76 虽然它的影响是随距离按指数衰减的.但它是以无限速度传播 的。这是抛物型方程解的特征。 设所考虑的物理问题的特征长度为L,一个非均匀的初始分 布在耗散过程中将趋于等化:可以用量纲分析来估计等化所需的 时问T。显然,T不依赖于的分布木身,雨只依赖于耗散系数 (其量纲为〔长度〕/时间1)和L(其量纲为〔长度])。1与Ⅰ.只 有个量纲为时间的组合,即L2/y—时间量纲,因此在量级 上应有 T=L2/ 这就是等化时间或称耗散时间.也就是物理过程的活跃肘间。这 特征量是在求解间题时必须考虑到的。一般来讲,解题的时间 应比该特征时间T约大半个最级 四、线性伯搭斯( Burgers)方程 伯格斯方程是双-抛物型方程,它描述物理问题的对流和 耗散的综合过程,所以它兼有一阶波动方程和热传导方程的特 性。线性伯格斯方程的初值问题有以下形式 6 ax (x,0)=gfx) (1-4-6) 不难求出该向题的解为 xP |o(5)ds 若初始条件q(x)为一三角形,在图1-3(c)中给出了扌>0 时刻的演变过程,这里表现了耗散与对流相糨合的物理过程,扰 动波仿佛以集体速度c传播,但由于耗散作用,它不能保持波阵 面。为了比较,在图1-3中还给出了方程(1-4-1)、方程(1- 4-5)的解在!>0时刻的演变过程,且都假设给定的初始条件 φ(x)为三角形。从这里可以前楚看到三者的差别,也简单迎
给出了双曲型、抛物型和双曲抛物型方程所描述的物理问题之 间的差别。 第五节黎曼间断解5,58 众所周知,非线性双曲犁方程的一个重要特点是无论初值是 否光滑,其解都可能产生间断。为了确模拟间断面,有的计算 方法都以-维非定常理想气休初偵问题的准确解.即黎曼(Ris mann)问题间断解为基础来构造差分格式,这里将给出黎曼问 题的间断解。 、间断面分类 一般来讲,双曲型方程解的间断面可分为两类,一为弱同 断.即参数连续,而参数导数不连续,如稀疏波波头;另-为强 何断,即参数产生问断,如激波和接触问断。下面讨论强间断 没n为间断面的法向单位向量,乙为间断面运动的法向速 度,则有质量守恒关系式 P1(诉:·n-Z)=p2( 动量守恒关系式 p,1(v Z)+p1·n=P2V2(v2·n一Z)+p2·n 能量守恒关系式 P,(,n-Z)+P,vin=P2E2v2n-Z)-P2v2n 式中-—密度 p——压力 —速度,v E—单位体积气体的总能量。 (r-1)p
i8 下标1,2—对应表示间断面前后的参数; 比热比。若以m表示过间断面的质量流 则有 由式(1-52)可得 m(v:2)=(p2-p1)·n (1-5-5) 对式(1-5-5)的两端点乘n,则得 (v1·n-V:·n)=p2-p 对式(1-5-5)两端叉乘n得 m(v×n-v2×n)=0 因接触间断面定义为流体不穿过面,故有m=0,由于P 和P2不等于零,故从式(1-5-4)可得 从式(1-5-6)可得:〓夕2,这说明对于接触间断,流体法向 速度和压力都是连续的,只有密度和切向速度不连续。 对于激波、因m牛0,故从式(1-57)可知: n 即切向速度连续,而密度、法向速度、压力和能量过激波产生 间断。 黎曼间断解 (一)问题的提出 考虑一维非定常理想气体流动,其基本方程的守恒型有以下 形式 ( p 0 (P1) (Pu+p) d(PE),(E4+P热)=0 ox 其中的参数的定义与前面相同,取t=0时刻的初始值在x<0
和x>0处分别为常数分布:斗1,p1,力和,P,P、求方程 组(1-5-8)满足以上初始值,且在间断线上满足间断条件的解。 间断条件有以下形式 P1(41-Z)=P2(42-Z) Pu, (4-Z)+P,=p Z)+p (1-5-9 P1E1(1一Z)+p11=P2E2(2-Z)+P2a3 这里Z为问断线x=x(t)的速度。 (二)解的分类 般情况下,给定的初始间断并不满足(1-5-9)关系式, 因而它是不稳定的。在t>0以后,立刻分解为若千个满足此关 系式的间断线,并以各自的速度分别运动。在上面所提出的一维 非定常理想气体的流动中,初始间断所分解的解,在考虑到熵增 的条件下,是唯一确定的。这些准确解,即黎曼问题间断解,依 照所给定的初始条件不同,可分为5类。现在图1-4中将这5类 不同的解用图形表示出来,以后将具体给出这5类准确解。 图中虚线表示接触间断,实线表示激波,一族中心直线表示 U, P, R P, R P wI, PI, Pr U,P, R 黄]P上P I, p 乡N么 图1-4黎曼间断鯽
2 中心稀疏波。应指出,在图(e)中,表示左右两个中心稀疏波 之间为真空区。在这些解中,对于任何閥定的1>0时刻,左 右波尚未到达的波前区域内.流体状态仍分別保持常数分布: ,p1及叫,P1,P3接触间断两边的速度和压力值相同, 以U、P表示,密度值不同,分别以R和R表示;中心稀绽波 是弱间断,它反映了气流的等熵膨胀过程,在此区域内,物理量 由波前状态U;P;,p连续过渡到波后状态,1,p,且有p ≤P(i=I,I),貝有物理量的导数在波头和波尾处是间断 的;对于激波,物理量由波前状态蠶,;p跳到波后状态U R,p时,要求熵是增加的,且P≥纟(=I,)。 (三)求解方法 对于理想气体,由状态方程,单位体积气体的内能有以下 形式 p 其中γ为比热比。等熵关系式为 声速 p 根据图1-4的间断解中的符号,对于左边的激波可将间断条件 (1-5-9)写为 (-P,Z-(R-P,)=0 (R-p,4)Z一〔(R4+p)一(1a2+pr) (RE-P,EDZ-[(REU+pU)-(P,E,r+Prun))=0 (1-5-10) 其中 y-1)P,2 (-1)R 由式(1-5-10),对于左激波可得