氵2-1几何构造分祈的几个概念 19 个坐标x、v、0可以独立地改变),因此一个刚片在平面内有三个自由度 △y 般说来,如果·个体系有n个独立的运动方式,则这个体系有n个自 由度。换句话说,一个体系的自由度,等于这个体系运动时可以独立改变的 坐标的数目。 普通机械中使用的机构有…个自由度,即只有…种运动方式一般T 程结构都是几何不变体系,其自由度为零。凡是自由度大于零的体系都是 儿何可变体系。 3.约束 在图2-4a中,梁AB用支杆AC与基础相连,没有支杆时,这个梁在 平面内有三个自由度。加上支杆AC以后,梁AB只有两种运动方式:A点 沿以C为圆心、以AC为半径画的圆弧移动;梁绕A点转动。由此可见,支 杆A(使梁的白出度由3减为2,即支杆使梁的自由度减少一个。因此 个攴杆相当于一个约束。 B (b) 图2-4 在图2-4b中,两个梁AB和BC用铰B连接在-起。两个孤立的梁在 平面内共有6个自由度。用铰连接以后,自由度便减为4:因为用个坐标 便可以确定梁AH的位置,然后梁BC只能绕B点转动,只需再用一个转角 就叮以确定梁BC的位置。由此可见,一个连接两个物体的铰使自由度减少 两个,所以一个铰相当于两个约束
20 箅2章结构的八何构逢分析 图2-4c所示为两根杆件AB和BC在B点连接成一个整体,其中的结 点B为刺结点:原来的两根杆件在平面内共有六个自由度,刚性连接成整 休后,只有三个自由度,所以一个刚性结合相当于三个约 4.多余约束 如果在一个体系中增加一个约束,而体系的自出度并不囚而减少,则此 约束称为多余约東。 例如,平面内一个自由点A原来有两个自由度。如果用两根不共线的 链杆1和2把A点与基础相连(图25a),则A点即被固定,因此减少两个 自由度,可见链杆1或2都是非多余约東 如果用三根不共线的链杆把A点与基础相连(图2-5b),实际上仍只 减少两个自由度。因此,这三根链杆中只有两根是非多余约束,而有一根是 多余约束(可把三根链杆中的任何一根视为多余约束)。 由上述可知,一个体系中如果有多个约束存在,那末,应当分清楚:哪些 约束是多余的,哪些约束是非多余的。只有非多余约束才对体系的自由度 有影响,而多余约束则对体系的自由度没有影响。 5.翮变体系 如图2-5a所示,用两根不共线的链杆可以把平面上的A点完余固定 起来。但是,要特别注意图2-5c所示两根链杆彼此共线的情况这种体系 具有如下一些特点 第一,从微小运动的角度来看,这是·-个可变体系。为∫说明这个特 点,可将图2-5a与c中的体系作如下的对比。首先设想在A点把链杆 与2分开,这时,链杆1上的A点可绕B点沿圆弧I运动,链杆2上的A点 可绕C点沿圆弧Ⅱ运动。然后再将两个链杆在A点铰结在一起。在图2 5c中,由于两个圆弧在A点相切,故A点仍可沿公切线方向作微小的运动 与此相反,在图2-5a中,由于两个圆弧在A点不是相切而是相交,因此A 点既不能沿圆弧Ⅰ运动,也不能沿圆弧Ⅱ运动,这样,A点就被完全固
§2-↓几何构造分析的几个概念 定」 第∷,在图2-5c中,当A点沿公切线发生微小位移以后,两根链杆就 不再彼此共线,因而体系就不再是可变体系。这种本来是几何可变、经微小 位移后又成为几何不变的体系可称为瞬变体系。瞬变体系是可变体系的 种特殊情况。为∫明确起见,可变体系还可进一步分为脲变体系和常变体 系两种情况,如果一个几何叮变体系可以发生大位移,则称为常变体系,图 1a为常变体系的例子 第,在图25c中,自由息A在平面内有两个自由度,增加两根共线 什!和2把A点与基础相连接以后,A点仍然貝有…个自由度可见在 链杆1和2这两个约束中有一个是多余约束般说来,在任一瞬变体系中 必然存在有多余约束、 6.瞬铰 如图2·6a所示刚片I在平面内本来有个自由度.如果用两根不平行 的链杆1和2把它与基础相连接,则此体系仍有个门由度。现在对它的运 动特点加以分析。由于链杆的约朿作用,A点的微小位移应与链杆I垂直 (∵点的微小位移应与链杆2垂直:以O表示两根链杆轴线的交点,显然, 刚片1可以发生以O为中心的微小转动.O点称为瞬时转动中心:这时, 刚片Ⅰ的瞬时运动情况与刚片]在(点用铰与基础相连接时的运动情况完 仝相同。因此,从瞬时微小运动来看,两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约東作用。这个铰可称为瞬铰、显然住体系运 动的过程中,与两根链杆相应的瞬铰位置也随着在改变 用瞬铰替换对应的两个链杆约束,这种约東的等效变换只适用于瞬时 微小运动、 (b) 相交在∞点 D zeeman
