第三章基础实验 刚体转动惯量的测定 刚体是在外力作用下,形状、大小皆不变的物体,通常将受外力作用形变甚微的物 体视为刚体。刚体转动惯性大小的量度称为转动惯量,它取决于刚体的总质量、质量的 分布和转轴的位置。对于质量均匀分布,形状简单规则的刚体,可以通过数学方法计算 绕特定轴的转动惯量:对于形状复杂,质量分布不均匀的刚体需要用实验的方法测定转 动惯量。转动惯量不能直接测量,必须进行参量转换,即设计一种装置,使待测物体以 定的形式运动,其运动规律必须与转动惯量有联系,其它各物理量可以直接或以一定 方法测定。对于不同形状的刚体,设计了不同的测量方法和仪器,常用的有三线摆 ( three- wire pendulum)、扭摆( orion pendulum)、复摆( compound pendulum)以及利用各 种特制的转动惯量测定仪等。本实验介绍用塔轮式转动惯量仪测定的方法,是使塔轮以 定形式旋转,通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系,进行转换测量 转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数,例如设计电动机转子 钟表摆轮、精密电动圈等。因此,学会刚体转动惯量的测定方法,具有重要的实际意义 【实验目的】 研究刚体的转动规律,测定刚体的转动惯量 2.观测刚体的转动惯量随其质量、质量分布及转轴位置而变化的规律。 3.学习利用曲线改直及图解法或最小二乘法处理数据。 【实验仪器】 刚体转动惯量实验仪、圆环、圆盘、圆柱形砝码、棒、球、电脑式毫秒计、电子天 平、砝码、钢板尺、游标卡尺等 【仪器介绍】 刚体转动惯量实验仪构造如图61所示。3是固定在轴承上具有不同半径r的塔轮, 上面装有承物台,可放置待测转动惯量的试件,它们一起组成一个可以绕定轴转动的刚 体系统。塔轮上绕一根细线,并绕过定滑轮5与砝码m相连。当m下落时,通过细线 对刚体系施加(外)力矩。滑轮的支架可以借固定螺丝升降,以保证当细线绕塔轮的不同 半径转动时都可以保持与转动轴相垂直。转动惯量试验仪与电脑毫秒计用信号线连接 在转动过程中,遮光细棒遮挡光电门,电脑毫秒计会自动记录每转过π弧度用的时间 而且还能计算出角加速度的值 【实验原理】 1.测定转动惯量的原理 根据转动定律,当刚体绕固定轴转动时,有 IB (6.1) 其中M是刚体所受合外力矩,是刚体对该轴的转动惯量,B为角加速度。在本实验装
大学物理实验 第三章 基础实验 91 刚体转动惯量的测定 刚体是在外力作用下，形状、大小皆不变的物体，通常将受外力作用形变甚微的物 体视为刚体。刚体转动惯性大小的量度称为转动惯量，它取决于刚体的总质量、质量的 分布和转轴的位置。对于质量均匀分布，形状简单规则的刚体，可以通过数学方法计算 绕特定轴的转动惯量；对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体需要用实验的方法测定转 动惯量。转动惯量不能直接测量，必须进行参量转换，即设计一种装置，使待测物体以 一定的形式运动，其运动规律必须与转动惯量有联系，其它各物理量可以直接或以一定 方法测定。对于不同形状的刚体，设计了不同的测量方法和仪器，常用的有三线摆 （three-wire pendulum）、扭摆(torsion pendulum)、复摆(compound pendulum)以及利用各 种特制的转动惯量测定仪等。本实验介绍用塔轮式转动惯量仪测定的方法，是使塔轮以 一定形式旋转，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。 转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数，例如设计电动机转子、 钟表摆轮、精密电动圈等。因此，学会刚体转动惯量的测定方法，具有重要的实际意义。 【实验目的】 1. 研究刚体的转动规律，测定刚体的转动惯量。 2. 观测刚体的转动惯量随其质量、质量分布及转轴位置而变化的规律。 3. 学习利用曲线改直及图解法或最小二乘法处理数据。 【实验仪器】 刚体转动惯量实验仪、圆环、圆盘、圆柱形砝码、棒、球、电脑式毫秒计、电子天 平、砝码、钢板尺、游标卡尺等。 【仪器介绍】 刚体转动惯量实验仪构造如图 6.1 所示。