读材料 类比 学习分式时,我们注意将分式与分数进行类比,通过回忆分数的有关知识来 探索、发现、建立分式的新知识 鲁班由小茅草割破手发明了锯,维也纳医生奥恩布鲁格由父亲敲击酒桶判 断酒的多少发明了扣诊法,仿生学利用生物的结构和功能原理来研制机械或各 种新技术,这些平凡而伟大的创意都源自类比 什么是类比呢?数学家、数学教育家波利亚说过:“类比就是一种相似.”具 体地说,类比是一种推理形式,当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以 后,可能(并非必定)推出它们在其他某些性质上的类似 这种推理形式的结构可以表示如下: 对象A有性质 对象B有性质a,b,C, 推测(猜想):B可能也有性质 就拿分数和分式来说吧从表示形式和意义来看,分数的形式是m(m、n 是整数,n≠0),它表示两个整数的商:分式的形式是自(A、B是整式,B≠0), 它表示两个整式的商 从基本性质来看,分数的分子、分母同乘以一个不等于零的数,分数的大小 不变,它是分数约分和通分的依据;分式也有类似的基本性质,它是分式约分和 通分的依据 其他方面,从约分、通分到运算,甚至是最简分式与最简分数(既约分数)的 念,分式与分数都十分相似! 类比是我们学习数学的一种有效方法,我们还可以举出许多例子,如学习整 式时,常常可以和整数类比两个整数的和、差、积仍是整数,但两个整数的商却
未必是整数,从而需要引进分数;类似地,两个整式的和、差、积仍是整式,但两个 整式的商未必是整式,从而需要引进分式整式的因式分解可以与整数的因数分 解类比,等等 类比能揭示自然界的奥秘,它是数学发现的重要方法,但类比不具有证明的 力量,由类比得到的结论可能成立,也可能不成立,需要进一步研究,加以证明或 反驳 科学家将火星与地球作了类比,发现火星有很多与地球类似之处:火星是行 星,围绕太阳运行,绕轴自转;火星上有大气层,空气成分很类似,一年中有四季 的变更;火星上有水,大部分时间的温度造合地球上某些已知生物的生存地球 上有生命存在,科学家推测:火星上也可能有生命存在!但事实究竟怎样,还需 进一步的科学考证 在数学学习时理解这一点也很重要.例如,学习一元一次不等式,它的解法 步骤与解一元一次方程非常相似不等式与等式的性质也有类似的地方,但是不 能全盘照搬,特别是不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向要改变,在 运用类比时应该引起注意 63/可化为一元一次 方程的分式方程 向题 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行 60千米所需的时间相同已知水流的速度是3千米/时, 求轮船在静水中的速度 2
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时,根据题意, 得 3=3 概括 方程(*)中含有分式,并且分母中含有未知数,像 这样的方程叫做分式方程 思考 怎样解分式方程呢?有没有办法可以去掉分式方程 中的分母,把它转化为整式方程呢?试动手解一解上面 回顾一下解一 列出的方程(*) 元一次方程时是怎 样去分母的,从中能 否得到一点启发 解》方程两边同乘以(x+3)(x-3),约去分母 得 80(x-3) 解这个整式方程,得 由此可得问题的答案:轮船在静水中的速度为21千 米/时
概括 上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边都 乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程 来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公 分母 解方程 解方程两边同乘以(x2-1),约去分母,得 t+ 解这个整式方程,得 x=1 元方程 的解也称为方 解到这儿,我们能不能说x=1就是原分式方程 程的根 的解(或根)呢?细心的同学可能会发现,当x=1 时,原分式方程左边和右边的分母(x-1)与(x2-1 都是0,方程中出现的两个分式都没有意义,因此 x=1不是原分式方程的解,应当舍去.所以原分式方 程无解 我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两 边同乘以一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可 能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为 增根.因此,在解分式方程时必须进行检验 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方 程的根是否使原分式方程中分式的分母为零.有时为 了简便起见,也可将它代入所乘的整式(即最简公分 母),看它的值是否为零.如果为零,即为增根.如例1 中的x=1,代入x2-1,其值为0,可知x=1是原分式 方程的增根
有了上面的经验,我们再来完整地解一个分式 方程 2解方程 10030 解方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得 100(x-7)=30x 解这个整式方程,得 检验:把x=10代入x(x-7),得 10×(10-7)≠0 也可代入原 方程检验,试试 所以,x=10是原方程的解 看 3用计算机处理数据,为了防止数据输入出 错,某研究室安排两位程序操作员各输入一遍,比较两人 的输入是否一致.两人各输入2640个数据,已知甲的输 入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完这两个 操作员每分钟各能输入多少个数据? 解》设乙每分钟能输入x个数据,则甲每分钟能 输入2x个数据,根据题意,得 26402640 -2×60 解得 经检验,x=11是原方程的解并且,当x=11时, 2x=2×11=22,所以乙用了240分钟,甲用了120分 钟,甲比乙少用了120分钟,符合题意 答:甲每分钟能输入22个数据,乙每分钟能输入11 个数据