§3.1中值定理 、罗尔定理 拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 自
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 §3.1 中值定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、罗尔定理 观察与思考 设连续光滑的曲线yfx)在端点A、B处的纵坐标 相等. 提问: f(9)= y 提示: C y=(x) f"(=0 A B O b x 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、罗尔定理 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等 提问： f (x)= ? •观察与思考 提示： f (x)=0 下页
☆罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有a)=b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f"(=0 简要证明: (1)若f(x)是常函数,则f'(x)=0,定理的结论显然是成 立的 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0 简要证明 (1)若f(x)是常函数 则f (x)0 定理的结论显然是成 立的 下页
☆罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有a)=b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f"(=0 简要证明: (2)若fx)不是常函数,则(x)在(a,b)内至少有一个最 大值点或最小值点,不妨设有一最大值点5∈(a,b).于是 f()=f()=lm f(x)-f(2) 0 X f(s=(=lim fx)/(50 XX 因此必有f(2)=0 画首贝贝这回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim − − = = → − − x x x x x x f x f f f x (2)若f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至少有一个最 大值点或最小值点 不妨设有一最大值点x(a b) 于是 因此必有f (x)=0 下页 简要证明 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim − − = = → + + x x x x x x f x f f f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim − − = = → − − x x x x x x f x f f f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim − − = = → + + x x x x x x f x f f f x ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0
☆罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b) 内可导,且有a)=b),那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f∫"(=0 应注意的问题: 如果定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论 有可能不成立 y八(x O b x fa)=(b)不满足 首页返回页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足 则定理的结论 有可能不成立 下页 ❖罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 且有f(a)=f(b) 那么至少存在一点x(a b) 使得 f (x)=0