含参量的积分 82一致收敛与极限函数之性质 致收敛的概念 在讲授函数项级数之时,曾经介绍过函数序列的一致收敛的概念,我们说: fn(x)→f(x)是指: vE>0,N,当n>N时,wxeX,有:|(x)-f(x)<E 由于有了一致收敛性,极限函数f(x)的性质就可以由函数fn(x)的性质推得,如一致 收敛之函数序列保持连续性、可导性、可积性等等。 这里我们要讨论另一种形式的一致收敛性,它不再是指函数列的收敛性,而是一般函数 极限的一致收敛问题,即将函数列的一致收敛的过程推广至一般的极限过程之一致收敛性。 对于含参量的广义积分,一般其收敛收是指积分:「f(xy)的收敛性,上述积分 之收敛性等价于函数F(x,)=f(xy)当A→+时的极限性质,我们在这里试图 引入函数F(x,4)的一致收敛性来讨论极限函数f(xy)d之性质。 定义1:设Q(x)在X上定义,若vE>0,38>0,当yey,0<|y-<6时, Wx∈X,有(xy)-9(x)<E 则称f(x,y)对于X在y→(y∈y)时一致收敛到q(x), 记作:f(x,y)→q(x) 类似地,可定义y→+∞时的一致收敛性: 若vE>0,3M>0,当yey,y>M时,wx∈X,有/(x,y)-9(x)<E,称 f(x,y)对于X在y→+∞(y∈y)时一致收敛到q(x),记作f(x,y)→q(x) (-+∞) 例1:求证√x2+y2→x。 证明:由于:x2+y2 ,计+所以 vE>0,36=6>0,当<6时,Wx∈(一+∞),x+y- 所以 例2:求证vc>0,y→+时,一,在[c,+∞)上一致收敛性:但在(O,+∞)上不一致 收敛
含参量的积分 13.118 §2 一致收敛与极限函数之性质 1 一致收敛的概念 在讲授函数项级数之时，曾经介绍过函数序列的一致收敛的概念，我们说： f n ( x)Þ f x( ) X 是指： " > e 0 ，$N ，当n N > 时，" Îx X ，有： f n ( x )- < f x( ) e 。 由于有了一致收敛性，极限函数 f x( ) 的性质就可以由函数 f x n ( )的性质推得，如一致 收敛之函数序列保持连续性、可导性、可积性等等。 这里我们要讨论另一种形式的一致收敛性，它不再是指函数列的收敛性，而是一般函数 极限的一致收敛问题，即将函数列的一致收敛的过程推广至一般的极限过程之一致收敛性。 对于含参量的广义积分，一般其收敛收是指积分： ( ) 0 f x y, dy +¥ ò 的收敛性，上述积分 之收敛性等价于函数 ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò 当 A ®+¥ 时的极限性质，我们在这里试图 引入函数 FxA ( , ) 的一致收敛性来讨论极限函数 ( ) 0 f x y, dy +¥ ò 之性质。 定义 1：设j( x) 在X 上定义，若" > e 0 ，$ > d 0 ，当 yÎY ，0 0 < y y - < d 时， " Îx X ，有 f ( x, y x ) - < j e ( ) 则称 f ( x y, ) 对于X 在 0 y y ® （ yÎY ）时一致收敛到j( x) ， 记作： ( ) ( ) 0 , y y f x y x j ® Þ X 。 类似地，可定义 y ®+¥ 时的一致收敛性： 若" > e 0 ，$ > M 0 ，当 yÎY ， y M> 时，" Îx X ，有 f ( x, y x ) - < j e ( ) ，称 f ( x y, ) 对于X 在 y ®+¥ （ yÎY ）时一致收敛到j( x) ，记作 ( , ) ( ) y f x y x j ®+¥ Þ X 。 例 1：求证 ( , ) 2 2 y 0 x y x -¥+¥ ® + Þ 。 证明： 由于： 2 2 2 2 y x y x y y xyx + - = £ + + ，所以： " > e 0 ，$=> d e 0，当 y < d 时，" Îx (-¥,+¥) ， 2 2 xyx +-< e ， 所以： ( , ) 2 2 y 0 x y x -¥+¥ ® + Þ 。 例 2：求证" >c 0， y ®+¥ 时， 1 xy +1 在[c,+¥) 上一致收敛性；但在(0,+¥) 上不一致 收敛
