第一章概论 计算流体力学在近二三十年中有了突飞猛进的发展,而且正 在以更快的速度前进。推动这一发展的原因,一方面是实际问 的需要,特别是宇航事业的需要;另一方面是计算技术的飞速发 展和巨型计算机的出现。 计算流体力学是多种领的交叉学科,亡所涉及的学科有流 休力学、偏徼分方程的数学理论、计算儿何、教值分析、计算机 科学等。它的发展促进了这些学科的进一步发展。最终体现计算 流体力学水平的是解决实际问题的能力。 本书的基本内容是采用差分方法、数值求解可压缩纳维-斯 托克斯( Navier-Stokes)方程(以下简称为N-S方程)和箭化 N-5方程,研究流体运动规律,重点是超声速、高超声速定常 粘性绕流流场的教值模拟 第--节计算流体力学与数值模拟 任何流体运动的规律都是由以下3个定律为基础的:质量守 恒定律;动量恒定律和能量守恒定律。这些基本定律可由数学 方程组来描述,如欧拉(Eu1er)方程,N-S方程。采用数值计算 方法,通过计算机求解这些数学方程,研究流体运动特性,给出 流体运动空间定常或非定常流动规律,这样的学科就是计算流体 力学。 计算流体力学的兴起推动了研究工作的发展。自从1687年 牛顿定律公布以来,直到本世纪50年代初、研究流体运动规律的 主要方法有两种:·是实验研究,它以地面实验为研究手段;另 种是理论分析方法,它利用简单流动模型假设,给出所研究问
题的解析解。理论工作者在研究流体运动规律的基础上建立了各 类型主控方程,提出了各种筒化流动模型,给出了一系列解析解 和计算方法。这些研究成果推动了流体力学的发展,奠定了今天 计算流体力学的基础,很多方法仍是目前解决实际问题时常采用 的方法。然而,仅采用这些方法研究较复杂的非线性流动现象是 不够的,特別是不能满足50年代已开始高速发展起来的宇航飞行 器绕流流场特性研究的需要 计算流体力学的兴起促进了实验研究和理论分析方法的 发展,为简化流动模型的建立提供了更多的依据,使很多分析方 法得到发展和完善,例如目前在飞机工业中应用疒泛的面元法就 是一个很好的例子。然而,更重要的是计算流体力学采用它独有 的新的研究方法—数值模拟方法——研究流体运动的基本物理 特性。这种方法的特点如下:①给出流钵运动区域内的离散解 而不是熊析解。这区别于一般理论分析方法;②它的发展与计算机 技术的发展直接相关。这是因为可能模拟的流体运劬的复杂程度 解决问题的广度和所能模拟的物理尺度以及给出解的精度,都与 计算机速度、内存、视算及输出图形的能力直接相关;③若物理 问题的数学提法(包括数学方程及其相应的边界条件)是正确的, 则可在较广泛的流动参数(如马赫数、雷诺数、飞行高度、气体 性质、模型尺度等)范围内研究流体力学问题,且能给出流场参 数的定量结果。这常常是风洞实验和理论分析难以作到的。然而, 要建立正确的数学方程还必须与实验研究相结合。更重要的是实 际问题中所求解的多维非线性偏微分方程组十分复杂,其数值解 的现有数学理论尚不够充分。严格的稳定性分析,误差估计和收 敛性理论的发展还跟不上数值模拟的进展。虽然关于广义解唯 性存在性等问题的严格数学理论已取得了长足的进展,但还不足 以对一些感兴趣的具体的复杂问题给出明确的回答。所以在计算 流休力学中,仍必须依靠一些较简单的、线性化的、与原问题有 密切关系的模型方程的严格数学分析,以及依靠启发性的推理给 出所求解间题的数值解的理论依据。然后再依靠数值实验,地面实
验和物理特性分析,验证计算方法的可靠性,从而进一步改进计 算方法。 事实上,实验研究、理论分析方法和数值模拟是研究流体运 动规律的三种基本方法,它们的发展是相互依赖相互缇进的。 另一方而,计算流体力学的发展进程是伴随着计算机技术的 发展而前进的。一般来说,只有计算机的速度、内存和外围设备 达到一定程度时才会有计算流体力学新阶段的出现。随着计算技 术的提高、巨型计算机的出现,计算流体力学所研究问题的深度 和广度不断发展,它不但可用于研究已知的一些物理问题,而且 可用于发现新的物理现象。例如甘贝尔( Campbel1)和穆勒 丶 Mueller)等人在数值实验中,发现了亚声速斜坡绕流中的分离 现象(),以后他们在风洞实验中作了证实;又如基姆(Kim)和 莫因(Moin)等人在数值计算中发现了倒马蹄涡。,后来被实 验研究所证实。其研究领域也随着计算机的速度和内存的增加而 不断扩大。例如文献“中采用64个节点机构成的NSC计算机,求 解非定常不可压N-S方程,直接数值模拟各向同性湍流,得到 了较好的结果。这使人们更清楚地了解到采用直接数值模拟的方 法与实验研究相结合是突破多年来未能解决的流体力学关键问题 湍流阎题的重要方法 总之,计算流体力学的兴起促进了流体力学的发展,改变了 流体力学研究工作的状况,很多愿来认为难以解决的间题,如超 声速、高超声速钝体绕流,分离流涡运动、低密度效应、真实气 体效应以及湍流问题等,都有了不同程度的发展,且将为流体力 学研究工作提供新的前景。 第¨节计算流体力学的发展 计算流体力学首先是随着计算技术和宇航飞行器的发展而发 展且逐步形成独立学科的。计算机问世以前,研究工作的重点 是椭圆型方程的数值解。30年代中所研究的绕流流场是假设气体
