6 气体效应等物理特性的流场,可利用巨型计算机.采用合适的网 格生成技术和有效的计算方法,求解非定常可压缩N-S方程. 数值模拟航天飞机整机的跨声速、超声速和高超声速粘性绕流 流场。 在网内,早在50年代就有了计算流休力学方面的研究工作。 早期的工作是研究钝头体超声速无粘绕流流场的数值解方法, 研究钝头休绕流数解的反方法5和正方法10。以后,随着我 国宇航事业的发展,超声速、高超声速绕流数值计算方法的研究 工作发展很快。首先开展了定常欧拉方程数值解的计算方法研究 给出了钝体超声速三维无粘绕流流场的计算结果(17~2.。70年 代中,开展了采用时间相关方法求解非定常欧拉方程,可压缩 N-S方程和简化N-S方程的计算方法研究。在差分格式的构造 方面,提出了求解欧拉方程的特征符号分裂方法28)和三层格 式22等。在可压缩N-S方程的求解中,计算方法有了较大的 进展,先后提出了开关函数方法、调解冈子方法14、紧致迎 风格式(38)、推进迭代方法7、无波动无自由参数的耗散格式 (Non Oscillatory Containing no free Parameters and dissi ative scheme,以后简称NN格式)8)、界值为限格式(Maxi mum and minimum Bounds preserving Scheme,以后简称 MB格式)4和耗散比拟方法6等。这些研究工作进一步改进 了计算方法精度,提高了求解效率,且对流场中激波的数值模拟 有较高的分辨能力。而且这些研究成果使得我们在计算流体力学 的差分方法研究工作中初步形成了自己的特点。很多作者釆用自 己提出的计算方法,求解可压缩N-S方程,给出了各种复杂流 场的计箅结果。如分离流流场,激波边界层干扰流场以及各种飞 行器的绕流流场等。在本书中将给出作者的部分计算结果 应当指出,近年来计算流体力学在我国发展很快,很多学者 作出了不少优秀成果。由于本书作者工作范闹所限,这果未能 提到
第三节计算流休力学中的几个问题 正如前面所述,本书所针对的实际问题主要是超声速高超声 速粘性绕流流场的数值模拟。这是复杂的非光滑流场,它包含有 激波、粘性干扰、分离涡等复杂物理现象。这些基本物理现案都 各具自身的特点,因此,其数值模拟对计算方法提出了各种需 解决的问题。 激波的数值模拟 对于非线性双曲型方程,如非定常欧拉方科,不管初始值如 何光滑,解可能是有间断的,对应的物理间题是流场中激波和切 向间断的产生这一特性使得非线性双曲型方程的求解有它特殊 的困难,流场屮激波的数值模拟成为计算流体力学中所研究的重 要问趣之 激波的数值模拟方法主要有两类:激波装法、激波捕 捉法。 一)激波装配法 这种方法的基本思想是将激波作为非连续的边界面来处理 C33。此方法的优点是计算精度高,而且在间断面处满足“熵 条件”,故可以认为所得到的数值解是唯一的物理解。然而它要 求所求的气体运动的流场结构为已知,这在大多数情況下是难 的,因为流场事先是未知的。近年来很多人采用混合方法.即对 」流场绪构清楚的地方釆用激波装配法,如钝体超声速绕流中 弓形头激波,而其他流场内的激波则采用激波捕捉法 二)激波捕捉法 这是日前应用最广的激波数值模拟方法。其基本思想不是将 激波分出来作为边界处理,而是采用合适的计算方法自动捕捉激 波、在激波和光滑区用统一的计算格式。最初人们采用…阶糈度 格式排捉激波、可得到过激波的单调解。然而因一阶精度的格式
具有较大的羌分耗散,使得差分解过激波的梯度被抹平,其物理 特性失真。而且在粘性绕流的计算中,过大的差分耗散将掩流 场中真实的物理耗散。二阶精度差分格式所给出的数值解在激波 附近将产生非物理的振动,且可能出现非物理的解。近年来的 研究工作使得这一问题有了突破性进展。人们认识到,为了正确 模拟流场中的激波,首先要求正确模拟激波处的间断条件,以便 得剑较准确削激波诬度为此差分格式必须是守恒型的。拉克斯 温德诺夫(Lax- Wendroff)定理6指出,如果双曲型方程的 守恒型差分方程的近似解收敛于片状光滑函数,则这些函数就是 双曲型方程的弱解。其次,为了得到双曲型方程的唯-物理 解54;5),还要求差分解满足离散熵条件2,或者在差分格式中增 加入工耗散项,以消除非物理激波产生的可能性。最近很多作者 在差分方法中,利用守恒格式、熵条件和人工耗散项,使得激波 捕捉方法中的误差可忌限在准确物理间断面的附近,抑制了差分 解在激波附近的振动,且对激波其有高分辨能力,进一步完善了 激波捕捉方法。