2三点 Simpson公式(抛物线公式) a+ 6 f(x)dx≈=f(a)+4f(“,)+∫(b) 3五点C0tes公式(略) y↑ y=∫(x) y=∫(x) 0 a a+b 6t
求积公式的代数精确度衡量求积公式精度高低的标准之一) 定义若求积公式!(x)∑4(x)对∫∈P有/=0 而当∫=xm时风门≠0,则称其具有m次代数精度→越高越好! 易证:该求积公式具m次代数精确度<当=1,x…,x时R月]=0 当f=xm时团≠0 (m+1) 例:m1个节点的插值公式因风/- () on1(x)dx,故至少 (n+1)! 有m次代数精确度可以证明,当结点数n+1为奇数时至少有n+次 代数精确度 所以:梯形公式→1代数精确度 Simpson公式)3次代数精确度
四水枳公式甄断误左 定理31设f(x)ca,b,则梯形公式截断误差为 R∫ (b-a) ∫"(n)∈(ab) 12 证B//=/f"x-a)(x-b 积分第二中值定理⑦r 2」(x-a)x-b)(b-a 定理2设f(x)Eca,1,则 Simpson公式误差为 b-a)3 28r(m)7∈(ab)(证明略)(证明思路)
五.求积公式的稳定性 求积公式的结点未必越多越好因为有一个所谓的稳定性不 能设到保证另外,对插值型公式而言,结点增多会因 Runge现象 而使求积误差增大 讨论:一个求积公式若至少有0次代数精确度,则 ∫1k=∑41∑4=b-a→求积系数基本特性 设计算f(x)有舍入误差,记E=maxE,则 0<k<n E=∑4[x)+6∑4(x ∑4()≤e k=0 k=0
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若求积系数4全非负则E<(b-a)E,即误差不会无限扩大 ≯计算过程稳定 结论若≈∑(1)至少有零次代数精确度; (2)系数全非负,则该求积公式稳定 表1→实用中很少采用多节点的插值型求积公式 这是因为()系数有正有负无法保证稳定性 (2) Runge现象发生 待定系数法→构造求积公式方法之二 待定系数法是根据代数精度度的定义,通过列方程求解 而得到求积节点和系数的方法用这种方法建立起的求积公 式的代数精确度是最高的
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