的粘性和旋度效应可忽略不计,故流动的控制方程为拉普拉斯 ( Laplace)方程,求解的方法是基本解的迭加,也就是目前飞机工 业中广泛应用的面元法的前身。以后,为了考虑粘性效应,有了边 界层方程的数值计算方法,并发展为以位势流方程为外流方程,与 内流边界层方程相结合,通过迭代求解粘性干扰流场的计算方法。 同一时期,很多数学家研究了偏微分方程的数学理论。哈达乌德 〈 Hadamard),库朗( Courant),弗里德里克斯( Friedrichs), 彼得罗大斯基( HeT pbCκr真),索波列夫(Co6oπeB),梯赫诺￡ ( THXOHOB)等人研究了偏微分方程的基本特性、数学提法的透 定性、物理波的传播特性、解的光滑性和唯一性等问题,发展了 双曲型偏微分方程理论。以后,库朗,弗里德里克斯和菜维 (Lewy)等人发表了经典论文,证明了连续的椭圆型、抛物型 和双曲型方程组解的存在性和唯一性定理,且针对线性方程的初 值问题,首先将偏微分方程离散化,然后证明了离散系统收敛到 连续系统,最后利用代数方法确定了差分解的存在性。他们还讨 论了双曲型方程的特征性质,提出了特征线方法,给出了著名的 稳定性判別条件:CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论 基础。40年代中,冯诺伊曼( Von neumann),里希特迈尔 ( Richtmyer),霍普弗(Hopf),拉克斯(ax),奥列尼克 ( oJeheWk)和其他一些学者建立了非线性双曲型方程守恒律的 数值方法理论,为含有激披的气体流动数值模拟打下了理论 基础。 60年代中,基于双曲型方程数学理沦基础的时间相关方法开 始应用于求解宇航飞行器的气体定常绕流流场问题。这种方法的 基本思想是从非定常欧拉方程或非定常N-S方程出发,利用双 方程或双曲-抛物型方程的数学特性,沿时间方向推进求解, 由而得到对于时间纟趁近于无穷大的渐近解为所要求的定 常解。该方法虽然要求花费更多的计算机时,但因数学提法适定, 又有较妤的理论基础,且能模拟流休运动的非定常过程,故这是 应用范围较广的一般方法。以后由拉克斯(Lax)、克莱斯
( reiss)和其他著者给出的非定常偏微分方程差分通近的稳 定性理论,进一步促进了时间相关方法的发展。本求所描述的 基本方法是时间相关方法。另一类方法是针对…些具体问题发展 起来的特妹方法,用以求解非线性定常阿题。这些方法的特点是 简单、所需计算机时少.但这些方法只是局部性的特殊方法,例如 在50乍代中、60年代初针对钝头超声速绕流数值解所提出的 方法[~及本书中所讨论的1NS方程推进解法等 70年代在计算流体力学中、取得较大成功的是飞行器跨声速 绕流数值计算方法的研究。首先是穆尔曼( Auman)和科 (Coe)提出的计算方法1,解决了跨声速绕流中的混合型问题 他们采用松弛方法求解位势流小扰动方程,教偵模拟带激波的跨 声速绕流流场。在他们的工作中第一次将迎风格式应用于空气动 力学问题的数值模拟。不久以后詹姆生( Ja meson)1)提出了旋 转格式,将穆尔曼-科勒方法推广于求解二维跨声速绕流的全位 势流方程.获得了成功。目前这些方法已直接应用于飞机工业的 气动设计中。最近,詹姆生等人采用时问相关方法,给出了全机 跨声速三维无粘绕流流场的计算结果。他们提出了中心多层 格式2-14,采用龙格-库塔( Runge-Kutta)方法求解非定常 欧拉方程,數值模拟跨声速全机三维绕流流场。 70年代以来,计算流体力学中取得较大成功的另个领域是 采用时间相关方法,解可压缩N-S方程、数值模拟飞行器超 声速、高超声速點性绕流复杂流场的研究工作。针对流场中澈波 的数值模拟,近年来发展了高分辨率的差分格式,如总变差递嗖 格式(' otal Variation Diminishing Schere,以后翁称TⅤD 格式)、本质无跳动格式( Essen tially non- oscillatory schem 以后简称ENO格式)、守恒同族特征方法( Conservative Supra charecteristic method,以后简称CSCM方法)等,形成了第 代為分格式。这些格式的应用使得超占速、高超声速和跨宀速绕 流流场的计算方法冇了大剂改进。H前已可模拟包含有各科宏 尺度结构的非光滑流场,如包含有潋波、粘性干扰、分离韵,只实