数学分析讲义 证明:当0<c≤x<+∞时,0< (y>0),所以 而对于X=(0,+∞),显然 0,但它不是一致收敛的,这是因为 彐 2 >0,对于VM>0,y>M时,3x=∈(0,+∞),使得 0==E0,这是一致收敛定义的逆否命题。 下面我们来讨论一致收敛之充要条件: 定理1:y→(y)+∞)时,f(x,y)在x∈X上一致收敛。 >M E>0,36>0,(M>0),当y,y”∈y,且0 < v>M WxEX, A: /(x, y)-f(x,]<E 证明:由一致收敛的定义,必要性是显然的 充分性:针对y→y证明 由条件知彐q(x),使得:lim∫(x,y)=q(x) 在条件中,令y"→y,则我们得到:VE>0,彐0>0,当y∈y,且 <y-yol X,有:|f(xy)-9(x) 这就是一致收敛的定义,所以:f(x,y)→9(x) 证毕 定理2:y→+∞(y→y)时,f(x,y)在x∈X上一致收敛到o(x)。分 ),均有:f(x,y)→q(x) 证明:由一致收敛的定义,必要性也是显然的 充分性:针对y→>+∞证明。 采用反证法,假设∫(x,y在x∈X上不一致收敛,则 彐E0>0,n,彐,∈y yn X,使得:|(xy)-(x) 这样构造出的yn∈y,y,→+,但f(xn,yn)不一致收敛于q(x), 与条件矛盾。所以反证法假设不成立。 证毕 13.119
数学分析讲义 13.119 证明： 当0 < £c x <+¥ 时， 1 1 1 0 xy 1 1 cy cy <£< + + ，（ y > 0），所以 [ , ) 1 0 1 c xy y +¥ ®+¥ Þ + ； 而对于X = (0,+¥)，显然 1 0 1 y xy ®+¥ ® + ，但它不是一致收敛的，这是因为： 0 1 0 2 $=> e ，对于" > M 0 ， y M> 时， 0 ( ) 1 x 0, y $ = Î +¥ ，使得： 0 1 1 0 xy 1 2 -==e + ，这是一致收敛定义的逆否命题。 下面我们来讨论一致收敛之充要条件： 定理 1： 0 y y ® （ y ®+¥ ）时， f ( x y, ) 在 xÎX 上一致收敛。Û " > e 0 ，$ > d 0 ，（$ > M 0 ），当 y y ¢, ¢¢ÎY ，且 0 0 0 y y y y d ¢ - < < ¢¢ - （ y M y M ¢ > ¢¢ > ） 时，" Îx X ，有： f ( x, , y¢) - < f ( x y¢¢) e 证明： 由一致收敛的定义，必要性是显然的； 充分性：针对 0 y y ® 证明。 由条件知$j( x) ，使得： ( ) ( ) 0 lim , y y f x y x j ® = ； 在条件中，令 0 y y ¢¢ ® ，则我们得到： " > e 0 ， $ > d 0 ，当 y¢ÎY ，且 0 0 <-< y y ¢ d 时，" Îx X ，有： f ( x, y x ¢) - £ j e ( ) ， 这就是一致收敛的定义，所以： ( ) ( ) 0 , y y f x y x j ® Þ X 。 证毕 定理 2： y ®+¥ （ 0 y y ® ）时， f ( x y, ) 在 xÎX 上一致收敛到j( x) 。Û n " Î y Y ， n y ®+¥ （ n 0 y y ® ），均有： ( , n ) ( ) n f x y x j ®¥ Þ X 证明： 由一致收敛的定义，必要性也是显然的； 充分性：针对 y ®+¥ 证明。 采用反证法，假设 f ( x y, ) 在 xÎX 上不一致收敛，则： $ > e0 0 ，"n ， n $ Î y Y ， n y n > ， n $ Î x X ，使得： ( ) ( ) 0 , n n n f x y x - ³ j e 这样构造出的 n y ÎY ， n y ®+¥ ，但 fxy ( n n , ) 不一致收敛于j( x) ， 与条件矛盾。所以反证法假设不成立。 证毕
含参量的积分 2极限函数之性质 定理3:(极限交换次序定理) 若imF(x,y)=q(y),wyey,且F(x,y)→v(x), 则: lilim F(x,y)=lmmF(x,y)(x,y可以为无穷) 证明:yn∈y,yn→1,由定理2知F(x,y)→v(x) 又由于limF(x,yn)=q(y),由序列(函数序列)极限性质,我们得到: limy(x)=lim lim F(x, yu)=lim lim F(, yn)=lim p(y) 其中第二个等式用到了函数列的一致收敛性质。 又由数列极限与函数极限之关系, 已知vyn∈Y,img?(n)=limv(x),所以m(y)=lim(x 即: lilim e(x,y 证毕 1定理4:(连续性与可积性定理 设vyey{x,F(x,y)对于x∈X是连续的,且F(x,y)→q(x) 则q(x)∈C(X),且va=x,ImF(xy)=(x)。 