随机变量函数的数学期望 定理41.1:(i)设连续型(离散型)随机变量X的分布密度 为p(x)(分布列为p,i=1,2, 实函数9(x)为Bore可测函 数,令Y=9(X),若E(9(X)存在,则 E((X)
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ➅➴❈þ➻ê✛ê➷Ï✧ ➼♥4.1.1:↔i↕✗ë❨✳↔❧Ñ✳↕➅➴❈þX✛➞Ù➋Ý ➃p(x)↔➞Ù✎➃pi , i = 1, 2, · · ·↕➜➣➻êg(x)➃Borel➀ÿ➻ ê➜✲Y = g(X)➜❡E(g(X)) ⑧✸➜❑ E(g(X)) = P∞ i=1 g(xi)pi R , X➃❧Ñ✳➅➴❈þ➯ ∞ −∞ g(x)p(x)dx, X➃ë❨✳➅➴❈þ✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
随机变量函数的数学期望 定理41.1:(i)设连续型(离散型)随机变量X的分布密度 为p(x)(分布列为p,i=1,2,……),实函数g(x)为Bore可测函 数,令Y=9(X),若E(9(X))存在,则 E((X) g(x)P,X为离散型随机变量 (x)p(x)dx,X为连续型随机变量
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ➅➴❈þ➻ê✛ê➷Ï✧ ➼♥4.1.1:↔i↕✗ë❨✳↔❧Ñ✳↕➅➴❈þX✛➞Ù➋Ý ➃p(x)↔➞Ù✎➃pi , i = 1, 2, · · ·↕➜➣➻êg(x)➃Borel➀ÿ➻ ê➜✲Y = g(X)➜❡E(g(X)) ⑧✸➜❑ E(g(X)) = P∞ i=1 g(xi)pi R , X➃❧Ñ✳➅➴❈þ➯ ∞ −∞ g(x)p(x)dx, X➃ë❨✳➅➴❈þ✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
随机变量函数的数学期望 (ⅱi)设连续型(离散型)随机向X=X1,…,Xn的联合分布 密度为p(x1,…,xn)(分布列为p1…in,ij=1,2,…),实函 数g(x1,…,xn)为Bore可测函数,令Y=9(X),若E(9(X)存 在,则 (a)若X为离散型随机变量 E(9(X)=
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ➅➴❈þ➻ê✛ê➷Ï✧ ↔ii↕✗ë❨✳↔❧Ñ✳↕➅➴➉þX = X1, · · · , Xn✛éÜ➞Ù ➋Ý➃p(x1, · · · , xn)↔➞Ù✎➃pi1,··· ,in , ij = 1, 2, · · ·↕➜➣➻ êg(x1, · · · , xn)➃Borel➀ÿ➻ê➜✲Y = g(X)➜❡E(g(X)) ⑧ ✸➜❑ ↔a↕❡X➃❧Ñ✳➅➴❈þ E(g(X)) = X∞ i1=1 · · · X∞ in=1 g(x1, · · · , xn)pi1,··· ,in . ↔b↕❡X➃ë❨✳➅➴❈þ E(g(X)) = Z ∞ −∞ · · · Z ∞ −∞ g(x1, · · · , xn)p(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn. Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
随机变量函数的数学期望 (ⅱi)设连续型(离散型)随机向X=X1,…,Xn的联合分布 密度为p(x1,…,xn)(分布列为p1…in,ij=1,2,…),实函 数g(x1,…,xn)为Bore可测函数,令Y=9(X),若E(9(X)存 在,则 (a)若X为离散型随机变量 Eo(x)=∑ (b)若X为连续型随机变 E(9(X)= g(x1,…,xn)p(x1,…,xn)dxn…drn
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ➅➴❈þ➻ê✛ê➷Ï✧ ↔ii↕✗ë❨✳↔❧Ñ✳↕➅➴➉þX = X1, · · · , Xn✛éÜ➞Ù ➋Ý➃p(x1, · · · , xn)↔➞Ù✎➃pi1,··· ,in , ij = 1, 2, · · ·↕➜➣➻ êg(x1, · · · , xn)➃Borel➀ÿ➻ê➜✲Y = g(X)➜❡E(g(X)) ⑧ ✸➜❑ ↔a↕❡X➃❧Ñ✳➅➴❈þ E(g(X)) = X∞ i1=1 · · · X∞ in=1 g(x1, · · · , xn)pi1,··· ,in . ↔b↕❡X➃ë❨✳➅➴❈þ E(g(X)) = Z ∞ −∞ · · · Z ∞ −∞ g(x1, · · · , xn)p(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn. Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
常41.4 设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立, 求E(mar(X,Y) 解f(x,y)=f(x)1()= E(max(x, r))= max(x,y)f(,y)dxdy ∫max{x,y/(x,y)d +「max{x,yf(x,y)ahy
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.4 ✗X ∼ N(0, 1), Y ∼ N(0, 1), X, Y ❷♣Õá➜ ➛E(max(X, Y )) . Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