压杆稳定 典型习题解析 1图示№20a工字钢,在温度20℃时安装,这时杆不受力,试问:当温度升高多少度时,工 字钢将丧失稳定?钢的线膨胀系数a=125×101/C 解题分析:计算时,取i的最小值。此题是 一度静不定问题,利用变形协调方程求解。 解:1、求柔度λ,查表№20a工字钢 N220a 2.12cm 题1图 =出=-05×6m 142>A2、求失稳时的温度 杆为细长杆,临界应力公式为G=xE 当温度上升△T时,杆内的应力σr=aE△T 若温度上升△T时,杆开始失稳,则有aa=σr 丌E 或 (4)2-aE.7 于是=x2aE12510C×142=392C 安装时的温度为20℃,故失稳时的温度为 T=20°+△T=592° 2图示结构中,AB及AC均为圆截面杆,直径d=80mm,材料为Q235钢,求此结构的临界 载荷Fcs 解题分析:分别计算各杆可承担的临界载荷,取 小值 解:1、计算在F力作用下各杆的轴力 FN=cos60°F,F=2Fs 题2图 √3 FN2=Fsin 60=F, F=FN2=1.15FN
压 杆 稳 定 典型习题解析 1 图示№20a工字钢，在温度 20℃时安装，这时杆不受力，试问：当温度升高多少度时，工 字钢将丧失稳定？钢的线膨胀系数α=12.5×10-61/℃。 解题分析：计算λ时，取 i 的最小值。此题是 一度静不定问题，利用变形协调方程求解。 6m 解 ： 1 、 求 柔 度 λ ，查表№ 20a 工 字 钢 imi n = 2.12cm 。 №20a 题 1 图 p 2 142 2.12 10 m 0.5 6m λ µ λ = > × × = = − i l c 2、求失稳时的温度 杆为细长杆，临界应力公式为 2 2 cr ( ) π λ σ E = 当温度上升∆T 时，杆内的应力 σ T =α ⋅ E ⋅∆T 若温度上升∆T 时，杆开始失稳，则有σ cr = σ T 或 E T E =α ⋅ ⋅ ∆ λ 2 2 ( ) π 于是 39.2 C 12.5 10 1/ C 142 π π ∆ 6 2 2 2 2 D D = × × = = ⋅ ⋅ − T α E αλ 安装时的温度为 20℃，故失稳时的温度为 T = 20° + ∆T = 59.2° 2 图示结构中，AB及AC均为圆截面杆，直径d = 80 mm，材料为Q235 钢，求此结构的临界 载荷Fcr。 F F 解题分析：分别计算各杆可承担的临界载荷，取 小值。 解：1、计算在 F 力作用下各杆的轴力 F F F 2 1 N1 = cos60 = D ， F = 2FN1 F F F 2 3 N2 = sin 60 = D ， N2 15 N2 1. 3 2 F = F = F FN1 B C A 1 2 F N2 60O 30O 4m 题 2 图 1
2、计算各杆的柔度 l×4000 mmx cos30 一=173 21×4000mmx 30=100 两杆均为大柔度杆 3、分别计算各杆的临界轴力,确定结构的临界载荷 (80×10-3m)4 T =330.7×103N=330.7kN (1)2 (1×4 m cos30°)2 Ferl =2FNI =661. 4kN 2200×109 (80×10-3m)4 990×103N=990kN (1×4 m xsin30°)2 F=1.15FN=1139kN 该结构的临界载荷取两者中较小者,即Fa=6614kN 3图示结构中,分布载荷q=20kN/m。梁的截面为矩形,b=90mm,h=130mm。柱的截 面为圆形,直径d=80mm。梁和柱均为Q235钢,[a]=160MPa,稳定安全因数n1=3。 试校核结构的安全。 解题分析:本题结构中,应校核梁的强度和柱的稳定性,两者分别符合强度、稳定性条件才 能保障结构的安全 H+H 题3图 解:1、校核梁的强度 根据图b所示∑M4=0,得FB=625kN 作梁的弯矩图,如图c所示,M=352kNm