3 是固定在轴承上具有不同半径 r 的塔轮， 上面装有承物台，可放置待测转动惯量的试件，它们一起组成一个可以绕定轴转动的刚 体系统。塔轮上绕一根细线，并绕过定滑轮 5 与砝码 m 相连。当 m 下落时，通过细线 对刚体系施加(外)力矩。滑轮的支架可以借固定螺丝升降，以保证当细线绕塔轮的不同 半径转动时都可以保持与转动轴相垂直。转动惯量试验仪与电脑毫秒计用信号线连接， 在转动过程中，遮光细棒遮挡光电门，电脑毫秒计会自动记录每转过弧度用的时间， 而且还能计算出角加速度的值。 【实验原理】 1.测定转动惯量的原理 根据转动定律，当刚体绕固定轴转动时，有 M I (6.1) 其中 M 是刚体所受合外力矩，I 是刚体对该轴的转动惯量，β为角加速度。在本实验装
大学物理实验 第三章基础实验 置中,刚体所受合外力矩为 M=Tr-M 式中M为刚体转动时受到的的摩擦力矩;T为细线的张力,与转轴垂直;r为塔轮半 径。当忽略细线及定滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦力,并忽略细线长度的伸缩,则当砝 码m以匀加速度a下落时,由牛顿第二运动定律,有 mg (6.3) 式中,g是重力加速度。假定B=5rads2,r=2.500×10-2m,砝码下落时, a=rB=0.125m/s A 3 10 11 1承物台;2遮光细棒;3绕线塔轮;4光电门;5滑轮;6滑轮架;7砝码;8圆盘;9圆环; 10.细棒;11圆柱形砝码;12球 可见∝<ga忽略,所以有 Tmg, (64) 由式(6.1)(62)(63)(64)得 IB
大学物理实验 第三章 基础实验 92 置中，刚体所受合外力矩为 M Tr M (6.2) 式中 M 为刚体转动时受到的的摩擦力矩；T 为细线的张力，与转轴垂直；r 为塔轮半 径。当忽略细线及定滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦力，并忽略细线长度的伸缩，则当砝 码 m 以匀加速度 a 下落时，由牛顿第二运动定律，有 mg T ma (6.3) 式中，g 是重力加速度。假定 β=5rad∕s 2 , r=2.500×10-2m，砝码下落时， a r =0.125m∕s2 可见 a<<g, a 忽略，所以有 T≈mg， (6.4) 由式(6.1) (6.2) (6.3) (6.4)得 mgr M I (6.5) 图 6.1 1.承物台; 2 遮光细棒; 3 绕线塔轮; 4 光电门;5 滑轮; 6 滑轮架; 7 砝码; 8 圆盘; 9 圆环; 10.细棒; 11 圆柱形砝码; 12 球; 10 9 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12
大学物理实验 第三章基础实验 式(65)可写为 或 可见如果保持砝码质量不变,改变塔轮半径,β与r成线性关系,求得比例系数mg/, 即可求得/:如果保持塔轮半径不变,改变砝码质量,β与m成线性关系,求得比例系 数gm/,也可求得,由截矩可求出摩擦力矩M。求比例系数可以采用最小二乘法作 元线性回归,也可以采用作直线求斜率的办法,还可以用exce程序或计算器的统计功 能来求解。 设刚体转动惯量实验仪空载(不加载任何试件)时的转动惯量为J,加试件后系统 的转动惯量为l,由转动惯量的可叠加性,试件的转动惯量为 (6.8) 本实验装置配有圆环、圆盘、棒、圆柱形砝码等试件,分别测出转动惯量仪空载与 加载试件的转动惯量,即可测出这些试件的转动惯量 2.本实验装置还可以验证平行轴定理 将圆柱形砝码固定于承物台上的某一位置处,它绕过其质心且沿中轴线的轴的转动 惯量为MR2/2,则加载有圆柱形砝码的转动惯量实验仪的转动惯量为 I=I+-mr+mx (6.12) 式中,x为圆柱形砝码的质心到转动轴的垂直距离。 【实验内容】 1.调节实验装置 (1)参见图6.1,检查滑轮和塔轮的转动部分是否转动自如。 (2)调节滑轮支架高度与位置,使细线与塔轮轴线垂直。连接电脑式毫秒计,使遮 光棒的初始位置靠近光电门,如图62所示。 2.测定刚体的转动惯量及摩擦力矩 使实验仪空载,将拉线一端打个结 塞入塔轮的缝隙中,另一端系质量为 5000g的砝码托,绕过滑轮下垂。线的长 度最好是当砝码落地时,另一端刚好脱开 塔轮,在半径r=2.500cm的柱面轮上均匀 密绕,拉线不能有重叠;在另一端改变砝
