第五章求矩阵特征根和特征向量 的数值方法 5-1幂法 5-2原点平移法 5-3逆幂法 5-4求实对称矩阵特征根的对分法
§5-1幂法 、幂法分析 幂法是用来计算实方阵的按模最大的特征值及 相应特征向量的一种迭代法 设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量,u2…,un 相应的特征值分别为4λ2…,并按其绝对值的大小排列 任给初始向量x≠0由迭代公式 Axk(k=012…) 得到向量序列{x} 所以 x0=01l1+212+…+ann
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于是 x1 a14+a221.n x(a1+a2(")2+…+a()n,) 由假设/4<=23…m所以只要a1≠0就有 Im C 这说明序列水收敛于A的与相对应的特征向量, 当k充分大时 即x为λ的特征向量的近似值 令(x)表示x的第个分量,则
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…+a x1 x(a1+a2(2)2+…+an()n) 所以 k+1 m k→ x 即两相邻迭代向量分量的比值收敛于4 这种由已知非零向量x及矩阵A的乘幂A构造向量序列 {x}以计算A的按模最大特征值及相应特征向量的方法称为 乘幂法,简称为幂法. 通常把迭代向量归一化,即把x的最大分量化为1 因此通常采用的幂法迭代公式为:
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m,=max(x) =4y(k=0 其中,m3=max(x)表示x中绝对值最大的分量 由此可得: Ay Afy yk mmim k-1 mmk-''", m.mmo 而 max(A xo)=max(A yo)mo =max(A Ayo)m=max(A x)mo max(a" y)mm =max(4yk1)m1…m1m =max(x)m21…mm
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