第七章第1节5.（1）可积(2）不可积(3）不可积.（4）可积-6.提示：の-0,()m8.提示：充分性：设f(x)≤M.=>0，存在划分P，使得振幅の,≥的小区间的长度之和小于s，于是o,Ax,<[2M+(b-a)]e;i=l必要性：如果存在6>0与。>0，对任意划分P，振幅の,≥6的小区间的长Z0;Ax, 不度之和不小于0，于是0;Ax,≥0，则当=max(Ax,）→0时，1isli=趋于零，9.提示：由于g(u)在[A,B]连续，所以一致连续，V>0,38>0,Vu,u"e[A,B],只要u'-u<8，成立g(u)-g(u")<s.另外设g(u)≤M由于f(x)在[a,b]可积，由习题8.对上述s>0与S>0，存在划分P，使得振幅の（f)≥的小区间的长度之和小于6，于是Z0,(g. J)Ar, <[2M +(b-a)].第2节4. (1)fxdx(2) J2"dx) dx>J2*dx. (4) [esin xdx<[3)(2xd7.提示：原式可化为，2=a1[V(t)-1(b)dx=0, 由此推出在(a, +h)）上至少有一点n，满足f(n)-f(b)=0.再对f(x)在[n,b]上应用Rolle定理,1
第七章 第 1 节 5. (1) 可积. (2) 不可积. (3) 不可积. (4) 可积. 6. 提示: ( ) 1 ) 1 ( 2 f f m ωi ≤ ωi . 8. 提示: 充分性: 设 f (x) ≤ M . ∀ε = σ > 0 , 存在划分 P , 使得振幅ω ≥ ε i 的小区间的 长度之和小于ε , 于是∑ ; = ∆ < + − n i i xi M b a 1 ω [2 ( )]ε 必要性：如果存在 0 ε 0 > 与σ 0 > 0，对任意划分 P ，振幅 0 ω ≥ ε i 的小区间的长 度之和不小于σ 0 , 于是∑ ，则当 = ∆ ≥ n i i i x 1 0 0 ω σ ε max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ x 时， 不 趋于零. ∑ = ∆ n i i i x 1 ω 9. 提示: 由于 g(u) 在[A, B]连续, 所以一致连续, ∀ε > 0 ,∃δ > 0 , , 只要 ∀u',u"∈[A, B] u'−u" < δ , 成立 g(u') − g(u") < ε . 另外设 g(u) ≤ M . 由于 f (x) 在[a,b]可积, 由习题 8, 对上述ε > 0与δ > 0 , 存在划分 , 使得 振幅 P ωi( f ) ≥ δ 的小区间的长度之和小于ε , 于是 ∑ = ∆ < + − n i i g f xi M b a 1 ω ( D ) [2 ( )]ε . 第 2 节 4. (1) . (2) . ∫ > 1 0 xdx ∫ 1 0 2 x dx ∫ < 2 1 xdx ∫ 2 1 2 x dx (3) ∫ − − ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ 1⎛ 2 2 1 dx x ∫ 1 0 2 dx x . (4) ∫ 2 < 0 sin π xdx ∫ 2 0 π xdx . 7. 提示: 原式可化为 ∫ + − = − 2 [ ( ) ( )] 0 2 a b a f x f b dx b a ，由此推出在 ) 2 ( , a b a + 上至少 有一点η ，满足 f (η) − f (b) = 0 . 再对 f (x) 在[η,b]上应用 Rolle 定理. 1
8.提示：令x==0(ax)=y(x)，不等式化为r(y(x)dx)≤J((x)dx.对区a间[0,]作划分P，任取5,[x-1,x,]，由F"(x)≥0，利用Jensen不等式(第5.1节习题24),得到(y(5)Ax<(v(5)Ax，再令=max(Ax,)→0,即得到所i=要证明的不等式9. 提示：设ff(x)dx=f()，e(0,1). 令 F(α)=J f(x)dx-αff(x)dx,则F(α)=f(α)-f().当0<α<时,F(α)单调增加，当<α<1时，F(α)单调减少，由于F(0)=0，F(U)=0，可知当α[0,1]时F(α)= Ja f(x)dx -αJ,f(x)dx ≥0.10.提示：令F(a)=Jf(x)dx+Jf-l(y)dy-ab，则F(a)=f(a)-b.设f(T)=b，则当o<a<T时，F(a)单调减少，当a>T时，F(a)单调增加，于是F(a)在a=T取最小值，而最小值为零，所以F(a)=J'f(x)dx+ J,-'(y)dy -ab ≥011.提示：对任意划分P，设8=min(Ax）。当0<h<8时，取5,=xi-1；当-8<h<0时,取5,=x、于是≥,(5)-(5)x,≤0,()Ax12.提示:(1)由[,[f(x)-g(x)dx≥0，得到对一切实数，成立2f, 2(x)dx -2af,f(x)g(x)dx + [,g (x)dx ≥0,所以该两次三项式的判别式不大于零(2)不等式两边平方，利用(1)的结果13. 提示：设0<m≤g(x)≤M<+o0，maxf(x)=f()=A,不妨设A>0 (A=0时等式显然成立).对任意的0<<A，取[α,β]c[a,b]，使得e[α,β]，且当xE[α,β]时,成立 0<A-8<f(x)≤A,于是2
