格。应当指出,若所模拟的流场,临近区域内网格尺度有较大改 变时,数值解的精度将受到影响。对于差分方法,只有使网格尺 度的光滑过渡能满足:△x2=△x1(1+O(Ax1)〕(这里x2,x 对应表示两个邻近区域内刚格的尺度),才能保持差分格式原有 的精度。另外,除形式精度外还应考虑从小网格区域走向大闼格 区域时,扰动波的衍射效应 四、分离涡的数值模拟 数值模拟分离涡形成及其发展的非定常过程比激波的数值模 拟难得多。因为激波是大尺度的稳定结构,而分离涡是大尺度 的非稳定结构,其数值模拟的困难在于它固有的不稳定性:另 个困难是它与激波不同,总是倾向于扩展蔓延开来。现有的计算 方法对于激波的捕捉是成功的,然而对于涡面的数值模拟还没有 个很好的计算方法。因为现有计算方法大多是从…维问题出 发推广到多维,而且有些方法中所釆用的近似,失掉了中心稀疏波 的信息23,而分离涡只出现在二维或三维的物理问题中。近年来 开展了对这一问题的研究,但这还只是开始,问题远未得到解决 五、湍流的数值模拟 与激波和分离涡相比,湍流是更为复杂的非平滑流动,其物 理特性是多重尺度的非稳定结构,且多重尺度运动之间的稍互于 扰统治了整个流体运动问题。这些多重尺度的运动是前面所提到 的网格技术难以模拟的。因为由考莫哥罗夫( Kolmogorov)理 论所指出的湍流尺度,使得求解此同题所需要的网格点数与流体 运动的雷诺数Re成正比,这是目前所有的计算机的内存和速度 难以达到的要求,特别在我国现有计算机的条件下,求解该问题 更是困难。目前在实际问题中,蕍流流动的数值模拟多采用工程 湍流模型。使用较广的是包尔文-朗马克士( Baldwin- Lomax) 提出的代数模型,对于分离流动,以约翰生一金氏( Jon hon King)湍流模型为更好
12 第四节模型方程及其数学性质 为了认识流体力学基本方程的数学性质,在本书中将通过简 单模型方程的讨论,说明系列基本概念及其计算方法的特征。 以波幼方程来模拟非定常欧拉方程,以伯格斯( Burgers)方程 模拟N-S方程。又囚在夲书中时间相关方法是数疽求解流体力 学问题的基本方法,而双曲型方程的数学理论是这一方法的甚 础,故在下一章中将着重描述双曲型方程的数学特性。这里只以 初值问题为例,简述模型方程的特性。对于初值问题,如果徼分 方程的解在定解域中存在唯一,且连续依赖」初值,则称数学问 题的提法是适定的 阶波动方程 考虑以下数学问题 定解域:一∞<x<÷∞,t≥0 其中c为常数,卯(x)为给定的初始值。在(x,t)平面上 引进斜率为dx/d=c的直线蕨 常数 从式(1-4-1)可以看出,沿此直线族有 du dt 0 即4=a(厶),占=x-c,这说明沿着这族直线,扰动波的传 不随时间而改变,此直线族也就是特征线。再根据初始条件, 可得微分方程(1-4-1)的解为 u( x )=p(x-ct 若给定的初始条件甲(x)是一三角形,则在t=t时刻仍为三
I3 图1-1扰动波的传播 a)c>0的图形,(b)c<0的图形。 角形,只是以速度c向前传播了一段距离c(参见图1-1)也 就是说扰动波沿特征线以速变c传播,当c>>0,沿x的正向传 播;当￠<0时,沿x的负向传播,而波形保持不变 扰动波以有限速度传播是双曲型方程解的-个重要特性。对 于更为一般的双曲型方程,波形、波幅玓可能有变化,但是扰动 波恒以有限速度传播,并能保持波阵面。 二、二阶波动方程 考虑以下二阶波动方程: ax20 1-4-2) 初始条件 ;x,0)=f(x) a,(x,0)=9(x) 定解域 ∞<x<+∞ 二阶波动方程为双曲型方程,其特征线为 ons 引入特征坐标:=x+ct,n=x-ct,则方程(1-4-2)可写 为以下形式
14 059y=0 故其解有以下形式:"=F1(5)十F2(7)或写为 u(x, t)=F,(x +ct)+F2( x-ct (1-4-3) 这就是波动方程的达朗伯(D′ Alembert)解,其中F和F2的 函数形式可由给定的初始条件来确定。最后可得 u(x,I )s f(x+ct)+f(x-ct 2c g( t) (14-4) 现以二阶波动方程为例,讨论双曲型方程的定解域。从方程(1- 4-2)的解(1-4-3)或(1-4-4)可以看出,通过(t,x)平 面上任意一个点(0,x。)存在有两条特征线,分别为通过该点 斜率为dx/d=c和dx/dt=-c的两条直线(参见图1-2)。在 (,x)点上的解u(#,x)只依赖于x-c0≤x≤x+c区 间内的初始值。在式(1-4-4)中所给出的解第一项表示初始数 据沿特征线的传播,而第二项表在扌>0时刻,闭区间x c≤x≤x+ct内初始数据的效应。 图1一2解的依赖域和影响域 这说明在(tx)点处的解"(,x)仅仅依赖于通过该 点的两条特征线和初值线所包围的区域内的信息,任何存在于这 区域外的扰动都不可能影响(,x)点处的解;(x)点
的影响域是由该点发出的两条特征线所包围的区域(如图1-2中 的阴影区)。方程的解具有有限依赖域和影响域是双曲型方程解 的又一重要特性 热传导方程 热传导方程是抛物型方程的模型方程,它描述物理问题的耗 散过程,而双曲型方程是描述物理问题的对流过程。热传导方程 的初值问题有以下形式 2o2 0x (1-4-5) 初始条件 a(x,0)=甲(x),一∞<x<+∞,t≥9 该问题的解有以下形式 y4 (5)d 设给定的初始条件9(x)为三角形,期以后时刻的演化过 程如图1-3(b)中所示。可以看出,初始扰动波的棱角逐渐平滑 化。这种物理问题的耗散过程与热传导中溢度的等化过程是相同 的。不管初始分布如何集中,扰动总是在瞬刻之间传播于无穷, 〔c) 图1-3扰动波的传播 (a)对于波动方程,(b)对于热传导方程,(c)对于伯格斯 Burgers)方翟