第10章数字信号最佳接收显然，区域A.和区域A,是两个AA互不相容的区域。当这两个区f(r)fo(r)P(A,/0)域的边界r"确定后，错误概率P(A/1)ro也随之确定了。这样，总误码率可以写为P。 = P(1)P(A. / 1) + P(O)P(A, / 0)式中，P(A/1)表示发送"1"时，矢量r落在区域A的条件概率P(A,/O)表示发送"0"时，矢量r落在区域A,的条件概率这两个条/俄概率可以凋为 : P(A, / 0)=f(r)dr这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示12
12 第10章 数字信号最佳接收 显然，区域A0和区域A1是两个 互不相容的区域。当这两个区 域的边界r0 确定后，错误概率 也随之确定了。 这样，总误码率可以写为 式中，P(A0 /1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1 /0)表示发送“0”时， 矢量r落在区域A1的条件概 率 这两个条件概率可以写为： 这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。 A0 A1 r f0 (r) f1 (r) r0 P(A0 /1) P(A1 /0) (1) ( /1) (0) ( / 0) Pe = P P A0 + P P A1 = 0 ( /1) ( ) 0 1 A P A f r dr = 1 ( / 0) ( ) 1 0 A P A f r dr
第10章数字信号最佳接收将上两式代入P。 = P(1)P(A. / 1) + P(O)P(A, / 0)得到P。 = P()f, f(r)dr+ P(0)], fo(r)dr参考上图可知，上式可以写为P = P(1)["% fi(r)dr + P(O) fo(r)dr上式表示P是ro'的函数。为了求出使P.最小的判决分界点ro，将上式对ro'求导aP= P(1)f(r)- P(O)fo(r)Oro并令导函数等于0，fi(r)fo(r)求出最佳分界点r的条件：P(A,/0)P(Ao/1)P(1)fi(r ) - P(O)fo(r ) = 013ro
13 第10章 数字信号最佳接收 将上两式代入 得到 参考上图可知，上式可以写为 上式表示Pe是r0 的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点 r0 ，将上式对r0 求导 并令导函数等于0， 求出最佳分界点r0的条件： (1) ( /1) (0) ( / 0) Pe = P P A0 + P P A1 = + 0 1 (1) ( ) (0) ( ) 1 0 A A Pe P f r dr P f r dr − = + ' 0 ' 0 (1) ( ) (0) ( ) 1 0 r r Pe P f r dr P f r dr A0 A1 r f0 (r) f1 (r) r0 P(A0 /1) P(A1 /0) (1) ( ) (0) ( ) ' 0 0 ' ' 1 0 0 r r r P f P f Pe = − P(1) f 1 (r0 ) − P(0) f 0 (r0 ) = 0
第10章数字信号最佳接收P()f(r)- P(O)f.(r ) = 0即P(1) _ fo(ro)P(O)f(ro)当先验概率相等时，即P(1)=P(O)时，fo(ro）=fi(ro），所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r值上。在判决边界确定之后，按照接收失量r落在区域A.应判为收到的是“O"的判决准则，这时有：4P(I)fo(r)若P(0)fi(r)fi(r)fo(r"0"则判为P(A,/0)P(1)fo(r)P(A/1)若反之，P(0)fi(r)ro"1"”。则判为在发送"0"和发送“1"的先验概率相等时，上两式的条件简化为：若fo(r)>fi(r)，则判为“0"14若f(r)<fi(r)，则判为"1
14 第10章 数字信号最佳接收 即 当先验概率相等时，即P(1) = P(0)时，f0 (r0 ) = f1 (r0 )，所以最 佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。 在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域A0应判为收 到的是“0”的判决准则，这时有： 若 则判为“0” ； 反之， 若 则判为“1” 。 在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简 化为： P(1) f 1 (r0 ) − P(0) f 0 (r0 ) = 0 ( ) ( ) (0) (1) 1 0 0 0 r r f f P P = ( ) ( ) (0) (1) 1 0 r r f f P P ( ) ( ) (0) (1) 1 0 r r f f P P A0 A1 r f0 (r) f1 (r) r0 P(A0 /1) P(A1 /0) 若f0 (r) > f1 (r)，则判为“0” 若f0 (r) < f1 (r)，则判为“1
第10章数字信号最佳接收这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个M进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，S2，…，Si，…．，SM之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是s,时，接收电压的k维联合概率密度函数为[r(t) - s, (t)] dtf.(r)12元于是，若则判为s() f其中 ,(r),j+ij=1, 2, , M15
15 第10章 数字信号最佳接收 这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可 以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。 以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信 号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码 元是s1，s2，.，si，.，sM之一，它们的先验概率相等，能 量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函 数为 于是，若 则判为si (t)，其中， ( ) = − − r t s t dt n f Ts k i n i 2 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r (r) (r), i j f f = j M j i 1, 2,
第10章数字信号最佳接收10.3确知数字信号的最佳接收机，确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。判决准则当发送码元为"0”，波形为s。(t)时，接收电压的概率密度为rexp1-" [r0) -s(0] afo(r)12元0当发送码元为“1”，波形为s(时，接收电压的概率密度[r(t)- s, (t)] dt为 f()(V2元0,exp/-ng)1因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：16
16 第10章 数字信号最佳接收 ⚫ 10.3 确知数字信号的最佳接收机 ◼ 确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预 知的信号。 ◼ 判决准则 当发送码元为“0”，波形为so (t)时，接收电压的概率密度 为 当发送码元为“1”，波形为s1 (t)时，接收电压的概率密度 为 因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到： ( ) = − − r t s t dt n f Ts k n 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r ( ) = − − r t s t dt n f Ts k n 2 0 1 0 1 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r