0 b-a c-a d-a 4)左边= c-a d-a b(b2-a2)c(c2-a2)d2(d2-a2) -(b-ac-ad-a)b+a C十a d +a b2(b+a)c2(c+a)d(d+a) =(b-a)(c-a)(d-a) b+a C-b d-b b(+a)c2(c+a)-b(b+a)d'(d+a)-b(b+a) =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) (c+bc +6)+a(c+b)(d+bd+b)a(d+b) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d) (5)用数学归纳法证明 当n=时,D2= x+a2,命题成立 2x+a1 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即 Dn1=x21+a1x"-2+…+an2x+an1, 则D按第列展开:
(4) 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 a b a c a d a a b a c a d a a b a c a d a − − − − − − − − − 左边 = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a − − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )( )( ) 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a + + + − − − + + + = (b − a)(c − a)(d − a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 2 2 2 2 b b a c c a b b a d d a b b a b a c b d b + + − + + − + + − − = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 c + bc + b + a c + b d + bd + b + a d + b = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d) (c − d)(a + b + c + d) (5) 用数学归纳法证明 , . 1 2 , 1 2 2 2 1 当 时 2 x a x a 命题成立 a x a x n D = + + + − = = 假设对于 (n − 1) 阶行列式命题成立，即 , 2 1 2 1 1 1 − − − − − = + + + n + n n n Dn x a x a x a 则 按第1列展开: Dn
10 00 00 D,=xD-+a (1) =xDn1+an=右边 所以,对于n阶行列式命题成立 6.设m阶行列式D=dean),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或 依副对角线翻转,依次得 D In 11 n( n-1) 证明D1=D2=(-1)2D,D3=D 证明∵D=det(an) nI 1 an ∴D,=
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 ( 1) 1 1 − − − = + − + − x x D xD a n n n n = xDn−1 + an = 右边 所以，对于 n 阶行列式命题成立. 6.设 n 阶行列式 det( )ij D = a ,把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或 依副对角线翻转，依次得 n n nn a a a a D 11 1 1 1 = ， 11 1 1 2 n n nn a a a a D = ， 1 11 1 3 a a a a D n nn n = ， 证明 D D D D D n n = = − = − 3 2 ( 1) 1 2 ( 1) , . 证明 det( )ij D = a n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a D 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) − = = − = − − = − − n n nn n n n n a a a a a a a a 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) ( 1) n nn n n n a a a a 1 11 1 1 2 = (−1) (−1) (−1) − −