《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）总复习 final summary（共六章）

iot-(n-1)aq- 2 Aei(ot-nag)-mo' Aei(ot-nag)tAe-mo2 = β(e-iaq +eiaq -2) = 2β(cos aq -1)色散关系β1解得sin0==aqDispersion curves2m这单可正可负，我们取正值，因为在物理上频率应大于对于零。这个结果与n无关，说明N个方程都有同样结果，即所有原子都同时以相同的频率w和相同的振幅A在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 qa 。该结果还表示：只要和q满足上述关系，试解就是联立方程的解。通常把w和q的关系称作色散关系

这里ω可正可负，我们取正值，因为在物理上频率应大于对于 零。 这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有原 子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同的 原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 。 该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方程 的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。           2 1 1 2 i t naq i t naq i t n aq i t n aq m Ae Ae Ae Ae                             2 2 2 cos 1 iaq iaq m e e aq           1 2 sin 2 aq m  解得   —— 色散关系 Dispersion curves qa

第一布里渊区里的色散关系：★分立原子集体振动形成的格波与连续介质中的弹性波相比，色散关系发生了色散，偏离了线性关系而且具有周期性和反射对称性2元n) = (q)0(g) = の(-q)在波矢空间aw(q)"L0q'-元/aq元/a0

第一布里渊区里的色散关系： ★ 分立原子集体振动形成的格波与连续介质中的弹 性波相比，色散关系发生了色散，偏离了线性关系， 而且具有周期性和反射对称性 q 0 q' q (q) -/a /a S   v q 2 ( ) ( ) q n q a        ( ) ( ) q q  q 在波矢空间

周期性边界条件（Born一Karman边界条件）上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结果呢？Born一Karman最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典范。所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长晶体链的一个重复单元，即：uN+n=un即：e-iNaq =1Ae (ar-( +)a] = Ael(ot-mag)2元n=任意整数，但考虑到q值的取值范围，n取值n.q数目是有限的：只有布里渊区内的N个整数值。NaN2元N元元<n<22Naaa周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，9只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波

周期性边界条件（Born－Karman 边界条件） 上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界 条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结 果呢？ Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题， 成为固体理论的一个典范。 所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长 晶体链的一个重复单元，即： i t N n aq   i t naq   Ae Ae           1 iNaq 即：e 2 q n Na     n =任意整数，但考虑到 q 值的取值范围，n 取值 数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数值。 2 n a Na a       2 2 N N    n 周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一 定的条件，q 只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。 uNn  un

长波极限：在长波长极限区，即9→0时，格波就是弹性波。qaqaEsinβa22和弹性波的结果一致mβaq0am在 g→0 的长波极限下：V即声速。==VSpqq→0,の→0的色散关系称为声学支(acoustic branch)。每组(の，q)对应的振动模式称为声学模（acousticmode)

长波极限: q 0 sin 2 2 qa qa aq m     s Y a v m a   和弹性波的结果一致。   在长波长极限区，即 时，格波就是弹性波。 在 q 0 的长波极限下： p q s v v v   即声速。 q   0, 0  的色散关系称为声学支 (acoustic branch)。每组 (ω,q)对应的振动模式称为声学模 (acoustic mode)  E

随着q的增长，の数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。4β元g→±=截止频率00maxam一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播0≤の≤のmax的弹性波，高于のmax频率的弹性波被强烈衰减1.21.00.800.64β0.4m0.2q2元晋晋0O第一布里渊区

随着 q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓， 在布里渊区边界，格波频率达到极大值。 q a    max 4 m      截止频率 4 m   q 一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播 0    max 的弹性波，高于 max 频率的弹性波被强烈衰减