大学物理实验 第三章 基础实验 93 式（6.5）可写为 I M I mgr (6.6) 或 gr M m I I (6.7) 可见如果保持砝码质量不变，改变塔轮半径，与 r 成线性关系，求得比例系数 mg/I， 即可求得 I；如果保持塔轮半径不变，改变砝码质量，与 m 成线性关系，求得比例系 数 gr/I，也可求得 I，由截矩可求出摩擦力矩 Mµ。求比例系数可以采用最小二乘法作一 元线性回归，也可以采用作直线求斜率的办法，还可以用 excel 程序或计算器的统计功 能来求解。 设刚体转动惯量实验仪空载（不加载任何试件）时的转动惯量为 I0，加试件后系统 的转动惯量为 I，由转动惯量的可叠加性，试件的转动惯量为 0 I I I 试件 （6.8） 本实验装置配有圆环、圆盘、棒、圆柱形砝码等试件，分别测出转动惯量仪空载与 加载试件的转动惯量，即可测出这些试件的转动惯量。 2. 本实验装置还可以验证平行轴定理。 将圆柱形砝码固定于承物台上的某一位置处，它绕过其质心且沿中轴线的轴的转动 惯量为 2 2 MR ，则加载有圆柱形砝码的转动惯量实验仪的转动惯量为 2 0 2 0 2 1 I I MR Mx (6.12) 式中，x0 为圆柱形砝码的质心到转动轴的垂直距离。 【实验内容】 １.调节实验装置 (1) 参见图 6.1，检查滑轮和塔轮的转动部分是否转动自如。 (2) 调节滑轮支架高度与位置，使细线与塔轮轴线垂直。连接电脑式毫秒计，使遮 光棒的初始位置靠近光电门，如图 6.2 所示。 2.测定刚体的转动惯量及摩擦力矩 使实验仪空载，将拉线一端打个结， 塞入塔轮的缝隙中，另一端系质量为 50.00g 的砝码托，绕过滑轮下垂。线的长 度最好是当砝码落地时，另一端刚好脱开 塔轮，在半径 r=2.500cm 的柱面轮上均匀 密绕，拉线不能有重叠；在另一端改变砝 图 6.2
第三章基础实验 码m值,每次增加一个砝码,直到增至m约为10500g为止。 对应每个m值,用电脑式毫秒计记录砝码从静止释放下落过程中的角加速度β的 值,将数据记录在表6.1中。 用作图法处理数据(参见第一章,图解法求直线的斜率和截距),将结果作m~β 图,用图解法求直线斜率和截距,由斜率求转动惯量l,由截距求摩擦力矩M,得出 必要的结论。也可用最小二乘法或计算器的统计功能处理数据求出转动惯量Ⅰ和摩擦力 矩。由(68)式即可算出圆环的转动惯量。 按照上述方法,可测得加上圆盘、圆环、棒等的系统转动惯量,进一步可算得圆盘 圆环、棒等试件的转动惯量。 3验证平行轴定理 将圆柱形砝码安装在承物台的某一位置,参照测定圆环等试件转动惯量的方法,测 量此时刚体系统的转动惯量,填入表格62,求转动惯量/与求摩擦力矩Ma,计算并 得出结论 【注意事项】 1.尽量减少转轴与轴座的摩擦以保证塔轮转动灵活。 2.在塔轮上缠绕拉线时,应尽量做到均匀密排,避免拉线重叠。在改变半径r时, 应随之调节滑轮的高低和轮面的方位,以确保实验条件的满足。 3.开始计时时,应保证塔轮初速度为零。 【数据表格】 表6.1 r=2.500cm (g) B(s2) 由图得出斜率K 截距c= 刚体系的转动惯量F 待测试件的转动惯量Ⅰ试件 摩擦力矩M 计算×100%= 表6.2 r=2.500cm B(s2) 由图得出斜率K= 截距c=
大学物理实验 第三章 基础实验 94 码 m 值，每次增加一个砝码，直到增至 m 约为 105.00g 为止。 对应每个 m 值，用电脑式毫秒计记录砝码从静止释放下落过程中的角加速度β的 值，将数据记录在表 6.1 中。 用作图法处理数据（参见第一章，图解法求直线的斜率和截距），将结果作 m～β 图，用图解法求直线斜率和截距，由斜率求转动惯量 I，由截距求摩擦力矩 M ，得出 必要的结论。也可用最小二乘法或计算器的统计功能处理数据求出转动惯量 I 和摩擦力 矩。由（6.8）式即可算出圆环的转动惯量。 按照上述方法，可测得加上圆盘、圆环、棒等的系统转动惯量，进一步可算得圆盘、 圆环、棒等试件的转动惯量。 3.验证平行轴定理。 将圆柱形砝码安装在承物台的某一位置，参照测定圆环等试件转动惯量的方法，测 量此时刚体系统的转动惯量，填入表格 6.2，求转动惯量 I 与求摩擦力矩 M ，计算并 得出结论。 