《矩阵分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵的基本概念

d1(x) d2() A()= d() 0 0 容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为

1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d A d           容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为

D(4)=d1(4) D2()=a1(1)d2() D(4)=d1(4d2(4)…d,() 显然有: d1()=D1() d2()= D2() D() d,() D(4) D-1()

1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r D d D d d D d d d          = = = 显然有： 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r d D D d D D d D        −  = = =

由于A(x)与上面的 Smith标准形具有相同的 各阶行列式因子,所以A(4)的各阶行列式因 子为 D(4),D2(A),,D(4) d1(),d2(),…,d1(x) 又是由这些行列式因子唯一确定的,于是我 们得到 定理:A()的 Smith标准形是唯一的 例1求下列λ矩阵的 Smith标准形

由于 与上面的Smith标准形具有相同的 各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因 子为 而 又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我 们得到 定 理： 的Smith标准形是唯一的。 例 1 求下列 矩阵的Smith标准形。 A( )  A( )  1 2 ( ), ( ), , ( ) D D D   r 1 2 ( ), ( ), , ( ) d d d   r A( )  

0 2 000 00 00 000 0 a

2 2 2 2 1 2 1 000 0 0 0 (1) 0 ( 1) 0 0 0 0 0 (2) n a c a c a c a           −     − −   −   −   − −   −

00 0 1x+2 1x+20 (3) +20 0 +20 0 0 解:(1)容易计算出 D(4)=1,D2()=x(-1) D3(4)=22(4-1)2,D4(4)=2+(4-1)4 d1()=1,d2()=(2-1) d3()=4(-1)d4()=22(2-1)

0 0 1 2 0 1 2 0 (3) 1 2 0 0 2 0 0 0       +   +     +     + 解 ：（1）容易计算出 1 2 2 2 4 4 3 4 ( ) 1, ( ) ( 1) ( ) ( 1) , ( ) ( 1) D D D D           = = − = − = −  1 2 2 2 3 4 ( ) 1, ( ) ( 1), ( ) ( 1), ( ) ( 1) d d d d           = = − = − = −