证明:连续性: x,r vyey{yo},有 p(x)-(x)=1(x)-F(x,y)+F(xy)-F(x,y)+F(,y)-9(x) p(x)-F(x, y)+F(x, y)-F(6,x)+F(=,y)-(xo) 由于F(xy),→9(,我们有 vE>0,36>0,|y-则<o时,Wx∈X,有F(x,y)-9(x)<E/3, 所以,3y∈O(v06),|F(x,y)-9(x)<E/3,|F(x,y)-9(x)<E/3 对于上述y,由于F(x,y)对于x∈X是连续的,所以 36>0,|x-x<6时,F(x,y)-F(x,y)<E/3,因 (x)-9(x0)<6/3+8/3+/3=E,即o(x)∈CX) 可积性 13.120
含参量的积分 13.120 2 极限函数之性质 定理 3：（极限交换次序定理） 若 ( ) ( ) 0 lim , x x F x y y j ® = ，" Îy Y ，且 ( ) ( ) 0 , y y F x y x y ® Þ X ， 则： ( ) ( ) 0 0 0 0 limlim , lim lim , xxy y y y x x F x y Fxy ® ® ® ® = （ 0 0 x y, 可以为无穷） 证明： n " Î y Y ， n 0 y y ® ，由定理 2 知 ( , n ) ( ) n F x y x y ®¥ Þ X 又由于 ( ) ( ) 0 lim , n n x x F x y y j ® = ，由序列（函数序列）极限性质，我们得到： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim , n lim lim , n n lim x x x x n n x x n y j x F x y F x y y ® ® ®+¥ ®+¥ ® ®+¥ === 其中第二个等式用到了函数列的一致收敛性质。 又由数列极限与函数极限之关系， 已知 n " Î y Y ， ( ) ( ) 0 lim n lim n x x j y y x ®¥ ® = ，所以 ( ) ( ) 0 0 lim lim y y x x j y y x ® ® = ， 即： ( ) ( ) 0 0 0 0 limlim , lim lim , xxy y y y x x F x y Fxy ® ® ® ® = 。 证毕 定理 4：（连续性与可积性定理） 设" Îy y Y \{ 0} ， Fxy ( , )对于 xÎX 是连续的，且 ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X 则j( x C )Î (X)，且" Ì [a b, ] X ， ( ) ( ) 0 lim , b b y y a a Fxy dx j x dx ® = ò ò 。 证明： 连续性： 0 " Î x x, X ，" Îy y Y \{ 0} ，有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 000 0 0 0 , ,,, , , , , x x x F x y F x y F x y F x y x x F x y F x y F x y F x y x j j j j j j - = - + -+- £ - + -+- 由于 ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X ，我们有： " > e 0 ，$ > d 0 ， 0 y y - <d 时，" Îx X ，有 F x( , 3 y x ) - < j e ( ) ， 所以， yOy( 0 ,d ) - $ ΢ ， F x( , 3 y x ¢) - < j e ( ) ， F x ( 0 0 , 3 y x ¢) - < j e ( ) 对于上述 y¢，由于 Fxy ( , )对于 xÎX 是连续的，所以 $ > d¢ 0， 0 x x - < d¢时， F x( , y¢ ¢ ) - < Fxy ( 0 , 3 ) e ，因此： j ( x x ) -j ( 0 ) <++= eeee 333 ，即j( x C )Î (X)。 可积性：
