使用光镊技术测量空气粘滞系数 丛聪PBl4000722* 孙昱昊PB4209046* 郝云超PB4203092* December 17. 2016 摘要 本文记录了使用光镊技术,测量空气粘滞系数的实验的全过程.首先从 Brown运 动出发,对自由粒子与在势阱中的受困粒子进行分别讨论,得出了在光镊中,纳米小 球在理论上应具有的频谱曲线.继而从实验出发,通过搭建光镊捕获纳米小球,通过 差分信号测量出小球在势阱中单方向的运动曲线,将数据记录完毕后,对其进行ft 快速傅里叶处理,分别得到样本和本底的频谱曲线,做差值后进行拟合,得到实验室 环境下的空气粘滞系数 关键词: Brown运动,光镊,空气粘滞系数 目录 0引言 1 Brown运动理论 1.1自由粒子 2被困小球的功率谱分析 光路搭建 2.1准备工作 334667 22粒子抓取部分 3数据处理 3.1样本信号册t处理 3.2去除本底 000 3.3曲线拟合
使用光镊技术测量空气粘滞系数 丛 聪 PB14000722* 孙昱昊 PB14209046* 郝云超 PB14203092* December 17, 2016 摘要 本文记录了使用光镊技术, 测量空气粘滞系数的实验的全过程. 首先从 Brown 运 动出发, 对自由粒子与在势阱中的受困粒子进行分别讨论, 得出了在光镊中, 纳米小 球在理论上应具有的频谱曲线. 继而从实验出发, 通过搭建光镊捕获纳米小球, 通过 差分信号测量出小球在势阱中单方向的运动曲线, 将数据记录完毕后, 对其进行 fft 快速傅里叶处理, 分别得到样本和本底的频谱曲线, 做差值后进行拟合, 得到实验室 环境下的空气粘滞系数. 关键词: Brown 运动, 光镊, 空气粘滞系数 目录 0 引言 2 1 Brown 运动理论 3 1.1 自由粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 被困小球的功率谱分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 光路搭建 6 2.1 准备工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 粒子抓取部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 数据处理 10 3.1 样本信号 fft 处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 去除本底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 曲线拟合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1
引言 0引言 光镊,又被称为单光束梯度力光阱可用于捕获微小粒子.其作用在纳米尺度上类似 于镊子,因此被称为光镊捕获微小粒子的光镊是一个特别的光场,这个光场与物体相互 作用时,物体整个受到光的作用从而达到被钳的效果,然后可以通过移动光束来实现迁 移物体的目的.如果以形成光场的中心划定一个几微米方圆的区域,将会观察到一旦光 子涉足这个禁区就会自动迅速坠落光的中心.这个特别的光场造就了一个势能较低的区 域,即从这区域内到区域外存在一个势垒.当物体的动能不足以克服势垒时,粒子将始终 停留在阱内,表现出光场的引力效应 本小组就是要利用光镊技术来研究 Brown运动. Brown运动虽具有内禀随机性,但符 合统计规律,在小位移下,我们可用简谐运动近似 Brown粒子的运动,通过光镊技术来精 细测量 Brown粒子获得其频谱图像,再进行 Fourier分析,与理论曲线进行拟合,获得环 境参数,本实验主要关注粘滞系数
2 0 引言 0 引言 光镊, 又被称为单光束梯度力光阱. 可用于捕获微小粒子. 其作用在纳米尺度上类似 于镊子, 因此被称为光镊. 捕获微小粒子的光镊是一个特别的光场, 这个光场与物体相互 作用时, 物体整个受到光的作用从而达到被钳的效果, 然后可以通过移动光束来实现迁 移物体的目的. 如果以形成光场的中心划定一个几微米方圆的区域, 将会观察到一旦光 子涉足这个禁区就会自动迅速坠落光的中心. 这个特别的光场造就了一个势能较低的区 域, 即从这区域内到区域外存在一个势垒. 当物体的动能不足以克服势垒时, 粒子将始终 停留在阱内, 表现出光场的引力效应. 本小组就是要利用光镊技术来研究 Brown 运动. Brown 运动虽具有内禀随机性, 但符 合统计规律, 在小位移下, 我们可用简谐运动近似 Brown 粒子的运动, 通过光镊技术来精 细测量 Brown 粒子获得其频谱图像, 再进行 Fourier 分析, 与理论曲线进行拟合, 获得环 境参数, 本实验主要关注粘滞系数. 2