2、计算各杆的柔度 173 80 mm / 4 1 4000mm cos30 l l 1 = × × = = D i µl λ 100 80 mm/ 4 1 4000mm sin 30 2 2 2 = × × = = D i µl λ 两杆均为大柔度杆 3、分别计算各杆的临界轴力，确定结构的临界载荷 330.7 10 N 330.7 kN (1 4 m cos 30 ) 64 π (80 10 m) π 200 10 Pa ( ) π 3 2 3 4 2 9 2 1 2 N1 = × = × × × × × × = = − D l EI F µ Fcr1 = 2FN1 = 661.4kN 990 10 N 990 kN (1 4 m sin 30 ) 64 π (80 10 m) π 200 10 Pa ( ) π 3 2 3 4 2 9 2 2 2 N2 = × = × × × × × × = = − D l EI F µ Fcr2 =1.15FN2 =1139kN 该结构的临界载荷取两者中较小者，即 Fcr=661.4 kN 3 图示结构中，分布载荷 q = 20 kN/m。梁的截面为矩形，b = 90 mm，h = 130 mm。柱的截 面为圆形，直径 d = 80 mm。梁和柱均为 Q235 钢，［σ］=160 MPa，稳定安全因数 。 试校核结构的安全。 nst = 3 解题分析：本题结构中，应校核梁的强度和柱的稳定性，两者分别符合强度、稳定性条件才 能保障结构的安全。 q q 解：1、校核梁的强度 根据图 b 所示∑ M A = 0 ，得 FB = 62.5 kN 作梁的弯矩图，如图 c 所示， M max = 35.2 kN ⋅ m (b) 题 3 图 (c) 35.2 kN·m A FB D B F A C (a) D B d 4m 1m 4m b A h M 2
梁的最大弯曲正应力为 Mmx_6Mm6×352×10N·m Wbh290×10-3mx(130×10-3m) 1389×10°Pa=1389MPa<[o 所以梁的强度足够 2、柱的稳定性校核 柱的轴向压力为F=FB=625kN,柱两端铰支 d 80 mm =20mm, 4000mm 0 mm ,故BC杆是大柔度杆。 F.=2E2x2×200109x×(80×10m) =248×103N=248kN 稳定校核 F=625kN< Fer 248kN 827kN 柱的稳定性足够,所以结构安全。 4图示支柱由四根80×80×6的角钢所组成。支柱的两端为铰支,柱长l=6m,压力为 450kN。若材料为Q235钢,许用应力[a]=170MPa。试求支柱横截面边长a的尺寸 题4图 解题分析:本题用折减系数法先确定φ值,再确定λ和l,根据L计算边长a。用折减系数法时 不用先判断压杆的类别。 解:查型钢表,80mm×80mm×6mm角钢的横截面面积A=9397×10-m2,对于图示形心轴 二c的惯性矩 1.=5735×103m4
梁的最大弯曲正应力为 138.9 10 Pa 138.9 MPa [ ] 90 10 m (130 10 m) 6 6 35.2 10 N m 6 3 3 2 3 2 max max max σ σ = × = < × × × × × ⋅ = = = − − bh M W M 所以梁的强度足够。 2、柱的稳定性校核 柱的轴向压力为 F = FB = 62.5kN ，柱两端铰支 µ = 1， 20mm 4 80 mm 4 = = = d i ， 200 20 mm 4000mm = = = i µl λ λ>λp，故BC杆是大柔度杆。 248 10 N 248kN 64 π (80 10 m) (1 4 m) π 200 10 Pa ( ) π 3 3 4 2 2 9 2 2 cr = × = × × × × × × = = − l EI F µ 稳定校核 82.7 kN 3 248 kN 62.5 kN st cr = < = = n F FB 柱的稳定性足够，所以结构安全。 4 图示支柱由四根 80×80×6 的角钢所组成。支柱的两端为铰支，柱长 ，压力为 450kN。若材料为 Q235 钢，许用应力 l = 6 m [σ ] = 170 MPa 。试求支柱横截面边长 a 的尺寸。 解题分析：本题用折减系数法先确定ϕ值，再确定λ和Iz，根据Iz计算边长a。用折减系数法时 不用先判断压杆的类别。 解：查型钢表，80 mm×80 mm×6 mm角钢的横截面面积A=9.397×10-4 m 2 ，对于图示形心轴 zC 的惯性矩 Cz I =57.35×10-8 m 4 z zC 80×80×6 h 21.9 a a 题 4 图 3