学分析讲义 由于函数q(x)是连续的,所以也是 Riemann可积的。并且: rxy)a-()y)-9(列 由于F(x (x),我们有 >0,38>0,|y-y eX,有F(x,y)-9(x)<6/(b-a) 所以:F(x,y)x-Jq(x ∫d= :lim F(r,y)dx=o(x)dx 证毕 定理5:(可导性) 设F(x,y),F(x,y)在Xxy(X为有界集)上定义,且满足 lim F(x,y=(x), 2)F( 则:q(x)在X上可微,且q(x)=④(x) 证明:先证:mF(x,y)=q(x)是一致收敛的。 ∈X,wy,y"∈y,取定x∈X,则有: (x, y)-F(,y") 3 F(x,y)-F(x, y)-F(=, y)+F(40,3)+F(=, y) -F(,y") 由收敛性,VE>0,38>0,|y-y<8,|y-<时, F(, y)-F(o, y")<E/2 又因为:F(x,y)-F(x,y)对x可导,由 Lagrange中值定理:彐∈(0,1) F(x,y)-F(x,y") (x+0(x-x),y)-F(+0(x-x)y)x 由于F(x,y)→(x),所以彐62>0,|y-y<62,ly-y<b2时 xo),y)-F(*+0(x-3),y") 其中M为有界集X的直径。令:6=min{61,62 则当y-y<6,y”-y<6时,有:|F(xy)-F(x,y) 即:F(x,y)→q(x) 13.121
数学分析讲义 13.121 由于函数j( x) 是连续的，所以也是 Riemann 可积的。并且： ( , , ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a Fxy dx -£- j j x dx F x y x dx ò ò ò 由于 ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X ，我们有： " > e 0 ，$ > d 0 ， 0 y y - <d 时，" Îx X ，有 F x( , y ) -j e ( x) < - (b a) ， 所以： ( , ) ( ) b b b a a a Fxy dx x dx dx b a e -<= j e - ò ò ò ， 即： ( ) ( ) 0 lim , b b y y a a Fxy dx j x dx ® = ò ò 证毕 定理 5：（可导性） 设 Fxy ( , )， Fx ( x y, ) 在X Y´ （X 为有界集）上定义，且满足： 1) ( ) ( ) 0 lim , y y F x y x j ® = ， 2) ( ) ( ) 0 , x y y F x y x ® Þ F X ， 则：j( x) 在X 上可微，且j¢( x x ) = F( ) 。 证明： 先证： ( ) ( ) 0 lim , y y F x y x j ® = 是一致收敛的。 " Îx X ，" Î y y ¢, ¢¢ Y ，取定 0 x ÎX ，则有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( ) , , , , , , , , F x y Fxy F x y F x y F x y F x y F x y Fxy ¢ - ¢¢ £-- ¢ ¢¢ ¢ ++- ¢¢ ¢ ¢¢ 由收敛性，" > e 0 ，$ > d1 0 ， 0 1 y y ¢- < d ， 0 1 y y ¢¢- < d 时， F x ( 0 0 , y¢) - < Fxy ( , 2 ¢¢) e 又因为： F x( , , y¢) - Fxy ( ¢¢) 对 x 可导，由 Lagrange 中值定理：$ Îq (0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 0 0 0 0 0 0 0 , ,,, , , x x F x y F x y F x y Fxy F x q q x x y F x x x y x x ¢ --+ ¢¢ ¢ ¢¢ = + - ¢ - + - ¢¢ × - 由于 ( ) ( ) 0 , x y y F x y x ® Þ F X ，所以$ > d2 0， 0 2 y y ¢- < d ， 0 2 y y ¢¢- < d 时 Fx x ( x0 + q ( x - x y 0 ), ¢) - F ( x0 0 +q e ( x x - £ ), 2 y M ¢¢) 其中 M 为有界集X 的直径。令：d = min , {d d 1 2} ， 则当 0 y y ¢- < d ， 0 y y ¢¢- < d 时，有： F x( , , y¢) - < Fxy ( ¢¢) e ， 即： ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X
