第3章离散傅里叶变换DFT) 31离散傅里叶变换的定义 32离散傅里叶变换的基本性质 33频率域采样 34DFT的应用举例
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 第3章 离散傅里叶变换(DFT)
31离散傅里叶变换的定义 3.1.1DFT的定义 设x(m)是一个长度为M的有限长序列,则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为 X(k)=DF[x(m)=∑xn),k=0,1,&,N1(311) X(k)的离散傅里叶逆变换为 X(k)=DF[x(m)=∑Y(m),k=0,1,&,N-1(312)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为 1 0 ( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, &, N-1 (3.1.1) N kn N n X k DFT x n x n W − = = = X(k)的离散傅里叶逆变换为 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, &, N-1 (3.1.2) N kn N n X k DFT x n X n W N − − = = =
式中,eN,N称为DFT变换区间长度N>M, 通常称(3.1.1)式和(31.2)式为离散傅里叶变换对。下面 证明IDFT[X(k)]的唯一性。 把(31.1)式代入(3,1.2)式有 IDFTIX(=3∑Dx(m)WJ ∑x(m)∑W k(m-n) ∑W m=n+MN,MM为整数 0m:n+MN,MM为整数 k=0
式中， ， N称为DFT变换区间长度N≥M， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面 证明IDFT［X(k)］的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 2 j N e 1 1 0 0 1 1 ( ) 0 0 1 [ ( )] [ ( ) ] 1 ( ) N N mk kn N N k m N N k m n N m k IDFT X k x m W W N x m W N − − − = = − − − = = = = 1 1 , ( ) 0 , 0 1 { N k m n m n MN M N m n MN M k W N − − = + + = = M为整数 M为整数
所以,在变换区间上满足下式: IDFT LX(k)J=x(n) 0<n<N-1 由此可见,(3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例3.1.1x(n)=R4(n),求xn)的8点和16点DFT 设变换区间N=8,则 X(k)=∑x(m)W如=∑e8 sin( k) k=0.1.….7 sin( k)
例 3.1.1 x(n)=R4 (n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则 所以， 在变换区间上满足下式： IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1 由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 2 , 0,1, ,7 sin( ) 8 j kn kn n N j k X k x n W e k e k k − = = − = = = =
设变换区间N=16,则 X(k)=∑x(m)=∑em SInt 4元 k) ,k=0,1,…,15 sin(k) 16
设变换区间N=16， 则 7 3 2 8 8 0 0 3 8 ( ) ( ) sin( ) 4 , 0,1, ,15 sin( ) 16 j kn kn n N j k X k x n W e k e k k − = = − = = = =