例4.1.1 X~B(m,p),求E(X 解: E(X ∑ (n-1)! np (k-1)!( (1-p)(n-1)-(k-1) k=1 1p^(1-)(n 特例若Y~B(1,p)
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.1 X ∼ B(n, p), ➛E(X) . ✮: E(X) = Xn k=0 kCk np k (1 − p) n−k = npXn k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)!p k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np nX−1 k=0 C k n−1p k (1 − p) (n−1)−k = np ❆⑦ ❡Y ∼ B(1, p), ❑E(Y ) = p Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
例4.1.1 X~B(m,p),求E(X 解: E(X)= ∑ (n-1)! np (k-1)!(n-k)! (1-p)(n-1)-(k-1) k=1 n∑C-1(1-p)-1-k=mp 特例若Y~B(1,p),则E(Y)=p
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.1 X ∼ B(n, p), ➛E(X) . ✮: E(X) = Xn k=0 kCk np k (1 − p) n−k = npXn k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)!p k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np nX−1 k=0 C k n−1p k (1 − p) (n−1)−k = np ❆⑦ ❡Y ∼ B(1, p), ❑E(Y ) = p Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
数学期望的定义 B连续性随机变量
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ê➷Ï✧✛➼➶ B.ë❨✺➅➴❈þ ✗ë❨➅➴❈þX✛➋Ý➻ê➃p(x),❡➮➞ R ∞ −∞ xp(x)dxýé➶ ñ➜❑→❚➮➞➃X✛ê➷Ï✧➜P➃ E(X) = Z ∞ −∞ xp(x)dx Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
数学期望的定义 B连续性随机变量 设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分mp(x)dm绝对收 敛,则称该积分为X的数学期望,记为
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ê➷Ï✧✛➼➶ B.ë❨✺➅➴❈þ ✗ë❨➅➴❈þX✛➋Ý➻ê➃p(x),❡➮➞ R ∞ −∞ xp(x)dxýé➶ ñ➜❑→❚➮➞➃X✛ê➷Ï✧➜P➃ E(X) = Z ∞ −∞ xp(x)dx Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
例4.12 X~N(,a2),求E(X) E(X)
ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.2 X ∼ N(µ, σ2 ), ➛E(X) . ✮: E(X) = Z +∞ −∞ x 1 √ 2πσ e − (x−µ) 2 2σ2 dx x−µ σ =u = Z +∞ −∞ (uσ + µ) 1 √ 2π e − u 2 2 du = µ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