8. 提示: 令 a t x = , ϕ(ax) =ψ(x) , 不等式化为 ( ) ( ) ∫ ≤ ∫ 1 0 1 0 f ψ(x)dx f ψ(x) dx . 对区 间[0,1]作划分 P , 任取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − , 由 , 利用Jensen不等式(第5.1节习 题 24), 得到 , 再令 f "(x) ≥ 0 ( ) i n i i n i i i f x ⎟ ≤ f ∆x ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∆ ∑ =1 =1 ψ(ξ ) ψ(ξ ) max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ x , 即得到所 要证明的不等式. 9. 提示: 设 ( ) ( ), 1 0 f x dx = f ξ ∫ ξ ∈ (0,1). 令 = ∫ − ∫ , 则 α α α 0 1 0 F( ) f (x)dx f (x)dx F'(α) = f (α) − f (ξ ) . 当0 < α < ξ 时, F(α) 单调增加, 当ξ < α < 1时, F(α) 单 调减少, 由于F(0) = 0 , F(1) = 0 , 可知当α ∈[0,1]时, ( ) ( ) ( ) 0 . 0 1 0 = ∫ − ∫ ≥ α F α f x dx α f x dx 10. 提 示 : 令 , 则 . 设 , 则当 = ∫ ∫ + − a b − F a f x dx f y dy ab 0 0 1 ( ) ( ) ( ) F'(a) = f (a) − b f (T ) = b 0 < a < T 时, 单调减少, 当 时, 单调增加, 于 是 在 取最小值, 而最小值为零, 所以 F(a) a > T F(a) F(a) a = T ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = ∫ ∫ + − ≥ a b − F a f x dx f y dy ab . 11. 提示: 对任意划分 P , 设 ( )i i n = ∆x 1≤ ≤ δ min . 当 0 < h < δ 时, 取 i = i−1 ξ x ; 当 −δ < h < 0时, 取 i i ξ = x . 于是 ∑ ∑ = = − ∆ ≤ ∆ n i n i h i i i i i f f x f x 1 1 (ξ ) (ξ ) ω ( ) . 12. 提示: (1) 由∫ [ ( ) − ( )]2 ≥ 0, 得到对一切实数 b a λf x g x dx λ , 成立 , ∫ b a f (x)dx 2 2 λ − ∫ b a 2λ f (x)g(x)dx ( ) 0 2 + ∫ ≥ b a g x dx 所以该两次三项式的判别式不大于零. (2) 不等式两边平方, 利用(1)的结果. 13. 提示：设0 < m ≤ g(x) ≤ M < +∞ , f x f A a x b = = ≤ ≤ max ( ) (ξ ) ，不妨设 时等式显然成立). 对任意的 A > 0 (A = 0 0 < ε < A , 取[α, β ] ⊂ [a,b], 使得ξ ∈[α, β ] , 且当 x ∈[α, β ]时, 成立 0 < A − ε < f (x) ≤ A , 于是 2
[m(β-a)(A-)"<("L(x)"g(x)dx≤[M(b-a)4令n→>，得到A-(Lf(x)"g(x)dxA，由的任意性，即得到所要证明的等式第3节4sinx(1) F(x)=-f(x). (2) F(x)= (lnx)(3) F(x)=1.4+(x -sin xcosx)x2(2)2e.(3)2.(4)0.(1) 1.43. 提示:Jef(0)dt<xj,f(t)dt直_17当x=1，f(x)取极小值4.12(1) 0. (2) 0.5.711111570401(2) ln2-6.(1)(3)(4)(5)(6)1052In3881622ln2In6KI1111号(sin1-cos1)+2(7) 0. (8)3e22(10)-In2(9)元15322222e11+e2:(13)(元+2ln2-2).（12)(11)(1- In2).9A12n(/1+ 1)+ In(/2 +1) -1. (16) 2F2/2-1,2/2 _1e2.(14)(15) 1nb22317-8ln2：提示：令t=x+1(17)32dx=ro_dt1则[1x+1(18)元；提示：令1=x-4Jo x4 +12+12x或x=tant（19）ln(2+V2)-In(/3+1).提示：令x=I3(20)2.提示：令x=1+sint元4211(2)(3)7.(1)2p+1元3