第2章结构的几何构造分祈 无穷远处的瞬铰 如果用两根平行的链杆1和2把刚片1与基础相连接(图2-6b),则两 根链杆的交点无穷远处。因此,两根链杆所起的约束作用相当于无穷远 处的瞬铰所起旳约束作用。由于瞬铰在无穷远处,因此绕瞬铰的微小转动 就退化为平动,即沿两根链杆的正交力向产生平动(在图2-6b中,A点和C 点的微小位移垂直于两根链杆)。 在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时,可以采用射影几何中 关于∞点和∞浅的下列四点结论: (1)每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点) (2)不同方向有不同的∞点。 (3)各∞点都在问·直线上,此直线称为∞线。 (4)各有限点都不在∞线上。 关于上述四点结论的合理性,可结合几何构造分析的实例加以检验 §2-2平面几何不变体系的组成规律 本节讨论几何构造分析屮的主要课题一无多余约束的几何不变体系 的组成规律。这里只讨论平面杆件体系最基本的组成规律。(以后在§2 6和§4-3中还要讨论复杂体系的几何构造分析问题 1.一个点与一个刚片之间的联结方式 个点与一个刚片(或基础)之间应当怎样联结才能组成既无多余约束 又是几何不变的整体呢?图2-5a中的联结方式符合上述要求,而图25b 和c中的连接方式则不符合(图25b中有多余约束,图2-5c为几何可 变)。由此叮得下述规律(参看图2-7a) 规律1个刚片与一个点用两根链杆相连,且三个铰不在一直线上 则组成儿何不变的整体,并且没有多余约束 2.两个刚片之间的联结方式 在图2-7a中,如果把链杆AB看作刚片Ⅱ,则得到图27b所小的体 系,它表示两个刚片1与Ⅱ之间的联结方式。这样,由规律1可得到下述规 律 规律2两个刚片用一个铰和一根链杆相联结,且三个铰不在一自线 上,则组成儿何可不变的整体,并且没有多余约束 3.三个刚片之间的联结方式 在图2-7b中,如果再把链杆AC看作刚片Ⅲ,则得到图2-7c所示的 体系,它表示三个刚片[、Ⅱ、Ⅲ之间的联结方式。这样,由规律2可得到下
§2-2平面几何不变体系的组成规津 述规律 (a) (b) 多多影 图27 规律3个刚片用三个铰两两相连,且个铰不在一直线上,则组成 几何不变的整体,并且没有多余约束 上述三条规律虽然表述方式不同,但实际上可归纳为一个基本规律:如 果“个铰不共线,则一个铰结二角形的形状是不变的,而且没有多余约束 这个基本规律可称为角形规律。 在上述三条规律中,如果把图2-7a、b、c中的刚片I肴作基础,则规律 !说明一个点的固定方式,规律2说明一个刚片的固定方式,規律3说明两 个刚片的固定方式。 前已指出,两根链杆的约束作用相当于·个瞬铰的约束作用。因此 角形规律中的每一个饺,都可用相应的两根链杆来替换。这样,三角形规律 还可用别的方式来表述。举例来说,如果把图2-7中的铰B换成两根链 杆1和2,即得到图2-7d所示的体系(链杆1与2相交于B点)。这样,由 规律2可得到下述规律: 规律4两个刚片用三根链杆相连,且链杆不交于同一点,则组成几 何不变的整体,并且没有多余约束。 注意,规律4中提到“三链杆不交于一点”,规律2中提到“三铰不在…直 线上”,这两种提法实际上表示同一个条件。由图2-7d看出,如果三根链杆 12、3不交于一点,则链杆3必不通过1与2的交点B,因而三个铰A、B、C 即不在-条直线上。因此,“三链杆不共点”与“二铰不共线”是完全等 效的