2I A 同样,对于右激波可得 U p-Pi=o 1-5-12) 其中 A=0,C γ+1 27身 (1-5-13) 21 (=I,置 在中心稀疏波区域内,由于擎曼不变量沿特征线保持常数 故有 2 再利用 7=y p=定( 则对于稀境波的波前、波后状态可推出以下关系式。对于左稀 疏波 P y (1-5-14 对于右稀疏波 2 0(x-5-15 现将式(1-5-11),(1-5-12),(1-5-14)和(1-5-15)统一写为 以下形式 对于左波 U-u1=-f(p.p1,P1) (1-5-16) 对于右波 f(e, Pu. P1) 1-5-17) 其中
22 P-自 2 f(p. Pi. P)= 2c,/p y 2y p: 当D<p 由方程(1-5-16)和(1-5-17)可求出波后速度L和压力 消去U可得到只含一个未知量的方程为 4;一“1=f(p,p1,P1)+f(,,卩1)≡F(p) (1-5-18) 为了对给定的初始条件判断其间断分解的类型,需要讨论 数F()的性质。不难证明.函数f(D,p,P;)在p=P处是 连续的,并有连续的一阶导数。因有 mf′行,p,卩2)=1imf′(,p,P;) Pc p→P 且当p>0时,∫(p,,仰)是单调上升的凸函数,即有 f(,p,)>0,f”(p,p,P,)>0 因此,在p>0时,F()也是单调上升、导数连续的凸函数。 根据这-性质,可以给出间断分解类型的判别式 为了讨论确定起见,先设P≥p,根据给定的初始条件,可 作以下判断: 当a-≥F(约)时 F(PU PI-p P 172 P, C 2?(p1 2γ 肉4一=F(p)则由给定的初值可知,F(D)≥F(A),又因 F(p)是单调上升、导数连续的凸凼数,故可有 p≥P1≥P
23 即左波和右波都是激波,左激波向左边低压区传掃p≥pt),右 激波向右边低压区传播(p≥1):在左右激波之间的区城内.压 力连续(p=p).气体质点都将向同一方向运动,且速度连续 旧·般说来密度是间断的,故在该区域内形成接触问断(或称 切向间断),这对应于图1-4中的(a)类解。 2.当F(约)>一≥P(1)时 y-1 F(力) 2c1 -( pr P 则可推出>≥1,即左波为激波.右波为稀疏波。激波与稀 確波之间的区域内,由于激波后的压力升高而稀疏波降低压 力.可使压力连续,速度连续而密度可产生间断,故在此区域内 将形成一接触间断.这对应于图1-4中的(c)类解。 3.当F(约1)>1-1≥F(0)时, F(0)= 4a1 2 则可得≥p1>萨≥0,即左波和右波都是稀疏波、这对应于图 1-4中的(d)类解。 4.当F(0)>a1-a1时 左波和右波都是稀疏波,且在两个稀疏波之间出现真空区。 在这种情况下,左右两稀疏波之后没有统一的波后速度,式(1 5-14)和(1-5-15)中的U就不再表示同一个量,且用来求p的 式(1-5-18)也不再成立。在真空区内,R=0、p=0,相应 的声速亦为零。这对应于图1-4中的(e)类解。 若设所给的初始值满足P≥P,则解的类型与上面相似,只 是当F(p1)>1-a1≥F(P1)时,可推出P>p≥p1即右波为 激波.左波为稀疏波,这对应于图1-4中的(b)类解 下面讨论流动参数的确定。由方程(1-5-18)可求出.因 此方程为超越方程,故须迭代求解。求得p值后,可由式(1-5 16)和(1-5-17)确定U值
24 f(.)-f(D.p,D,) 1-5-19) 一维非定常理想气体在(t,x)平面上的间断解u( ),p(t,x),p(扌,x)可根据解的类型及(t,x)的 位置分别由以下公式给出。 .左波x/f<U的区域 当左波为激波时,激波速度Z和波后密度R1可由关系式 (1-5-10)给出 Z,=-P1 R A,-,(1-U) 右激波的波前区,Z<x/t<U,t、p,p取波后值:U, R;,p。 当左波为稀疏波时、波头的波速Z和波尾的波速2可由特征 线的表达式给出 d: (-5-21) 波后的密度R可由声速c12=yp/R推出 其中c可由黎曼不变量表达式确定 (#-U) 在左稀疏波的波前和波后区,x1t<z和2<x1<U, P,P分别取波前值和波后值,在稀疏波区域内,≤x/t≤2, 根据黎曼不变量关系有
及特征线;4-c=x!t可确定声速c为 (t 由此可得 ( 十c P(t,x=p(c) 2.右波U<x!t的区域 当右波为激波时,激波速度Z及波后密度1为 ZI=u+A,, R P,A1 (1-5-23) 上式和(1-5-20)中的4(i=I,I)与(1-5-13)式中的A 表达式相同 在右激波的波前区,<x/t,,P,p可取波前值, P1,py在右激波波后区,U<x/扌<Z1,",P,p取波后 值U,Rt,p 当右波为稀豌波时,稀豌波波头的速度z、波尾速度2￥和 波后密度R1按以上类似的方法可求得 uI Fc Z:=U+cH (1-5-24) 其中 CI=CR (t-U) 在右稀疏波的波前区,区1<x/t和波后区,U<x!<, P,P分别取波前值及波后值;在右稀疏波的区域内,2x/t ≤Z1,可由黎曼不变量关系式