有Iμ, Pdx + Qdy = -Jr, Pdx + Qdy.(5)JABBA而第一型曲线积分的被积表达式只是函数f(x,J)与弧长的乘积，它与曲线L的方向无关.这是两种类型曲线积分的一个重要区别类似与第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些主要性质：1.若 (, P,dx +Q,dy (i = 1,2,,k) 存在，则后页返回前页
前页 后页 返回 有 d d d d . (5) AB BA P x Q y P x Q y + = − + 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 f x y ( , ) 与 弧长的乘积, 它与曲线L的方向无关. 这是两种类型 曲线积分的一个重要区别. 类似与第一型曲线积分, 第二型曲线积分也有如下 一些主要性质: 1． d d ( 1,2, , ) i i L P x Q y i k + = 若 存在，则
I,(Zc,P)dx+(Zc,2,)dy 也存在,且i-1i-1kI,(2c,P,)dx +(2c,2,)dy=Zc,(], Pdx +Q,dy);i=1i1i=12.若有向曲线L由有向曲线L,Lz,L,首尾衔接而成, , Pdx + Qdy,(i = ],.,k) 都存在, 则[, Pdx + Qdy 也存在, 且I, Pdx + Qdy = Z], P dx + Qdy.JLi=1前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 ( )d ( )d k k i i i i L i i c P x c Q y = = + 也存在, 且 1 1 1 ( )d ( )d ( d d ); k k k i i i i i i i L L i i i c P x c Q y c P x Q y = = = + = + L 1 2 , , , 2. 若有向曲线 由有向曲线 L L Lk 首尾衔接而 成, d d ,( 1, , ) Li P x Q y i k + = 都存在, 则 1 d d d d . i k L L i P x Q y P x Q y = + = + d d L P x Q y + 也存在, 且
二第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算设平面曲线x =p(t),t e[α, β],L:y=y(t),其中β(t),(t)在[α, β]上具有一阶连续导函数,且点 A与B的坐标分别为(p(α),(α))与((β),(β))又设 P(x,y)与Q(x,y)为L上的连续函数，则沿L后页返回前页
前页 后页 返回 二．第二型曲线积分的计算 第二型曲线积分也可化为定积分来计算. 设平面曲线 ( ), : [ , ], ( ), x t L t y t = = 其中 ( ), ( ) [ , ] t t 在 上具有一阶连续导函数, 且 点 A B 与 的坐标分别为 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )). 与 又设 P x y Q x y L ( , ) ( , ) 与 为 上的连续函数, 则沿 L
从A到B的第二型曲线积分[, P(x, y)dx + Q(x, y)dy[' [P(p(t), y(t)p'(t) +Q(p(t), y(t)y'(t)]dt.(6)读者可仿照S1中定理20.1的方法分别证明J, P(x, y)dx = f’ P(p(t), y(t)p'(t)dt,1J, Q(x, y)dx = J, Q(p(t), y(t)y'(t)dt,由此便可得公式(6)对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算，可后页返回前页
前页 后页 返回 从 到A B 的第二型曲线积分 ( , )d ( , )d L P x y x Q x y y + [ ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( )]d . P t t t Q t t t t (6) = + = ( , )d ( ( ), ( )) ( )d , L P x y x P t t t t = ( , )d ( ( ), ( )) ( )d , L Q x y x Q t t t t 读者可仿照§1中定理20.1的方法分别证明 由此便可得公式(6). 对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算, 可