第九章常微分初值问题的数值解 ODE Ordinary Diferential Equations) 9.1常微分方程及其求解概述 9.2Euer法、预估校正法 9.3龙格库塔法 94线性多步法(阿达姆法) 95方程组与刚性问题 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
!"#
91常微分方程及求解概述 (Ordinary Differential Equations, ODE) 9.11基本概念 描述自由落体的ODE: S 2g (9-) d t 若设:t0=0时s=0,s=1(9-2) 0时s=0 或设: 时s=0 那么ODE9-1)唯一确定了S=() 的运动轨迹。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
只有一个自变量的微分方程为ODE,否则称为偏微分方程 PDE。 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。 如 y +qx)= 如:(9-4)是二阶的 方程中关于未知函数及其各阶导数均是一次的,则称为线性微 分方程。 如:(9-1)是线性二阶ODE。 (92,(9-3)是(9-1)的初始条件。亦称定解条件。(9-1)9-2)叫做 初值问题。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
! "#$%&' () *+ *+! ,-./012./ 34 ,567
(9-1),(9-3)叫做边值问题。 ·在没有给定解条件时。方程一般有一族解曲线y(x,)。如: y dx 有解yx.d=ce.(为任意常数) 对任意的n阶ODE,如果能写成: y,y 则称该方程为显式的。方程(9-4)是显式的。而下面方程 是隐式的。 sin y )+expl =y+x 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
89:12./; <=2>* ?@A) BCDE F GH GHIJK LH
对于高阶显式方程。通过定义n-1个新变量,可以写成n维一阶 方程组。 即令: dy dx y 那么(-5可以改写为如下的方程组: y0=y1 y1=y2 y0,y1,…,yn-1 一般我们把方程组写成向量形式: 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》
?#GH MN1O P)QRDES T UV