《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵的基本概念

0 00 0 000 a 000 01a 0 00 0 00 00 00 a d 0

3 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ( ) 0 0 0 a a a a         − −   −     − −   −

100 0 010 0 00 000(-a) 几矩阵标准形的唯一性 定义:A()为一个九矩阵且rank(A()=r对 于任意的正整数k,1<k≤r,A(4)必有非零的k 阶子式,A()的全部k阶子式的最大公因式D(4) 称为A()的k阶行列式因子

4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( )  a             −  矩阵标准形的唯一性 定 义： 为一个 矩阵且 对 于任意的正整数 ， ， 必有非零的 阶子式， 的全部 阶子式的最大公因式 称为 的 阶行列式因子。 A( )   rank A r ( ( ))  = k 1  k r A( )  k A( )  k ( ) Dk  A( )  k

显然,如果ramk(A()=r,则行列式因子 共有7个。 例1求 1-222 A()=元 1+元 的各阶行列式因子 解:

显然，如果 ，则行列式因子 一共有 个。 例 1 求 的各阶行列式因子。 解： rank A r ( ( ))  = r 2 2 2 2 1 ( ) 1 A             −   = −     + −  

由于(1-x,)=1,所以D1()=1 1-|=A(-2-2+1)=f(4) 1- =2(-2-1)=g() 2+1元 显然(f(),g()=而且其余的7各2阶 子式也都包含作为公因子,所以 D2()=元 另外 A4(4)=-23-22→D3(4)=3+22

由于 ，所以 。 显然 而且其余的7各2 阶 子式也都包含 作为公因子，所以 另外 (1 , ) 1 − =   1 D ( ) 1  = 2 2 2 2 3 2 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) ( ) 1 f g                − = − − + = − = − − = + ( ( ), ( )) f g    = 3 2 3 2 3 A D ( ) ( )       = − −  = +  2 D ( )   =

注意:观察D(x),D2(),D3(x)三者之间的关 系 定理:等价(相抵)λ矩阵有相同的各阶行列 式因子从而有相同的秩 设九矩阵A()的Smh标准形为

注意 ：观察 三者之间的关 系。 定理： 等价（相抵） 矩阵有相同的各阶行列 式因子从而有相同的秩。 设 矩阵 的Smith标准形为 1 2 3 D D D ( ), ( ), ( )      A( ) 