1、根据稳定性条件确定φ值 Fl≤叫a]A 450×10°N≤g×170×10°Pa(4×9.397×10-m2) 从而要求q≥0.704,由表可得相应A≤845 2、确定组合截面形心轴z应有的惯性矩 l×6m 84.5 4/ V4AV9397×10-m2 根据上式可得每个角钢对组合截面形心轴z应有的惯性矩 45×9397×10-m2=473×103m4 3、确定a值 1-=1.+Ah2 57.35×103m4+9.397×104m2h2≥473×108 h2≥442×10-4m2,即h≥665×102m 于是得a≥2(219×102m+665×102m)=0177m 可取a=0.177m=177mm 5三角形木屋架的尺寸及所受载荷如图所示,F=97kN。斜腹杆CD为矩形截面,按构造 要求最小截面尺寸为1000m×100mm,材料为松木,其顺纹抗压许用应力]=10MPa, 若按两端铰支考虑,试校核该压杆的稳定性 KAE F72 8×1.5m=12m 题5图 解题分析:本题用折减系数法。在工程中,桁架压杆的稳定校核非常重要,利用λ査ρ可 内插法。 解:1、计算CD杆的轴力及应力 以截面1-1以左为分离体。容易算出,CH=3m×3/4=2.25m,HD=1.5m
1、根据稳定性条件确定ϕ 值 [F] ≤ ϕ[σ ]⋅ A 450 10 N 170 10 Pa(4 9.397 10 m ) 3 6 −4 2 × ≤ ϕ × × × × 从而要求ϕ ≥ 0.704 ，由表可得相应λ≤84.5 2、确定组合截面形心轴 z 应有的惯性矩 84.5 9.397 10 m 1 6m 4 4 4 2 ≤ × × = = − z z I A I µl λ 根据上式可得每个角钢对组合截面形心轴 z 应有的惯性矩 2 4 2 8 4 ) 9.397 10 m 473 10 m 84.5 6m ( − − I z ≥ × × = × 3、确定 a 值 Iz= +Ah Cz I 2 57.35×10-8 m 4 +9.397×10-4 m 2 h2 ≥473×10-8 m 4 h2 ≥ 44.2×10-4 m 2 ，即h≥6.65×10-2 m 于是得 a≥2(2.19×10-2 m +6.65×10-2 m) = 0.177 m 可取 a = 0.177 m=177 mm 5 三角形木屋架的尺寸及所受载荷如图所示，F = 9.7 kN。斜腹杆 CD 为矩形截面，按构造 要求最小截面尺寸为 1000 mm×100 mm，材料为松木，其顺纹抗压许用应力[σ ] = 10 MPa ， 若按两端铰支考虑，试校核该压杆的稳定性。 F F 解题分析：本题用折减系数法。在工程中，桁架压杆的稳定校核非常重要，利用λ查ϕ可用 内插法。 解：1、计算 CD 杆的轴力及应力 以截面 1-1 以左为分离体。容易算出，CH = 3 m×3/4=2.25 m，HD = 1.5m ， α F K 1 F F 8×1.5m=12m F F/2 α F C H 3m F/2 A B 1 D 题 5 图 4
CD=√(225m2+1.5m)2=27m,AK=AD×cosa=4×1.5m×225/.70=50m。 故由∑M=0有-FN,CDAK-F×3×1.5-F×2×1.5-1.5F=0 于是得FN.CD=-9FK=-9m×9.7kN/50m)=175kN ocD=FN,c=17.5×103N/(1×1×102m2)=1.75MPa 2、CD杆的稳定性校核 压杆CD的柔度为 x==1×2m0m=939 100×10-3m 根据=939利用内插法,求得φ=0.34,于是 [as]=g[a]=034×10MPa=34MPa aCD=1.75 MPa< [os=3.4 MPa 所以CD杆满足稳定性要求
(2.25m) (1.5m) 2.7m 2 2 CD = + = ，AK=AD×cosα= 4×1.5 m×2.25/2.70 = 5.0 m。 故由 ∑MA=0 有 -FN，CDAK-F×3×1.5-F×2×1.5-1.5F=0 于是得 FN，CD= - 9F /AK= - 9m×9.7 kN /(5.0 m) =17.5 kN σ CD= FN，CD/A= 17.5×103 N/(1×1×10-2 m 2 ) =1.75 MPa 2、CD 杆的稳定性校核 压杆 CD 的柔度为 93.9 12 100 10 m 1 2.70m 3 = × × = = − i µl λ 根据λ=93.9 利用内插法，求得ϕ =0.34，于是 ［σ st］=ϕ ［σ］=0.34×10 MPa =3.4 MPa σ CD=1.75 MPa<［σ st］=3.4 MPa 所以 CD 杆满足稳定性要求。 5