F(x)=mgR2.2下面用微元法来求变力所作的功 取x为积分变量x∈IR,R+Hl W=F(x)=图Q2 d x 2 R+h H g R 丶=mRR+H 2 R 为了使火箭脱离地球引力范围,也 就是说要把火箭发射到无穷远处H→>+00 所须作的功 w=limwH=limmeR( )=mgR H→+0 H→+0 RR+h
2 2 1 ( ) x F x = mgR 下面用微元法来求变力所作的功。 x[R,R+ H] dx x dW F x dx mgR 2 2 1 = ( ) = dx x W mgR R H R H + = 2 2 1 ) 1 1 ( 2 R R H mgR + = − 取 x 为积分变量 mgR R R H w w mgR H H H = + = = − →+ →+ ) 1 1 ( 2 lim lim H → + 所须作的功 为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处
这功是由火箭上的动能转化而来,若火箭 离开地面时的初速度为v 则动能为1 v 2 因此要使火箭脱离地球引力范围,须有 mv2≥mgRv≥√2gR 98×103km/s2,R=6371km 代入上式得212m第二宇宙速度
0 v 则动能为 2 0 2 1 mv 因此要使火箭脱离地球引力范围，须有 mv mgR 2 0 2 1 v0 2gR g 9.8 10 km s ,R 6371km 3 2 = = − 代入上式得 s v 11.2 km 0 ——第二宇宙速度 这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭 离开地面时的初速度为
例3半径为R,高为H的圆柱形贮水桶,盛满了水, 问将水桶中的水全部吸出须作多少功? 解这个问题虽然不是变力作功问题,但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的,所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的 在区间[y+小]上对应一小薄柱体 该水柱重为nR 将这一小水柱提到桶口所经过的距离 H
半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？ 解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的 在区间 [ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体 该水柱重为 R dy 2 将这一小水柱提到桶口所经过的距离 H − y 例3
h=mR(H-y)小 →形=mR2(H-y)=R2H2 2 将以上几例的解法一般化可得 若一物体在变力F(x)的作用下,沿 力的方向(ox轴)作直线运动,当物体由 x=a移到x=b时,变力F(x) 对物体所作的功为 w= F()dx
dw R (H y)dy 2 = − 2 2 0 2 2 w R (H y)dy R H H = − = 将以上几例的解法一般化 可得 若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿 力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x ) = b a w F(x)dx 对物体所作的功为