基于这些思想,近年来国内外学者作了不少三 作,发表了不少论文2850。80年代初期,TVU格式5的提 出使得激波捕捉方法有了重大发展,基本上解决了高阶精度差分 解在激波附近的菲物理振动问题。以后TVD格式有了进一步的 发展,341)。另一方面,罗(R。),哈顿( Harten)等人以近似 黎曼( Riemann)解为基础,利用特征理论和特征符号分裂3 给出了CSCM方法2-4,该方法将边界处理与内点计算统一了 起来,且对澈波有着较强的分辨能力。文献:15,16中进一步发 展了CsCM方法。 在国内,很多学者也深入研究了激波的数值模拟问题,拱出 了很多好的计算方汯,如NND格式,MmB格式(),紧致迎 风格式3),耗散比拟方法等。且对TV格式,ENO格式进 行了深入的研究,给出了改进型的TVI格式和ENO格式 这些方法都以高分辨率的性能模拟了激波·使激波捕挺方法有了 新的进展。目前对该问题的研究仍处于高
二、刚性问題 刚性问题在数学上是从常微分方程中提出来的。考虑常微分 方程组 du A(x )u+F(x) 式中A(x)为mXm阶矩阵,i和F为m维向量。当矩阵1:N) 的特征值随x的改变相当大(例如可变化一个量级),且有大的 特征值,则称为数学上的刚性(Stif)向题。所谓大是相对x的 增量Δx而言的,即 Ax1,>》1 (1-3- λ为矩阵4x)的特征值。若对方程(1-3-1)两边除以矩阵1 (x)的最大特征值,则可以看出刚性问题也就是对应于导数项 (或自由项)带小参数的数学问题。 这里所提到的刚性问题是指流体运动的流场中,由于物理尺 度的差异所导致的刚性问题。 在计算统体力学中大致存在有两种刚性问题。种表现为空 何物理尺度的差异,如高雷谐数条件下的粘性绕流流场屮,粘性 起主导作用的流区域是靠近物面很小的边界层区域。在该区域 内流动参数变化相当大。这种情况下,对应的N-S方程屮粘性 项为带小参数1/Re的二阶导数项,即当Ay·Re》1时,为刚 性问题(这里Re为雷诺数,y为物面法向的变化量)。然而,在 此区域内的流动与该区城外流动之间的于扰,即粘性干扰,对整 个流体运动的流场物理特性的影响,在很多情况下是不可忽略 的,故必须认真模拟,为此要求取Δy足够小,使得Re:Δy 1;第:种表现为随时间变化的物理尺度的差异1。这里又分 为两种情况,一种是变化快的物理尺度很重要.且影响整个流动 特性、很快改变的流动现象不能简单消除,必颁认真模拟·例如 在高超声速绕流中的真实气体非平衡化学反应等;另-一种是随时 间变化快的物理量对整个流场物理特性的影响可忽略不计,这种
情况下,可通过初始值的处理、滤波方法或简化流体运动方程等 方法去掉快尺度物理量的影响,如马赫数趋近于零的欧拉方程的 极限解就是一个很好的例子 本书中所涉及的刚性问题主要是第一种。为了解决这一问 懸,从70年代初开始,计算流体力学中就开展了求解高雷诺数 N一S方程的计算方法研究。最初人采用显式格式求解可压縮 N-5方程,方法简单且程序工作量小,麦科马克( MacCormack 等人采用显式格式数值模拟激波-边界层干扰问题‘,我们采 用二阶精度借点显式差分格式,求解二维可压缩N-S方程, 给出了平板前缘干扰和压缩折角分离流动的计算结果2,5。。然 而显式方法因受稳定条件的限制,时间步长的选取要求满足(FL 条件、对于高霈诺数流动,要求空间步长Ay足够小,使得每 时间步长中扰动信息在演场中传播的距离不能超过空间的最小步 长。这祥,使得采用时间相关方法求解高雷诺数粘性绕流的定常 解遇到较大困难。为了解决这一问题,70年代中开展了隐式差分 格式和求解可压缩N-S方程的方法效率等问题的研究(参见第 、五、六、七章) 三、物理尺度分辨率与网格生成 对于多重尺度流体运动流场的数值模拟,不同尺度物理现象 的分辨率是一个重要问题。增加流场中不同尺度物理现象分萨率 的一个方法是采用高阶精度的数值计算方法。当流场中差分解是 光滑解时,在给定网格点数的条件下、采用此方法可得到更好的分 辨率,但计算方法更复杂,每一计算步骤要求更多的计算量,由 可能使方法失普遍应用性;另一种方法是给定计算方法,增 加网格点数或优化计算点的位置。此方法适合于非光滑流休运动 流场的数值模拟,但要求增加计算机的内存和运算时间。为了解 决这…河题,人们开展了网格士成技术的研究,月的是研究计算 区域内具有最大物理尺废分辨率的最优閃格布局。当流场物理特 性未知时,则要求网格按流场待性臼动形成,也就是自适应网