[ ] { } [ ]n b n n a n n n m A f x g x dx M b a A 1 1 1 ( − )( − ) < [ ( )] ( ) ≤ ( − ) ∫ β α ε . 令 n → ∞ , 得到 A { f x g x dx} A n b a n − ≤ ∫ ≤ 1 ε [ ( )] ( ) , 由ε 的任意性, 即得到所要证 明的等式. 第 3 节 1. （1）F'(x) = − f (x). （2） x f x F x (ln ) '( ) = . （3） 2 2 4 ( sin cos ) 4sin '( ) x x x x F x + − = . 2. （1）1. （2）2e . （3） 4 2 π . （4）0 . 3. 提示: . ∫ < x tf t dt 0 ( ) ∫ x x f t dt 0 ( ) 4. 当 x = 1, f (x) 取极小值 12 17 − . 5. （1）0 .（2）0 . 6. （1） 105 71 .（2） 2 1 ln 2 − .（3） ln 3 40 ln 6 70 2ln 2 15 + + .（4） 88 1 .（5） 16 1 .（6） 1 2 1 π − . （7）0 .（8） ln 2 2 1 32 1 4 1 2 π − π − .（9） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 − 2 5 1 2 π e .（10） 2 1 (sin1 cos1) 2 − + e . （11） ( 2ln 2 2) 12 1 π + − .（12） 3 2 2 1 9 2 e + e .（13） (1 ln 2) 4 1 − . （14） 2 2 2 2 1 2 2 2 1 e − e − . （15）ln( 1 1) ln( 2 1) 1 2 + e − + + − .（16） 3 2 3 . （17） 8ln 2 3 17 − ; 提示: 令t = x +1. （18） π 4 2 ; 提示: 令 x t x 1 = − , 则∫ = + 1 + 0 4 2 1 1 dx x x ∫−∞ + 0 2 2 t dt . （19）ln(2 + 2) − ln( 3 +1) . 提示：令 t x 1 = 或 x = tan t . （20） 2 4 3 π − . 提示: 令 x = 1+ sint . 7. （1） 2 1 .（2） 1 1 p + .（3） π 2 . 3
[o[on为奇数n为奇数8. (1)(2)(n-1)!!(n -1)ln为偶数.2元n为偶数元n!!!n!!(2n)!1( (20)!!(22)!!(-1)"m!(3) α2n+l(4)(5)(n + 1)+I(2n + 1)!!8((21)!(23)1)-(e? -1)n=02(6)其中pk为排列数+2-n!n>0F2Le-n-及o=-(e2 -1)提示：利用递推公式1，2222312210.(1). (2) (3)T16411a≤o-3P111211.(1) 285.(2) 0.(3)0<a<1. (4) 14-In(7))a+323I1a≥1e3113. Ine+112~2e4214 -2"-: 示-hsu-, a'g(t)dt115.提示：对等式的两边求定积分，得到e[" f(x)dx = J' In xdx - (e -1)f' f(x)dx516.提示：作变量代换u=2x-t，将等式化为公2x12 (u)du- (u)du=号arctan x?,2等式两边对x求导，再以x=1代入17. n2元218.元A
8. （1） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − 为偶数 为奇数 n n n n π !! ( 1)!! 0 . （2） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − 为偶数 为奇数 n n n n 2π !! ( 1)!! 0 . （3） (2 1)!! (2 )!! 2 1 + + n n a n .（4） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − (23)!! (22)!! (21)!! (20)!! 8 1 . (5) 1 ( 1) ( 1) ! + + − m m n m . （6） ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⋅ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∑ = + n k n k n k e P n n e n 0 1 2 2 ! 0 2 1 2 1 2 1 ( 1) 0 2 1 , 其中 为排列数. k Pn 提示: 利用递推公式 1 2 2 2 1 n = − n− I n I e 及 ( 1) 2 1 2 I 0 = e − . 10. (1) 2 16 3 π . (2) 2 4 1 π . (3) 2 4 2 π . 11. (1) 285 . (2) 0 . (3) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − + < < − ≤ 1 3 1 2 1 0 1 3 1 2 1 3 1 0 2 1 3 1 3 a a a a a a a . (4) 14 − ln(7!). 13. 4 2 1 2 1 2 1 ln e e + − + . 14. f "(1) = 2, f '''(1) = 5 ; 提示: = ∫ x g t dt x f x 0 2 ( ) 2 ( ) − ∫ x x tg t dt 0 ( ) + ∫ x t g t dt 0 2 ( ) 2 1 . 15. e 1 ; 提示: 对等式的两边求定积分, 得到 . ∫ = e f x dx 1 ( ) ∫ − e xdx 1 ln − ∫ e e f x dx 1 ( 1) ( ) 16． 4 5 ; 提示：作变量代换u = 2x − t ，将等式化为 ∫ − − x x x f u du 2 2 1 2 ( ) 2 2 2 1 arctan 2 1 uf (u)du x x x ∫ = − ， 等式两边对 x求导，再以 x = 1代入. 17. π . 2 n 18. π 2 . 4