1 BROWN运动理论 Brown运动理论 11自由粒子 Einstein关于 Brown运动的理论预测 ([△x(t)]2)=(x(t)-x(0)2)=2D 其中([Δα(t)]2)是 Brown粒子一维运动时间t位移平方的平均值(MSD)D是扩散常 数( diffusion constant.耗散常数可由式D=kBT/计算得到,式中T是温度,=6R 是对于一个半径为R的球体的 Stokes摩擦系数( friction coefficien,n是流体的粘滞系数 ( viscosity)在时间间隔t测量的平均速度=√(△x(t)t=V2D/V.显然当t趋近 于0的时候,这个速度是发散的,所以它代表的不是粒子的真实速度 方程([Ar(t))=2D只在t>rp(即扩散机制)内成立.其中rp=M/是质量为M 粒子的动量弛豫时间在很短是时间尺度内(≤)粒子的动力学尤其惯性支配,其运动 是弹性的质量为M的 Brown粒子在全时间尺度下的运动方程可由 Langevin方程描述 M+7a 其中 Therm(t)=(2KBT7)1/2( 是一个 Brown随机力.((t)是一个归一化的白色噪声.所以对于任意的时间t和t (t)=0.,and(t)(t)=6(t-t) 定义v(t)=dr/dt,由方程4可得 dult Tou(t)+A(t 其中Io=/M=1/p是阻尼系数,A(t)=Fhm(t)M是波动的加速度.粒子在时间 t=0的初始速度和位置分别是v(0)=t和x(0)=xo.所以粒子在时间t的速度是 elos A(s)ds 对全同粒子系综(在时间t=0是有相同的速度t)取平均,利用方程4能得到 (u(t))vo=voe-Tot tot 利用能量均分定理(Mv/2)=kBT/2,我们得到速度自相关函数(vel lation function kBT (u()v(o))=me
3 1 BROWN 运动理论 1 Brown 运动理论 1.1 自由粒子 Einstein 关于 Brown 运动的理论预测 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = ⟨(x(t) − x(0))2 ⟩ = 2Dt (1) 其中 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ 是 Brown 粒子一维运动时间 t 位移平方的平均值 (MSD), D 是扩散常 数 (diffusion constant). 耗散常数可由式 D = kBT/γ 计算得到, 式中 T 是温度, γ = 6πηR 是对于一个半径为 R 的球体的 Stokes 摩擦系数 (friction coefficient), η 是流体的粘滞系数 (viscosity). 在时间间隔 t 测量的平均速度 v¯ = √ ⟨[∆x(t)]2⟩/t = √ 2D/ √ t. 显然当 t 趋近 于 0 的时候, 这个速度是发散的, 所以它代表的不是粒子的真实速度. 方程 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2Dt 只在 t ≫ τp (即扩散机制) 内成立. 其中 τp = M/γ 是质量为 M 粒子的动量弛豫时间. 在很短是时间尺度内 (t ≪ τp) 粒子的动力学尤其惯性支配, 其运动 是弹性的. 质量为 M 的 Brown 粒子在全时间尺度下的运动方程可由 Langevin 方程描述 M d 2 x dt 2 + γ dx dt = Ftherm(t) (2) 其中 Ftherm(t) = (2kBT γ) 1/2ζ(t) (3) 是一个 Brown 随机力. ζ(t) 是一个归一化的白色噪声. 所以对于任意的时间 t 和 t ′ ⟨ζ(t)⟩ = 0, and ⟨ζ(t)ζ(t ′ )⟩ = δ(t − t ′ ) (4) 定义 v(t) = dx/dt, 由方程4可得 dv(t) dt = Γ0v(t) + A(t) (5) 其中 Γ0 = γ/M = 1/τp 是阻尼系数, A(t) = Ftherm(t)/M 是波动的加速度. 粒子在时间 t = 0 的初始速度和位置分别是 v(0) = v0 和 x(0) = x0. 所以粒子在时间 t 的速度是 v(t) = v0e −Γ0t + e −Γ0t ∫ t o e Γ0sA(s)ds (6) 对全同粒子系综 (在时间 t = 0 是有相同的速度 v0) 取平均, 利用方程4能得到 ⟨v(t)⟩v0 = v0e −Γ0t (7) ⟨v(t)v(0)⟩v0 = v 2 0 e −Γ0t (8) 利用能量均分定理 ⟨Mv2 0 /2⟩ = kBT/2, 我们得到速度自相关函数 (velocity autocorrelation function) ⟨v(t)v(0)⟩ = kBT M e −Γ0t (9) 3
