西安电子科技大学：《数字信号处理》课程教学资源（PPT课件）第3章 离散傅里叶变换（DFT）

2.时域循环移位定理 设x(m)是长度为N的有限长序列,y(n)为x(m)的循 环移位,即 y(n=x((n+mNRN( Y(k)=DFT Ly(n)] W-km NX(k) (3.2.3) 其中Ⅹ(k)=DFT[x(m)],0≤k≤N-1

2. 时域循环移位定理 设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循 环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n) 则 Y(k)=DFT［y(n)］ =W-km NX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1

证明:Yk)=DF[y(m) ∑x(n+m)R、(m)W x((n+m))w 令n+m=n’,则有 N-1+m Y(k)=∑x(m)W"=m n=m N-1+m =W∑x(n)W

证明： 1 0 1 0 ( ) [ ( )] (( )) ( ) (( )) N kn N N N n N kn N N n Y k DFT y n x n m R n W x n m W − = − = = = + = +   令n+m=n′ ， 则有 1 ( ) 1 ( ) (( )) (( )) N m k n m N N n m N m kn kn N N N n m Y k x n W W x n W − + − = − + −  = =  =   

由于上式中求和项x(n)Wm以N为周期,所以 对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区 间改在主值区则得 Y(k)=W∑x(m) =W∑x(m)形 WN X(k) 3.频域循环移位定理如果 X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1 Y(k)=X(k+DNRN(k) WI y(n=IDFT LY(k)]=WnLNx(n) (3.2.4)

由于上式中求和项x((n′))NWkn′ N以N为周期， 所以 对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区 间改在主值区则得 1 1 0 ( ) (( )) ( ) ( ) N km kn N N N n N km kn N N n km N Y k W x n W W x n W W X k − −   − −  = − =  =  =   3. 频域循环移位定理如果 X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1 Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则 y(n)=IDFT［Y(k)］=Wnl Nx(n) (3.2.4)

3.23循环卷积定理 有限长序列x(n)和x2n),长度分别为N1和N2, N=max[N1,N2]。x1(n)和xn)的N点DFT分别为: X, (k)=DFT LX,(n)J X, (k)=DFT LX,(b)] 如果 X(k)=x1(k)·X2(k) 则 x(n)=IDFTIX(k)]=2x, (m)(n-m))RN(n)(3.2.5) x(n)=IDFTIX(k)]=2 x2(m)(n-m)RN(n)

3.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1 (n)和x2 (n)， 长度分别为N1和N2， N=max［ N1 , N2 ］。 x1 (n)和x2 (n)的N点DFT分别为： X1 (k)=DFT［x1 (n)］ X2 (k)=DFT［x2 (b)］ 如果 X(k)=X1 (k)·X2 (k) 则 1 1 0 ( ) [ ( )] ( )(( )) ( ) N N N m x n IDFT X k x m n m R n − = = = −  (3.2.5) 1 2 0 ( ) [ ( )] ( )(( )) ( ) N N N m x n IDFT X k x m n m R n − = = = − 

般称(32.5)式所表示的运算为xl(n)与x2(n)的循 环卷积。下面先证明(325)式,再说明其计算方法 证明:直接对(325)式两边进行DFT X(k)=DFTIx(n ∑x0m(n-m)R(m)mr n=0 ∑x(m∑x2(On-m)形 令nm=n',则有 X(k) x,(n w k(n'+m) N-1-m ∑ x,m ∑x(m)W

一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循 环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 ( ) [ ( )] [ ( ) (( )) ( )] ( ) (( )) N N kn N N N n m N N kn N N n m X k DFT x n x m x n m R n W x m x n m W − − = = − − = = = = − = −     令n-m=n′， 则有 1 1 ( ) 1 2 0 1 1 1 2 0 ( ) ( ) (( )) ( ) (( )) N N m k n m N N m n m N N m km kn N N N m n m X k x m x n W x m W x n W − − − + = =−  − − −  = =−  =  =     