19. 提示：g(x)=af(ax)-(x)=0,令x=1,得到对任何a,有f(a)=)20.提示：积分+2)nx-In2dx0=I(+)nx-In2 dx +(+2)nx-In2dx)x(2x)1对上面两积分中任意一个作变量代换x=4.21.提示：maxf(x)=(maxf(x)-minf(x))+minf(x)设maxf(x) =f(), min|f(x)|=f(n)],则max(x)-minf(x)=()-(n)≤()-f(n)=[,f(x)dx≤J(x)dx设()=(),则mn((=()22.提示：令F(x)=J(u)(x-u)du-Jl(x)dxpu，显然F(0)=0，只须证明F(x)=023.提示：()=)+(号)+((x)≥()+(-)对不等式两边积分注。本题也可直接利用7.2节习题8的结果，取g()=124.提示：(=)+(x-)+((x-)≤)+()将x换成x2，再对不等式两边积分注本题也可直接利用当"(x)≤0时与7.2节习题8相对应的结果，取α=1 , p(t)=r2.(2k+1)2k+2)元25.提示：[2"f(x)sin nxdx=+J2k+l)元f(x)sin nxdxf(x)sinnxdx+J2k元"25
19. 提示: g'(x) = af (ax) − f (x) ≡ 0 , 令 x = 1, 得到对任何a , 有 a f f a (1) ( ) = . 20. 提示：积分 dx x x x x f 2 ln ln 2 2 4 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + dx x x x x f 2 ln ln 2 2 2 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + dx x x x x f 2 ln ln 2 2 4 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ + 对上面两积分中任意一个作变量代换 t x 4 = . 21. 提示: max f (x) = (max f (x) − min f (x)) + min f (x) . 设max f (x) = f (ξ) , min f (x) = f (η) , 则 max f (x) − min f (x) = f (ξ ) − f (η) ≤ f (ξ ) − f (η) = ∫ ≤ ∫ b a f '(x)dx f '(x) dx ξ η ; 设 b − a 1 f (x)dx f (ς ) b a∫ = , 则 min f (x) ≤ f (ς ) ∫ − = b a f x dx b a ( ) 1 . 22. 提示: 令 = ∫ − x F x f u x u du 0 ( ) ( )( ) − ∫ ∫{ } x u f x dx du 0 0 ( ) , 显然 , 只须证明 . F(0) = 0 F'(x) ≡ 0 23. 提示: 2 2 "( ) 2 1 2 2 ' 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = a f x a x a f a f x f ξ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ 2 2 ' 2 a x a f a f , 对不等式两边积分. 注. 本题也可直接利用 7.2 节习题 8 的结果, 取ϕ(t) = t . 24. 提示: 2 3 1 "( ) 2 1 3 1 3 1 ' 3 1 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f x = f f x f ξ x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 3 1 3 1 ' 3 1 f f x , 将 x换成 , 再对不等式两边积分. 2 x 注. 本题也可直接利用当 f "(x) ≤ 0时与 7.2 节习题 8 相对应的结果, 取 a = 1 , . 2 ϕ(t) = t 25. 提示: ∫ ∑ ∫ ∫ − = + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + π π π π π 2 0 1 0 (2 1) 2 (2 2) (2 1) ( )sin ( )sin ( )sin n k n k n k n k n k f x nxdx f x nxdx f x nxdx 5