12被困小球的功率谱分析 1 BROWN运动理论 对方程6再积分一次,我们能得到粒子的位置 r(t)=x0+(1-e-0)+/e0sds1 取平均值我们能得到 (△x(t)xo=((t)-x(0)x0 那么在热平衡状态下的 Brown粒子的MSD为 (△r()=Mra(Iot-1+e (12) 在长时间尺度下,MSD和 Einstein理论预测的吻合 ([△r(t)2)=2 Dt for t>p 在小时间尺度下,MSD是 KRT r 尽管上述方程是由全同粒子的系综导出,由遍历定理可预测这也是对一个粒子在长 时间下的测量成立 12被困小球的功率谱分析 对于小位移,光镊对小球运动的影响可以由简谐运动的近似这是 Brown小球的运动 方程是 2+0x+!x=A(t) 其中g=5是小球在无阻尼时的本征角频率,A=(2kBT0/M)/2.阻力振动的频率 为 /02T2 与原子的光谱相似, Brown运动的功率谱也包含这个系统的很多信息.一个变量的功 率谱密度(PSD)是其 Fourier变换的平方模 x(t)和(t)的 Fourier变换是 其中ωk=2πk/Te,k是有理数,Tc是记录的持续时间 方程15的 Fourier变换为 wiik-iw,Tok+025k= ASk
1.2 被困小球的功率谱分析 4 1 BROWN 运动理论 对方程6再积分一次, 我们能得到粒子的位置 x(t) = x0 + v0 Γ0 (1 − e −Γ0t ) + ∫ t 0 e −Γ0s1 ds1 ∫ s1 0 e Γ0s2A(s2)ds2 (10) 取平均值我们能得到 ⟨∆x(t)⟩x0 = ⟨x(t) − x(0)⟩x0 = v0 Γ0 (1 − e −Γ0t ) (11) 那么在热平衡状态下的 Brown 粒子的 MSD 为 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2kBT MΓ 2 0 (Γ0t − 1 + e −Γ0t ) (12) 在长时间尺度下, MSD 和 Einstein 理论预测的吻合 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = 2Dt for t ≫ τp (13) 在小时间尺度下, MSD 是 ⟨[∆x(t)]2 ⟩ = kBT M t 2 for t ≪ τp (14) 尽管上述方程是由全同粒子的系综导出, 由遍历定理可预测这也是对一个粒子在长 时间下的测量成立. 1.2 被困小球的功率谱分析 对于小位移, 光镊对小球运动的影响可以由简谐运动的近似. 这是 Brown 小球的运动 方程是 M d 2 x dt 2 + γ0 dx dt + Ω2x = Λζ(t) (15) 其中 Ω = κ m 是小球在无阻尼时的本征角频率, Λ = (2kBTΓ0/M) 1/2 . 阻力振动的频率 为 ω1 = √ Ω2 − Γ 2 0 /4. 与原子的光谱相似, Brown 运动的功率谱也包含这个系统的很多信息. 一个变量的功 率谱密度 (PSD) 是其 Fourier 变换的平方模. x(t) 和 ζ(t) 的 Fourier 变换是 x˜k = ∫ Trec/2 −Trec/2 e iωktx(t)dt (16) ˜ζk = ∫ Trec/2 −Trec/2 e iωkt ζ(t)dt (17) 其中 ωk = 2πk/Trec, k 是有理数, Trec 是记录的持续时间. 方程15的 Fourier 变换为 − ω 2 kx˜k − iωkΓ0x˜k + Ω2x˜k = Λ˜ζk (18) 4
12被困小球的功率谱分析 1 BROWN运动理论 则 (19) W2-iwk To 从方程4我们有(2)=0和(k)=Tec6k.有实验记录的x(t)的PSD是 Sa 2KBT ntO ske=lEKI/rec Trec M92(02-wk)2+wira (20) PSD的期望值是 S(w)=(Srec)=2B/ Q-To MS2(92-2)2+a2I 让我们定义一个新函数去描绘频谱图的形状 NaTo (92-u2)2+u2r 有 fs(u)dw= 我们用方程22去对实验数据拟合即可得到Ω和r0,从而得到实验室空间的空气粘滞 系数
1.2 被困小球的功率谱分析 5 1 BROWN 运动理论 则 x˜k = Λ˜ζk Ω2 − ω 2 k − iωkΓ0 (19) 从方程4我们有 ⟨x˜k⟩ = 0 和 ⟨ ˜ζk ˜ζl⟩ = Trecδkl. 有实验记录的 x(t) 的 PSD 是 S rec k = |x˜k| 2 /Trec = | ˜ζk| 2 Trec 2kBT MΩ2 Ω 2Γ0 (Ω2 − ω 2 k ) 2 + ω 2 kΓ 2 0 (20) PSD 的期望值是 S(ω) = ⟨S rec k ⟩ = 2kBT MΩ2 Ω 2Γ0 (Ω2 − ω2 ) 2 + ω2Γ 2 0 (21) 让我们定义一个新函数去描绘频谱图的形状 fS(ω) = Ω 2Γ0 (Ω2 − ω2 ) 2 + ω2Γ 2 0 (22) 有 ∫ ∞ 0 fS(ω)dω = π 2 (23) 我们用方程22去对实验数据拟合即可得到 Ω 和 Γ0, 从而得到实验室空间的空气粘滞 系数. 5