【注意事项】 1. 尽量减少转轴与轴座的摩擦以保证塔轮转动灵活。 2. 在塔轮上缠绕拉线时，应尽量做到均匀密排，避免拉线重叠。在改变半径 r 时， 应随之调节滑轮的高低和轮面的方位，以确保实验条件的满足。 3. 开始计时时，应保证塔轮初速度为零。 【数据表格】 表 6.1 r =2.500cm m（g） β（s -2） 由图得出斜率 K= ，截距 c= 刚体系的转动惯量 I= ，待测试件的转动惯量 I 试件= 摩擦力矩 M 计算 100% 理 试件 理 I I I 表 6.2 r =2.500cm m（g） β（s -2） 由图得出斜率 K= ，截距 c=
第三章基础实验 刚体系的转动惯量F 摩擦力矩M= 将实验结果与(6.12)的理论值相比较,计算 ×10090 附电脑式亳秒计使用说明:参见图63 使用方法 1将转动惯量仪的一组或两组光电门与毫秒计输入接口Ⅰ、Ⅱ两通道光缆分别连接 选择通、断开关,“通”表示该回路的光电门接通,可以正常工作。反之不能工作。通 常只选择通一路,另一路留作备用 图旋转动假量实验 国■ 国■国 国国 (a)电脑式毫秒计前面板 (b)电脑式毫秒计背板 图63电脑式毫秒计 2通电后,显示 PP-HELLO,3秒后进入模式设定等待状态F0164。前两位数表示 几个输入脉冲编为一组(计时单元)。01表示输入1个脉冲作为一次计时单元,05表示 输入5个脉冲作为一次计时单元。后两位数表示可记录的每组脉冲数,“组”ד数” 3在“F0164”等待状态,可按动数字键进行设定,如显示F0213即为每两个脉冲 计一次时间,共计13组 4按OK键显示88-88888进入待测状态,当第一个光脉冲通过即开始计时,此时 脉冲组(个)数数字跳动,表示计数正常进行。测量和计算完毕即显示EE(设定模式) 此时各数据己被存储,以备提取。若未显示“EE”,则不能提取各类参数。如果5分钟 内未完成测量,将显示HOⅤE,此时应按RST键重新开始 5提取时间:按t键,显示0lH后按OK键则显示记录第一个脉冲的起始时间 (000000S),按↑键,则依次递增显示各次记录数据,按↓则依次递减显示各次记录 数据。若只提取某一个数值,按t键显示××H后,输入所要提取的数,按OK键后 即显示出该t值。若输入所要提取的数值超过设定值,如66,按OK键后则显示溢出 (OU- PLUSE),此时需重新按t键,在设定的数值范围内取数 6提取角加速度值
大学物理实验 第三章 基础实验 95 刚体系的转动惯量 I= 摩擦力矩 M 将实验结果与（6.12）的理论值相比较，计算 100% 理 理 I I I 附电脑式毫秒计使用说明：参见图 6.3 一、使用方法 1.将转动惯量仪的一组或两组光电门与毫秒计输入接口Ⅰ、Ⅱ两通道光缆分别连接， 选择通、断开关，“通”表示该回路的光电门接通，可以正常工作。反之不能工作。通 常只选择通一路，另一路留作备用。 2.通电后，显示 PP-HELLO，3 秒后进入模式设定等待状态 F0164。前两位数表示 几个输入脉冲编为一组（计时单元）。01 表示输入 1 个脉冲作为一次计时单元，05 表示 输入 5 个脉冲作为一次计时单元。后两位数表示可记录的每组脉冲数，“组”ד数” ≤64。 3.在“F0164”等待状态，可按动数字键进行设定，如显示 F0213 即为每两个脉冲 计一次时间，共计 13 组。 4.按 OK 键显示 88-888888 进入待测状态，当第一个光脉冲通过即开始计时，此时 脉冲组（个）数数字跳动，表示计数正常进行。测量和计算完毕即显示 EE（设定模式）， 此时各数据已被存储，以备提取。若未显示“EE”，则不能提取各类参数。如果 5 分钟 内未完成测量，将显示 HOVE，此时应按 RST 键重新开始。 5.提取时间：按 t 键，显示 01H 后按 OK 键则显示记录第一个脉冲的起始时间 （00.0000S），按↑键，则依次递增显示各次记录数据，按↓则依次递减显示各次记录 数据。若只提取某一个数值，按 t 键显示××H 后，输入所要提取的数，按 OK 键后， 即显示出该 t 值。若输入所要提取的数值超过设定值，如 66，按 OK 键后则显示溢出 （OU-PLUSE），此时需重新按 t 键，在设定的数值范围内取数。 6.提取角加速度值： （a）电脑式毫秒计前面板 （b）电脑式毫秒计背板 图 6.3 电脑式毫秒计