一个点有着 一一对应的关系。 2、在极坐标中 x轴为极轴，x、y看成矢量z的直角分量，矢量长度为，与极 轴正方向的夹角为p. 三角式：z=rcosp-+irsinp=r(cosp+isinp)
7 一、复数的表示法 1、在平面坐标系中 x轴为实轴，单位为1；y轴为虚轴，单 位为i. 代数式：z=x+iy. x为z的实部，记为Rez， y为z的虚部，记为Imz. 显然，一个复数与复平面上一个点有着 一一对应的关系。 2、在极坐标中 x轴为极轴，x、y看成矢量z的直角分量，矢量长度为r，与极 轴正方向的夹角为. 三角式： z r ir r i = + = + cos sin (cos sin )
根据欧拉关系： ei=cos+ising. e-io=coso-ising. t=reig 指数式 问题：欧拉关系为什么成立？ 如果注意高数中的泰勒展开就知道。 e-r n=0n 心-会aor22-ro-会24nrpm =cos⑩+isino
8 根据欧拉关系: cos sin . cos sin . i i e i e i − = + = − i z re = 指数式 问题：欧拉关系为什么成立？ 如果注意高数中的泰勒展开就知道。 0 2 2 1 0 0 0 1 ! 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ! (2 )! (2 1)! cos sin x n n i n n n n n n n n e x n e i i n n n i = + = = = = = = − + − + = +
根据欧拉关系： ei=coso+ising. e-io coso-ising. =reφ 指数式 欧拉关系也可写成 cosp-() (e-ee) 1 矢量x的长度r称为复数z的模，记为Iz非r=√x+y2 矢量z与极轴正方向的夹角p称为复数的幅角，记为Agz.对于 同一矢量z,其幅角可以相差2kπ，即Argz=P+2kπ 通常规定-Kp≤π为复数x幅角的主值，记为argz.(也有的规 定0Kφ≤2π为幅角主值) argz=p=rcg之，(-π<p≤π)
9 根据欧拉关系: cos sin . cos sin . i i e i e i − = + = − i z re = 指数式 欧拉关系也可写成 1 cos ( ), 2 1 sin ( ). 2 i i i i e e e e i − − = + = − 矢量z的长度r称为复数z的模，记为|z|. 2 2 | | z r x y = = + 矢量z与极轴正方向的夹角称为复数的幅角，记为Argz. 对于 同一矢量z，其幅角可以相差2k，即= Argz= 0+ 2k 通常规定-< 0 为复数z幅角的主值，记为argz. (也有的规 定0< 02 为幅角主值) 0 0 arg , ( ) y z arctg x = = −
若规定 π 2 则 在第一、 四象限内，风=mg士 在第二象限内， P=+arctg 在第三象限内， 9=-+arctg 讨论： 1、复数相等.两复数的实部、虚部都相等.复数不能比较大小. 2、复数共轭. z=x+y=rep其共轭复数：z=x-y=rep (x,y) 显然，共轭点关于实轴为对称。 √2z=√x+y(x-i)=Vx2+y2=rz -·z(x,-y)
10 若规定 , 2 2 y arctg x − 在第一、四象限内， 0 y arctg x = 在第二象限内， 0 y arctg x = + 在第三象限内， 0 y arctg x = − + 讨论： 1、复数相等. 两复数的实部、虚部都相等. 复数不能比较大小. 2、复数共轭. i z x iy re = + = 其共轭复数： * i z x iy re− = − = • • z x y ( , ) * z x y ( , ) − x y 显然，共轭点关于实轴为对称。 * 2 2 zz x iy x iy x y r z = + − = + = = ( )( ) | | 则