含参量的积分 (,y)-F(o, y) x≠x0 其次,令:G(x,y)= x-Ro F(ro, y) 显然:1mG(x,y)=F(x0y),mG(x,y)={x-x x≠x0 F(xo, yo 所以 p (xo)=lim F(o, y)=lim limG(x,y) lim lim G(r, y=lim p(x)-p(=o) q(x0) 证毕 §3含参量的广义积分 有了上一节关于一致收敛性的讨论,我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类:一类是无穷积分,F(x)=(xy)d,另一类是瑕积分, (x)=f(,y)dy 一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的,因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。 含参量无穷积分的一致收敛性 令:F(,4)=「f(x,y)d,这是一个二元函数,当A→+0时该函数关于x的一 致收敛性也就是广义积分的一致收敛性,因此: :定义:若函数F(x,4)=「f(x,y)当A→+∞时,对x∈X一致收敛,则称积 分。f(xy)对x∈X一致收敛 例1:讨论积分xe的一致收敛性 显然,x>0时上述积分总是收敛的,但是否一致收敛呢? 按定义,F(x,A) dy=l 若x2c>0,则:F(x,A)-1=e≤c“→0,( 所以xe”d在c+)上一致收敛 13.122
含参量的积分 13.122 其次，令： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , , , x F x y Fxy x x Gxy x x F x y x x ì - ï ¹ = í - ï = î 显然： ( ) ( ) 0 0 lim , , x x x G x y Fxy ® = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim , , y y x x x x x Gxy x x F x y x x j j ® ì - ï ¹ = í - ï = î 所以： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim , lim lim , lim lim , lim x y y yyxx xxy y x x x F x y Gxy x x G x y x x x j j j ® ® ® ® ® ® F = = - = = = ¢ - 证毕 §3 含参量的广义积分 有了上一节关于一致收敛性的讨论，我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类：一类是无穷积分， ( ) ( , ) a F x f x y dy +¥ = ò ，另一类是瑕积分， ( ) ( , ) b a G x = fxy dy ò 。 一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的，因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。 1 含参量无穷积分的一致收敛性 令： ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò ，这是一个二元函数，当 A ®+¥ 时该函数关于 x 的一 致收敛性也就是广义积分的一致收敛性，因此： 定义： 若函数 ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò 当 A ®+¥ 时，对 xÎX 一致收敛，则称积 分 ( , ) a f x y dy +¥ ò 对 xÎX 一致收敛。 例 1：讨论积分 0 xy xe dy +¥ - ò 的一致收敛性。 解： 显然， x > 0 时上述积分总是收敛的，但是否一致收敛呢？ 按定义， ( ) 0 , 1 A xy xA F x A xe dy e - - = = - ò 若 x c ³ > 0 ，则： ( , ) 1 0 xA cA F x A e e - - - =£® ，( A ®+¥) 所以 0 xy xe dy +¥ - ò 在[c,+¥) 上一致收敛；